垂直于弦的直径

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,人教版九年级上册,问题:,你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,创设情境：,由此你能得到圆的什么特性？,可以发现：,圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴,不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?,探究：,探究：,如图,AB是O的一条弦,直径CDAB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?,O,A,B,C,D,E,线段:AE=BE,弧:AC=BC,AD=BD,垂径定理,垂直于弦,的,直径,平分弦,并且平分弦所对的两条弧,CDAB,CD是直径，,AE=BE,AC=BC,AD=BD.,O,A,B,C,D,E,归纳：,老师提示:,垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,垂径定理的本质是,满足其中任两条，必定同时满足另三条,（1）一条直线过圆心,（2）这条直线垂直于弦,（3）这条直线平分弦,（4）这条直线平分弦所对的优弧,（5）这条直线平分弦所对的劣弧,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,不是,O,E,D,C,A,B,深化：,垂径定理的几个基本图形：,CD过圆心,CDAB于E,AE=BE,AC=,BC,AD=,BD,巩固训练,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，,必平分此弦所对的弧,分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对,的两条弧分别三等分,巩固：,1、如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中,不成立,的是（）,A、,C,OE=DOE,B、,CE=DE,C、,OE=AE,D、,BD=BC,O,A,B,E,C,D,2、如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=,cm。,O,A,B,E,解：,连接OA，OEAB,AB=2AE=16cm,你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?,37.4m,7.2m,A,B,O,C,D,关于弦的问题，常常需要,过圆心作弦的垂线段,，这是一条非常重要的,辅助线,。,圆心到弦的距离、半径、弦,构成,直角三角形,，便将问题转化为直角三角形的问题。,A,B,O,C,D,解：,如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.,AB=37.4m，CD=7.2m,AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2,解得r=27.9（m）,即,主桥拱半径约为27.9m.,3、如图，在,O,中，弦AB的长为8cm，圆心,O,到,AB,的距离为3cm，求,O,的半径。,O,A,B,E,解：,过点O作OEAB于E，连接OA,即,O,的半径为5,cm.,4、如图，CD是,O,的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。,O,A,B,E,C,D,解：,连接OA，,CD是直径，OEAB,AE=1/2 AB=5,设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得,x,2,=5,2,+(x-1),2,解得：x=13,OA=13,CD=2OA=26,即直径CD的长为26.,