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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/10/28,*,第二节 二重积分的计算,一、利用直角坐标系计算二重积分,三、利用极坐标系计算二重积分,二、利用积分域和被积函数的对称性,计算二重积分,2020/10/28,1,第二节 二重积分的计算一、利用直角坐标系计算二重积分三、利,先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值.,2020/10/28,2,先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定,精品资料,3,精品资料3,如果积分区域,D,可表示为：,其中函数 、在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,1、,x,型区域,则,D,称为,x,型,区域,.,2020/10/28,4,如果积分区域 D 可表示为：其中函数 、,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,2020/10/28,5,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得2020,如果积分区域,D,可表示为：,其中函数 、在区间 上连续.,2、,y,型区域,则,D,称为,y,型,区域,.,2020/10/28,6,如果积分区域 D 可表示为：其中函数 、,x,型区域的特点,：,穿过区域且平行于,y,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,y,型区域的特点,：,穿过区域且平行于,x,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,2020/10/28,7,x型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界,1)如果积分区域,D,可表示为,x,型,区域又可表示为,y,型,区域，且,f,(,x,y,)在,D,上连续，则有：,3、其他情形,采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构.,2020/10/28,8,1)如果积分区域 D 可表示为 x型 区域又可表示为,2)如果积分区域,D,不是,x,型,区域也不是,y,型,区域，可用平行坐标轴的直线段分割，把,D,分割为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二重积分，再根据重积分对区域可加性，在各个标准区域上的积分之和就是,D,上的二重积分.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,2020/10/28,9,2)如果积分区域 D 不是 x型 区域也不是 y型,例1,解,求曲线的交点,：,画出草图并将区域写成不等式形式,：,计算,：,2020/10/28,10,例1解求曲线的交点：画出草图并将区域写成不等式形式：计,计算二重积分的几点说明：,1)化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域,D,的几何形状确定的，因此计算二重积分应先,画出积分区域,D,的图形,.,2)第一次积分的上、下限是,函数或常数,，而第二次积分中的上、下限一定是,常数,，且下限要小于上限.,3)积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单.,2020/10/28,11,计算二重积分的几点说明：1)化二重积分为二次积分的关键是,解,如图,2020/10/28,12,解如图2020/10/2812,解,积分区域如图,2020/10/28,13,解积分区域如图2020/10/2813,解,积分区域如图,2020/10/28,14,解积分区域如图2020/10/2814,解,2020/10/28,15,解2020/10/2815,解,2020/10/28,16,解2020/10/2816,例11,解,先去掉绝对值符号，如图,2020/10/28,17,例11解先去掉绝对值符号，如图2020/10/2817,二、利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分,2020/10/28,18,二、利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分2020/10/,A,2020/10/28,19,A2020/10/2819,三、利用极坐标系计算二重积分,2020/10/28,20,三、利用极坐标系计算二重积分2020/10/2820,二重积分化为二次积分的公式（）,1、极点,O,在,D,的外部,区域特征如图,2020/10/28,21,二重积分化为二次积分的公式（）1、极点O在D的外部区域特征,区域特征如图,2020/10/28,22,区域特征如图2020/10/2822,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,2、极点,O,在,D,的边界上,2020/10/28,23,二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图2、极点O在D的,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,3、极点,O,在,D,的内部,2020/10/28,24,极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）区域特征,法二:,积分区域关于,x,轴对称,2020/10/28,25,法二:积分区域关于 x 轴对称,2020/10/2825,解,2020/10/28,26,解2020/10/2826,解,2020/10/28,27,解2020/10/2827,解,2020/10/28,28,解2020/10/2828,解,2020/10/28,29,解2020/10/2829,解,2020/10/28,30,解2020/10/2830,解,2020/10/28,31,解2020/10/2831,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择,积分次序,）,四、小结,y,型,x,型,（在积分中注意使用,对称性,）,2020/10/28,32,二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用,对称性,）,2020/10/28,33,二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）202,思考题,2020/10/28,34,思考题2020/10/2834,思考题解答,2020/10/28,35,思考题解答2020/10/2835,思考题,2020/10/28,36,思考题2020/10/2836,思考题解答,2020/10/28,37,思考题解答2020/10/2837,练 习 题,2020/10/28,38,练 习 题2020/10/2838,练习题答案,2020/10/28,39,练习题答案2020/10/2839,练 习 题,2020/10/28,40,练 习 题2020/10/2840,练习题答案,2020/10/28,41,练习题答案2020/10/2841,
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