21第3课时三角形内角和与外角（教育精品）

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1,三角形,第,2,章 三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,3,课时,三角形内角和与外角,1.,通过操作活动，发现三角形的内角和是,180,;,2.,会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数,;,（,重点、,难点）,3.,了解三角形的外角及性质,.,学习目标,我的形状最小，那我的内角和最小,.,我的形状最大，那我的内角和最大,.,不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的,.,一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧,.,导入新课,情境引入,思考：,除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为,180,呢,?,折叠,还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角,.,你能用数学的方法说明这个结论吗？,还有其他的拼接方法吗？,讲授新课,三角形的内角和及三角形按角的分类,一,探究：,在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起,.,验证结论,三角形三个内角的和等于,180,.,说明：,A,+,B,+,C,=180,.,已知：,ABC.,方法,1,：过点,A,作,l,BC,，,B,=1.,(,两直线平行,内错角相等,),C,=2.,(,两直线平行,内错角相等,),2+1+,BAC,=180,，,B,+,C,+,BAC,=180.,1,2,方法,2,：,延长,BC,到,D,，,过点,C,作,CEBA,，,A,=1.,(,两直线平行，内错角相等,),B,=2.,(,两直线平行，同位角相等,),又,1+2+,ACB,=180,，,A,+,B,+,ACB,=180.,C,B,A,E,D,1,2,C,B,A,E,D,F,方法,3,：过,D,作,DE,AC,作,DF,AB,.,C,=,EDB,B,=,FDC.,(,两直线平行，同位角相等,),A,+,AED,=180,AED,+,EDF,=180,，,(,两直线平行，同旁内角相补,),A=,EDF.,EDB,+,EDF,+,FDC,=180,，,A,+,B,+,C,=180.,想一想：,同学们还有其他的方法吗？,思考：,多种方法证明三角形内角和等于,180,的核心是什么？,借助平行线的,“,移角,”,的功能，将三个角转化成一个平角,.,C,A,B,1,2,3,4,5,l,A,C,B,1,2,3,4,5,l,P,6,m,A,B,C,D,E,例,1,如图，在,ABC,中，,BAC,=40,B,=75,AD,是,ABC,的角平分线，求,ADB,的度数,.,A,B,C,D,解：由,BAC,=40,AD,是,ABC,的角平分线，得,BAD,=,BAC,=20.,在,ABD,中，,ADB,=180-,B,-,BAD,=180-75-20,=85.,典例精析,【变式题】,如图，,CD,是,ACB,的平分线，,DE,BC,，,A,50,，,B,70,，求,EDC,，,BDC,的度数,解：,A,50,，,B,70,，,ACB,180,A,B,60.,CD,是,ACB,的平分线，,BCD,ACB,30.,DE,BC,，,EDC,BCD,30,，,在,BDC,中，,BDC,180,B,BCD=,80.,例,2,如图，,ABC,中，,D,在,BC,的延长线上，过,D,作,DE,AB,于,E,，交,AC,于,F,.,已知,A,30,，,FCD,80,，求,D,.,解：,DE,AB,，,FEA,90,在,AEF,中，,FEA,90,，,A,30,，,AFE,180,FEA,A,60.,又,CFD,AFE,，,CFD,60.,在,CDF,中，,CFD,60,，,FCD,80,，,D,180,CFD,FCD,40.,基本图形,由三角形的内角和易得,A,+,B,=,C,+,D.,由三角形的内角和易得,1+2=,3+,4.,总结归纳,4,例,3,在,ABC,中，,A,的度数是,B,的度数的,3,倍，,C,比,B,大,15,，求,A,，,B,，,C,的度数,.,解,:,设,B,为,x,，则,A,为,(3,x,),，,C,为,(,x,15),，从而有,3,x,x,(,x,15),180.,解得,x,33.,所以,3,x,99,，,x,15,48.,即,A,，,B,，,C,的度数分别为,99,，,33,，,48,.,和差倍分问题借助方程来解,.,这是一个重要的数学思想,.,一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？,因为三角形的内角和等于,180,，因此最多有一个直角或一个钝角,.,议一议,三个角都是锐角的三角形叫做,锐角三角形,；,锐角三角形,有一个角是钝角的三角形叫做,钝角三角形,.,钝角三角形,有一个角是直角的三角形叫做,直角三角形,；,直角三角形,直角边,直角边,斜边,A,B,C,直角三角形,ABC,可以写成,Rt,ABC,；,两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形。,按角分,锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,按边分,不等边三角形（不规则三角形,）,等腰三角形,三.三角形的分类,只有两条边相等的等腰三角形,等边三角形,斜三角形,在,ABC,中，,A,:,B,:,C,=1:2:3,，则,ABC,是,_,三角形,.,练一练：,在,ABC,中，,A,=35,，,B,=43,，则,C,=,.,在,ABC,中，,A,=,B,+10,C,=,A,+10,则 ,A,=,，,B,=,，,C,=,.,102,直角,60,50,70,三角形的外角的概念,二,定义,如图，把,ABC,的一边,BC,延长,，,得到,ACD,，,像这样,，,三角形的一边与另一边的,延长线,组成的角，叫做,三角形的外角,.,ACD,是,ABC,的一个外角,C,B,A,D,问题,1,如图，延长,AC,到,E,BCE,是不是,ABC,的一个外角？,DCE,是不是,ABC,的一个外角？,E,在三角形每个顶点处都有两个外角,.,ACD,与,BCE,为对顶角,，,ACD,=,BCE,；,C,B,A,D,BCE,是,ABC,的一个外角，,DCE,不是,ABC,的一个外角,.,问题,2,如图，,ACD,与,BCE,有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？,A,B,C,画一画,画出,ABC,的所有外角，共有几个呢,?,每一个三角形都有,6,个外角,每一个顶点相对应的外角都有,2,个，且这,2,个角为对顶角,.,三角形的外角应具备的条件：,角的顶点是三角形的顶点；,角的一边是三角形的一边；,另一边是三角形中一边的延长线,.,ACD,是,ABC,的一个外角,C,B,A,D,每一个三角形都有,6,个外角,总结归纳,F,A,B,C,D,E,如图,BEC,是哪个三角形的外角？,AEC,是哪个三角形的外角？,EFD,是哪个三角形的外角？,BEC,是,AEC,的外角,;,AEC,是,BEC,的外角,;,EFD,是,BEF,和,DCF,的外角,.,练一练,三角形的外角,A,C,B,D,相邻的内角,不相邻的内角,三角形的外角的性质,三,问题,1,如图，,ABC,的外角,BCD,与其相邻的内角,ACB,有什么关系？,BCD,与,ACB,互补,.,问题,2,如图，,ABC,的外角,BCD,与其不相邻的两内角,(,A,，,B,),有什么关系？,三角形的外角,A,C,B,D,相邻的内角,不相邻的内角,A,+,B,+,ACB,=180,，,BCD,+,ACB,=,180,，,A,+,B,=,BCD,.,你能用作平行线的方法证明此结论吗？,D,解：过,C,作,CE,平行于,AB,，,A,B,C,1,2,1=,B,，,（两直线平行，同位角相等）,2=,A,，,（两直线平行，内错角相等）,ACD,=,1+,2=,A,+,B,.,E,已知：如图，,ABC,，试说明：,ACD,=,A,+,B,.,验证结论,三角形外角的性质：,A,B,C,D,(,(,(,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,.,应用格式：,ACD,是,ABC,的一个外角,ACD,=,A,+,B,.,知识要点,练一练：,说出下列图形中,1,和,2,的度数：,A,B,C,D,(,(,(,80,60,(,2,1,(1),A,B,C,(,(,(,(,2,1,50,32,(2),1=40,2=140,1=18,2=130,例,4,如图,A,=42,ABD,=28,ACE,=18,求,BFC,的度数,.,BEC,是,AEC,的一个外角，,BEC,=,A,+,ACE,，,A,=42,，,ACE,=18,，,BEC,=60,.,BFC,是,BEF,的一个外角，,BFC,=,ABD,+,BEF,，,ABD,=28,，,BEC,=60,，,BFC,=88,.,解：,F,A,C,D,E,B,例,5,如图，,P,为,ABC,内一点，,BPC,150,，,ABP,20,，,ACP,30,，求,A,的度数,解析：延长,BP,交,AC,于,E,或连接,AP,并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出,A,的度数,E,解：延长,BP,交,AC,于点,E,，,则,BPC,，,PEC,分别为,PCE,，,ABE,的外角，,BPC,PEC,PCE,，,PEC,ABE,A,，,PEC,BPC,PCE,150,30,120.,A,PEC,ABE,120,20,100.,【变式题】,(,一题多解,),如图，,A,=51,，,B,=20,，,C,=30,，求,BDC,的度数,.,A,B,C,D,(,(,(,51,20,30,思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题,.,A,B,C,D,(,(,20,30,解法一：连接,AD,并延长于点,E,.,在,ABD,中，,1+,ABD,=3,，,在,ACD,中，,2+,ACD,=4.,因为,BD,C,=3+4,，,BAC,=1+2,，,所以,BDC,=,BAC,+,ABD,+,ACD,=51,+20,+30,=101,.,E,),),1,2,),3,),4,你发现了什么结论？,A,B,C,D,(,(,(,51,20,30,E,),1,解法二：延长,BD,交,AC,于点,E,.,在,ABE,中，,1=,ABE+,BAE,，,在,ECD,中，,BDC,=1+,ECD,.,所以,BDC,=,BAC,+,ABD,+,ACD,=51,+20,+30,=101,.,解法三,:,连接延长,CD,交,AB,于点,F,（解题过程同解法二）,.,),2,F,解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解,.,总结,如图 ，试比较,2,、,1,的大小；,如图 ，试比较,3,、,2,、,1,的大小,.,图,图,解：,2=1+,B,2,1.,解：,2=1+,B,3=2+,D,3,2,1.,拓展探究,三角形的外角大于与它不相邻的内角,.,当堂练习,1.,求,出下列各图中的,x,值,x,=70,x,=60,x,=30,x,=50,2.,（,1,）如图，,BDC,是,_,_,的外角,也是,的外角；,(2),若,B,=45,，,BAE,=36,BCE,=20,试求,AEC,的度数,.,A,B,C,D,E,ADE,ADC,解：根据三角形外角的性质有,ADC,=,B,+,BCE,AEC,=,ADC,+,BAE.,所以,AEC,=,B,+,BCE,+,BAE,=45+20+36=101.,解：因为,ADC,是,ABD,的外角,.,3,.,如图，,D,是,ABC,的,BC,边上一点,B,=,BAD,ADC,=80，,BAC,=70，,求：,（,1）,B,的度数；,（2）,C,的度数,.,在,ABC,中，,B,+,BAC,+,C,=180,，,C,=180-40-70=70.,所以,ADC,=,B,+,BAD,=80.,又因为,B,=,BAD,，,A,B,C,D,4.,如图，四边形,ABCD,中，点,E,在,BC,上,A,+,ADE,=180，,B,=78，,C,=60，求,ED