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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,40,讲,空间向量解决线面位置关系,第,40,讲,知识梳理,知识梳理,位置向量,1点、直线、平面的位置用向量表示,(1)在空间中取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量 来表示把向量 称为点P的,(2)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定：,在直线l 上取a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得,.这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点,第,40,讲,知识梳理,(3)空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定：,设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面上任意一点，存在有序实数对(x，y)，使得,这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点,xayb,第,40,讲,知识梳理,2平面的法向量,直线l，取直线l的方向向量a，那么向量a叫做平面的利用法向量也可以表示空间中平面的位置,3共线向量及有关结论,(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做向量或向量,(2)对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.,法向量,平行,共线,第,40,讲,知识梳理,(3)l为经过已知点A且方向向量为a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，(式称为空间直线的向量表示式)，在l上取，则式可化为.(式也称为空间直线的向量表示式),第,40,讲,知识梳理,共线,4共面向量及有关结论,(1)平行于同一个平面的向量，叫做,向量,(2)三个向量共面定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.,(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使；或对空间任意一点O，有,.(式称为空间平面ABC的向量表示式),第,40,讲,知识梳理,(4)点P，A，B，C四点共面的充要条件是：空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式,第,40,讲,知识梳理,探究点1,空间中的点共线、点共面问题,第,40,讲,要点探究,要点探究,例1,2009四川卷 如图401所示，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，,证明：C、D、F、E四点共面,第,40,讲,要点探究,【解答】由平面ABEF平面ABCD，AFAB，得AF平面ABCD，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，射线AD为y轴正半轴，射线AF为z轴正半轴，建立如图402所示的直角坐标系Axyz.设ABa，BCb，BEc，那么,【思路】,第,40,讲,要点探究,【点评】此题利用向量共线证明了点共面，注意向量共线(平行)与直线平行的区别此法也可以证明点共线，如下变式题：,B(a,0,0)，C(a，b,0)，E(a,0，c)，D(0,2b,0)，,F(0,0,2c)，,(0，b，c)，(0,2b，2c)，,故，从而由点EFD，得ECFD，,故C、D、F、E四点共面,第,40,讲,要点探究,变式题,证明：四面体中连接对棱中点的三条线段交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心),第,40,讲,要点探究,第,40,讲,要点探究,探究点2,证明平行关系,第,40,讲,要点探究,例2 2021浙江卷 如图404所示，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，AC16，PAPC10.设G是OC的中点，证明：FG平面BOE.,第,40,讲,要点探究,【解答】如图405，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，那么O(0,0,0)，A(0，8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)，,由题意得，G(0,4,0)，,第,40,讲,要点探究,第,40,讲,要点探究,【点评】,判定线面平行，可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，注意法向量的取法也可以利用共面向量定理，如下变式题：,如图406所示，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCBa，ABC60，平面ACFE平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AEa，点M在线段EF上，当EM为何值时，AM平面BDF？证明你的结论,第,40,讲,要点探究,第,40,讲,要点探究,第,40,讲,要点探究,探究点3,证明垂直关系,第,40,讲,要点探究,例3,如图408所示，在正方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中E、F分别是BB,1,、CD的中点,(1)证明：ADD,1,F；,(2)求AE与D,1,F所成的角；,(3)证明：面AED面A,1,D,1,F.,第,40,讲,要点探究,第,40,讲,要点探究,第,40,讲,规律总结,规律总结,1用向量知识证明立体几何问题有两种根本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题,第,40,讲,规律总结,2用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何定理如果证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证直线ab，只需证明向量ab(R)即可，假设用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外,
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