风险厌恶度量

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,8,讲 风险厌恶度量,预期效用与主观概率理论，对人们在不确定环境中的行为进行了准确描述和深刻分析，论证了人们追求预期效用最大化的行为准则，为研究不确定条件下的选择问题提供了很好的理论基础。本讲在此基础上展开进一步的讨论，主要议题有三个：,预期效用与主观概率理论是否反映了实际现象,？,在风险活动面前,，,人们的态度如何,？,如何测定人们规避风险的倾向强弱,？,回答第三个问题是本讲的重点。事实上，从上一讲的赌博事例已经看到，当效用函数的性能发生了,“,凸性,线性,凹性,”,的变化时，消费者对待风险的态度相应地发生了,“,爱好,中性,厌恶,”,的变化。由此得到一个猜想：,效用函数越凹,，,人们越厌恶风险，风险规避倾向越强,。我们将证明这一猜想是正确的，由此便可引出一种,对人们规避风险的倾向强弱进行测定的办法,风险厌恶度量。,一、关于预期效用的悖论与争议,关于不确定条件下的选择问题，上一讲建立的预期效用和主观概率理论似乎是完美的和合乎实际的，让我们完全有理由相信人们在不确定的环境,(,风险环境或无常环境,),中是根据不确定性行动的预期效用大小来进行评判和选择的。,然而阿莱和艾斯勃格分别对预期效用和主观概率进行了实际考察，发现了理论与实际不符的两个现象：,Allais,Paradox,和,Ellsberg Paradox,，引起了人们对预期效用和主观概率理论的质疑和争议。,有些人借此否定预期效用和主观概率理论，认为需要建立新的理论来解释不确定条件下的选择行为。另一些人则认为，出现这两个悖论的原因不是理论错了，而在于人们进行评判时,发生了,“,视觉错误,”,。比如，有时候人们无法判断距离，但这不意味着需要重新,发明一种距离概念。因此，预期效用和主观概率理论是正确的。,下面，我们介绍这两个悖论。,(,一,),Allais,Paradox,这是一个关于预期效用的悖论。现有四种彩票,A,、,B,、,C,、,D,，其,奖励等级、获奖概率分布以及预期收入情况见下表所示。,彩票,A,B,C,D,奖金,(,万元,),100,110,100,0,100,0,110,0,获奖概率,100%,10%,89%,1%,11%,89%,10%,90%,预期收入,(,万元,),100,100,11,11,调查发现，很多人都认为,A,B,且,D,C,。,A,与,B,相比，虽然预期收入都为,100,万元，但,A,是稳当地得到,100,万元，,B,则有,1%,的可能一无所获，而多得,10,万元的概率才仅仅不过,10%,：概率小，多得的数额也相对较小。这样，,A,明显比,B,好。,C,与,D,相比，虽然预期收入都为,11,万元，但购买,D,仅以少,1%,的可能性就要比购买,C,多得,10,万元，因而,D,比,C,好。,计算预期效用,设消费者的预期效用函数为,u,。,计算一下预期效用，则有：,u,(,A,)=,u,(100),u,(,B,)=,u,(110),10%,+,u,(100),89%,+,u,(0),1%,u,(,C,)=,u,(100),11%+,u,(0),89%,u,(,D,)=,u,(110),10%+,u,(0),90%,根据调查结果,A,B,，,应有,u,(,A,),u,(,B,),。,由此可知：,u,(100),11%,u,(110),10%,+,u,(0),1%,在此式两边加上,u,(0),89%,可得：,u,(100),11%,+,u,(0),89%,u,(110),10%,+,u,(0),90%,即,u,(,C,),u,(,D,),，,这与实际调查结果,D,C,相矛盾：,通过预期效用函数得到的评价与消费者的实际评价相悖,。,那么这个悖论是否说明预期效用理论有着不切实际的地方？其实，这个悖论中消费者评价的,“视觉错误”是,明显存在的,。,(,二,)E,llsberg Paradox,这是一个关于主观概率的悖论。情景：袋中有红球、蓝球和绿球共,300,个，其中红球,100,个。现有四种形式的赌博,A,、,B,、,C,、,D,：,A,：,从袋中摸出一球，如果为红球，可得,1000,元。,B,：,从袋中摸出一球，如果为篮球，可得,1000,元。,C,：,从袋中摸出一球，若不是红球，可得,1000,元。,D,：,从袋中摸出一球，若不是篮球，可得,1000,元。,面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率。,通过调查发现，大多数人基本上都认为,A,B,且,C,D,。,作出这种评价的原因可能在于,A,的确定性比,B,高，,C,的确定性比,D,高。,用,P,表示赌博者的主观概率测度,，,u,表示在这个概率测度下的预期效用函数。用,F,表示,摸出红球,这一事件，,G,表示,摸出蓝球,这一事件。则,表示,摸出的球不是红球,，,表示,摸出的球不是蓝球,。,计算预期效用,从,A,B,知：,(,p,-,q,),u,(1000)(,p,-,q,),u,(0),。,从,C,D,知：,(,p,-,q,),u,(1000),0,亏损性赌博,px,+,(1,p,),y,RP,A,(,),。,普拉特定理中的那些不等式还可以换成严格不等式，从而得到普拉特定理的严格形式。,(,二,),相对风险规避倾向,风险厌恶度,AP,(,w,),测量的是在行为的绝对量变中，经济人对风险的厌恶程度强弱，因而才叫做,绝对风险厌恶度,。但实际中，人们也常常使用相对量变，即用比例来表达数量变化。采用相对量变的好处在于消除了量纲影响，从而能更好地把握经济变量的变化。这样，我们也需要测量经济人在行为的相对量变中对风险的厌恶程度大小，这就是所谓的,相对风险厌恶度,及,相对风险规避倾向,。,为此，我们给出如下定义。,设,u,:,X,R,是经济人的,VNM,效用函数，,X,=,R,。对任何,w,S,，定义,RAP,(,w,),为：,函数,RAP,:,X,R,叫做经济人的,相对风险厌恶度量函数,，或,阿罗,-,普拉特相对风险度量,，或,相对风险规避倾向,。函数值,RAP,(,w,),叫做经济人,在,w,处的相对风险厌恶度,或,在,w,处的相对风险规避倾向,。,1.,赌博揭示的相对风险规避倾向,设经济人的财富收入效用函数为,u,(,r,),且,(,r,X,)(,u,(,r,),0,),并设财富以元为单位来计。假定经济人当前拥有,w,元财富。设,F,是一个随机事件，其发生的概率为,p,。通过事件,F,，可以设计,相对赌博,：,对任何,x,y,R,，平面上的点,(,x,y,),代表这样的赌博：,如果事件,F,发生，则赢,x,w,元，经济人的财富变为,(1+,x,),w,元；若事件,F,未发生，则赢得,yw,元，经济人的财富变为,(1+,y,),w,元,。,这样，,通过事件,F,设计的相对赌博的全体,G,正是平面,R,：,G,=,R,。,原点,(0,0),代表不赌，其余点,(,x,y,)(0,0),都代表真正的赌博。,赌博,(,x,y,),的,预期效用,为,EU,(,x,y,),=,pu,(1+,x,),w,)+(1,p,),u,(1+,y,),w,),。,赌博,(,x,y,),被接受,当且仅当,pu,(1+,x,),w,)+(1,p,),u,(1+,y,),w,),u,(,w,),。,(,x,y,),是公平,赌博,当且仅当,px,+,(1,p,),y,=,0,。,接受集的边界 在原点,(0,0),处的切线正是公平赌博直线！,2.,相对接受集,G,A,公平的赌博,相对接受,集边界,G,A,在原点,(0,0),处的切线方程：,凸集,对任何,(,x,y,),(,x,y,),G,A,及实数,t,0,1,，,令,(,x,y,)=,t,(,x,y,)+(1,t,)(,x,y,),则有：,(1),相对接受集,的,凸,性,故,(,x,y,),=,t,(,x,y,),+,(1,t,)(,x,y,),G,A,。这就证明了,G,A,是凸集。,(0),正是,G,A,在原点处的切线的斜率。这样，就得到了相对接受集的边界,G,A,在原点,(0,0),处的切线方程：,p,x,+(1,p,),y,=0,相对接受集的边界,G,A,在原点,(0,0),处的切线正是公平赌博直线,！,相对接受集的边界,G,A,：,G,A,=(,x,y,),R,:,pu,(1+,x,),w,)+(1,p,),u,(1+,y,),w,)=,u,(,w,),边界方程,pu,(,w,+,xw,)+(1,p,),u,(,w,+,yw,)=,u,(,w,),隐含着,y,=,(,x,),。求导：,p,u,(,w,+,xw,),w,+(1,p,),u,(,w,+,yw,),w,(,x,)=0,令,x,=0,，即得到,y,=,(,x,),在,x,=0,处的导数：,(2),相对接受集的边界在原点的切线,由此可见，,(0),与,u,(,w,),w,u,(,w,),成正比，从而,接受集边界,G,A,在原点,(0,0),处的曲率大小与,RAP,(,w,)=,u,(,w,),w,u,(,w,),成正比,！,(3),相对接受集的边界在原点的曲率,接受集边界,G,A,在原点处的曲率大小与,(0),成正比。为此，进行如下,求导计算：,3.,阿罗,-,普拉特相对风险厌恶度,相对小赌博,接受,不接受,4.,原点附近赌博的意义,原点,(0,0),附近的相对赌博具有特殊的意义：,原点附近的相对赌博都是数量相对较小的赌博：相对小赌博。,如果一个人连相对较小的赌博都不愿意接受，那么就表明这个人对风险的厌恶程度较大，足见他具有较强的相对风险规避倾向。,一个人不愿意接受的相对小赌博越多，他的风险厌恶度越大，相对风险规避倾向越强。,(0),越大，相对接受集边界,G,A,在原点,(0,0),处越弯曲，不接受的相对小赌博便越多，风险厌恶度越大，相对风险规避倾向越强。,u,(,w,),w,u,(,w,),越大，,(0),越大。,An important fact,：,u,(,w,),w,u,(,w,),衡量着,相对风险厌恶度,！,Arrow&Pratts relative measure,RAP,(,w,),of risk aversion,：,五、风险规避倾向的变化规律,经济人的风险规避倾向如何随财富数量的变化而变化？在什么情况下适合使用绝对风险厌恶度来测定经济人的风险规避倾向，又在什么情况下适合使用相对风险厌恶度来测定？对于这些问题，下述回答似乎是合理的。,第一，绝对风险厌恶度,AP,(,w,),随财富量,w,的增加而递减。,第二，相对风险厌恶度,RAP,(,w,),不随财富量,w,的变化而变化。,(,一,),绝对风险厌恶度的变化规律,对于一个用绝对数量表示的较小赌博来说，当经济人的财富较少时，这个赌博可能不被接受；但当财富较多时，接受这个赌博的可能性就大大增加了：赌一下也不是什么大不了的事情。,这表明，随着经济人拥有的财富的增多，一个较小赌博被接受的可能性是上升的，从而绝对风险厌恶度下降，绝对风险规避倾向变弱。,另外，如果考虑的是短期行为，那么经济人是否能够接受一个赌博，恐怕主要还要看财富数量的绝对变化。因此可以说，当进行短期分析的时期，适合使用绝对风险厌恶度来测定经济人的风险规避倾向。,(,二,),相对风险厌恶度的变化规律,以相对赌博为例，由于赌金与财富成比例，因此低额赌注实际上是高额赌注的缩影，而缩影其实是对原型的模仿，结果原型与缩影中的风险规避倾向似乎应该一致。这样，假定相对风险厌恶度为常数，这恐怕还是一个不错的假设。,另外，如果是在进行长期分析，那么面对遥远的未来，就不宜采用绝对数量，而采用相对数量变化恐怕会更好些，可能会更能令人信服。,因此，长期分析中适合使用相对风险厌恶度来测定人们的风险规避倾向。尤其是遥远未来的不确定性太大，人们保持一个不变的相对风险规避倾向便是合情合理的，即,“以不变应万变”,。,可见，可用形式简单的效用函数,v,(,)=,2,来代替预期效用函