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*,*,2024/11/6,1,一、梯形法的递推化,前面介绍的复化求积公式对提高精度是行之有效的，但使用前必须给出合适的步长,h,，如何给出？,h,太小则计算量增加,h,太大则精度不满足,采用变步长,的计算方案,2024/11/6,2,1.,定义：变步长求积法,变步长求积法就是在步长逐次分半（即,步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式,进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求,为止。,下面讨论变步长的梯形法的计算规律。,2024/11/6,3,2.,变步长的梯形法,设将区间,a,b,分为,n,等份，共有,n+1,个分点,其步长,，在每个小区间,x,k,，,x,k+1,上,用梯形公式计算为,如果再二分一次，则步长减半，即,h/2,，分点,增至,2n+1,个，记区间,x,k,，,x,k+1,上,2024/11/6,4,经过二分后新增分点为,用复化梯形公式求得该区间上的积分值为,故在整个区间上的积分值为,即,只需计算新增分点的函数值,这里的,h,是二分前的步长,2024/11/6,5,举例,计算积分值,详见书上本节例,2,，计算时要注意公式中步长,的含义。,请回答：,本例最后结果二分多少次？,共有多少个分点？,答：,二分,10,次，共有,2,10,+1=1025,个分点，将区间平分为,2,10,=1024,份。,2024/11/6,6,变步长梯形法的优缺点：,优点,算法简单，便于编程,缺点,精度较差，收敛速度缓慢,龙贝格公式,2024/11/6,7,二、龙贝格（,Romberg,）公式,复化梯形法的误差公式当,h 0,时为：,即积分值,T,n,的截断误差大致与,h,2,成正比，因,此当步长二分后，截断误差将减至原有误差,的,1/4,，有,2024/11/6,8,整理得,即,上式说明,T,2n,的误差大致等于,如果用这个误差作为,T,2n,的一种补偿，可以,期望所得到的,2024/11/6,9,可能是比,T,2n,更好的结果。,事实上，当,n=1,时,那么,其实质究竟是什么呢？,2024/11/6,10,么么么么方面,Sds,绝对是假的,2024/11/6,11,么么么么方面,Sds,绝对是假的,这就是说用梯形法二分前后的两个积分值,T,n,与,T,2n,组合成 就是辛甫生公式,S,n,。即,再考察复化辛甫生公式,复化辛甫生公式的误差公式当,h 0,时为：,2024/11/6,13,即积分值,S,n,的截断误差大致与,h,4,成正比，因,此当步长二分后，截断误差将减至原有误差,的,1/16,，有,整理得,可以验证这样的组合就是柯特斯公式,2024/11/6,14,这就是说用辛甫生法二分前后的两个积分值,S,n,与,S,2n,组合成柯特斯公式,C,n,。即,重复同样的手续，依据柯特斯公式的误差阶,为,h,6,，可进一步导出下列,龙贝格公式,：,综合上面的加工过程，有,2024/11/6,15,实质：,将粗糙的梯形公式值逐步加工成精度较,高的公式,对梯形公式加工：,对辛甫生公式加工：,对柯特斯公式加工：,2024/11/6,16,能否对龙贝格公式再加工,取得较高精度的公式？,现在的问题是：,李查逊（,Richardson,）,外推加速法,2024/11/6,17,三、李查逊外推加速法,定理,设 ，则成立,式中系数 与,h,无关,李查逊外推加速法基于如下原理,2024/11/6,18,李查逊外推加速法的处理过程：,由,那么,可知,T(h)I,是二阶收敛的,4,减,则得,这样构造的,T,1,(h)I,是四阶收敛的,这里的,均与,h,无关,2024/11/6,19,与龙贝格公式的构造相比，这里的,就是辛甫生公式。,又根据,有,若,则又可以进一步消去展开式中的,h,4,项，而有,2024/11/6,20,这样构造出的,T,2,(h),，其实就是柯特斯公式,序列，它与积分值,I,的逼近阶为六阶。,如此继续下去，每加速一次，误差的量级便,提高,2,阶，这就是,李查逊外推加速法,。,2024/11/6,21,若记,T,0,(h)=T(h),，则,Richardson,加速法可表,示为,2024/11/6,22,作业：,习题,13,2024/11/6,23,
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