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,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,二次函数复习课,二次函数的定义：,形如,y=ax,2,+bx+c,(a,b,c,是常数，,a0),的函数叫做二次函数,想一想,:,函数的自变量,x,是否可以取任何值呢,?,注意,:,当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围,.,二次函数的一般形式,函数,y,ax,2,bx,c,其中,a,、,b,、,c,是常数,切记：,a0,右边一个,x,的二次多项式（不能是分式或根式）,二次函数的特殊形式：,当,b,0,时，,y,ax,2,c,当,c,0,时，,y,ax,2,bx,当,b,0,，,c,0,时，,y,ax,2,知识运用,下列函数中，哪些是二次函数？,(1)y=3x-1 (2)y=3x,2,(3)y=3x,3,+2x,2,(4)y=2x,2,-2x+1,(5)y=x,-,2,+x (6)y=x,2,-x(1+x),驶向胜利的彼岸,当,m,取何值时，函数是,y=(m+2)x,分别 是一次函数？反比例函数？,知识运用,m,2,-2,二次函数？,（一）形如,y=ax,2,(a0),的二次函数,二次函数,开 口 方 向,对 称 轴,顶 点 坐 标,y=ax,2,a,0,a,0,向上,向下,直线,X=0,(0,0),（二）,形如,y=ax,2,+k,(a0),的二次函数,二次函数,开口方向,对称轴,顶点坐标,y=ax,2,+k,a 0,向上,a 0,向下,直线,X=0,（,0,，,K,）,二次函数,开口方向,对称轴,顶点坐标,y=a,（,x,m),2,a,0,a,0,向上,向下,直线,X=,m,（,m,，,0,）,（三）、形如,y=a(x+m),2,(a0),的二次函数,巩固练习,1,：,（,1,）抛物线,y=x,2,的开口向,对称轴是,顶点坐标是,图象过第,象限；,（,2),已知,y=-nx,2,(n,0),则图象,(,),（填“可能”或“不可能”）过点,A,（,-2,，,3,）。,上,Y,轴,(0,0),一、二,不可能,（,3,）抛物线,y=x,2,+3,的开口向,对称轴是,顶点坐标是,是由抛物线,y=x,2,向,平移,个单位得到的；,上,直线,X=0,（,0,，,3,）,上,3,（,2,）已知（如图）抛物线,y=ax,2,+k,的图象，则,a,0,，,k,0,；若图象过,A(0,-2),和,B(2,0),，则,a=,k=,；函数关系式是,y=,。,0.5,-2,0.5x,2,-2,X,Y,A,B,O,(,四,),形如,y=a(x+m),2,+k (a 0),的二次函数,二次函数,开口方向,对称轴,顶点坐标,y=a,（,x+m),2,+k,向上,向下,a,0,a,0,直线,X=-m,（,-m,，,k,）,练习巩固,2:,（,1,）抛物线,y=2(x,),2,+1,的开口向,对称轴,顶点坐标是,（,2,）若抛物线,y=a(x+m),2,+n,开口向下，顶点在第四象限，则,a,0,m,0,n,0,。,上,X=,（，,1,）,2,、已知二次函数,y=,-,x,2,+bx-5,的图象的顶点在,y,轴上，则,b=_,。,1,2,0,-1,-2,-3,-4,0,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,-1,-2,观察,y=x,2,与,y=x,2,-6x+7,的函数图象，说说,y=x,2,-6x+7,的图象是怎样由,y=x,2,的图象平移得到的？,y=x,2,-6x+7,=x,2,-6x+9-2,=(x-3),2,-2,平移规律：,M,决定左右,左正右负,K,决定上下,上正下负,基础练习,1.,由,y=2x,2,的图象向左平移两个单位,再向下平,移三个单位,得到的图象的函数解析式为,_,2.,由函数,y=-3(x-1),2,+2,的图象向右平移,4,个单位,再向上平移,3,个单位,得到的图象的函数解析式,为,_,y=2(x+2),2,-3,=2x,2,+8x+5,y=-3(x-1-4),2,+2+3,=-3x,2,+30 x-70,3.,抛物线,y=ax,2,向左平移一个单位,再向下平移,8,个单位且,y=ax,2,过点,(1,2).,则平移后的解析式为,_;,y=2(x+1),2,-8,4.,将抛物线,y=x,2,-6x+4,如何移动才能得到,y=x,2.,逆向思考,由,y=x,2,-6x+4=(x-3),2,-5,知,:,先向左平移,3,个单位,再向上平移,5,个单位,.,二次,函数,y=ax,2,+bx+c,(a0),的图象和性质,.,顶点坐标与对称轴,.,位置与开口方向,.,增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax,2,+bx+c,(a0),y=ax,2,+bx+c,(a0,开口向下,a,0,交点在,x,轴下方,c,0,与,x,轴有一个交点,b,2,-4ac,=0,与,x,轴无交点,b,2,-4ac,0,；当,0,x,1,x,2,2,时，,y,1,y,2,你认为其中正确的个数有（）,A,2 B,3,C,4 D,5,练一练：已知,y=ax,2,+bx+c,的图象如图所示,a_0,b_0,c_0,abc_0,b_2a,2a-b_0,2a+b_0,b,2,-4ac_0,a+b+c_0,a-b+c_0,4a-2b+c_0,0,-1,1,-2,二次函数与一元二次方程,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴交点有三种情况,:,有两个交点,有一个交点,没有交点,.,当二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴有交点时,交点的横坐标就是当,y=0,时自变量,x,的值,即一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的根,.,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴交点,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的根,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,根的判别式,（,b,2,-4ac,）,有两个交点,有两个相异的实数根,b,2,-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b,2,-4ac=0,没有交点,没有实数根,b,2,-4ac 0,选择,抛物线,y=x,2,-4x+3,的对称轴是,_.,A,直线,x=1 B,直线,x=-1 C,直线,x=2 D,直线,x=-2,(2),抛物线,y=3x,2,-1,的,_,A,开口向上,有最高点,B,开口向上,有最低点,C,开口向下,有最高点,D,开口向下,有最低点,(3),若,y=ax,2,+bx+c(a,0),与轴交于点,A(2,0),B(4,0),则对称轴是,_,A,直线,x=2 B,直线,x=4 C,直线,x=3 D,直线,x=-3,(4),若,y=ax,2,+bx+c(a,0),与轴交于点,A(2,m),B(4,m),则对称轴是,_,A,直线,x=3 B,直线,x=4 C,直线,x=-3 D,直线,x=2,c,B,C,A,2,、已知抛物线顶点坐标（,m,k,），通常设抛物线解析式为,_,3,、已知抛物线与,x,轴的两个交点,(x,1,0),、,(x,2,0),通常设解析式为,_,1,、已知抛物线上的三点，通常设解析式为,_,y=ax,2,+bx+c,(a0),y=a(x,m),2,+k,(a0),y=a(x-x,1,)(x-x,2,),(a0),求抛物线解析式的三种方法,练习根据下列条件，求二次函数的解析式。,(1),、图象经过,(0,，,0),，,(1,，,-2),，,(2,，,3),三点；,(2),、图象的顶点,(2,，,3),，且经过点,(3,，,1),；,(3),、图象经过,(-2,，,0),，,(3,，,0),，且最高点,的纵坐标是,3,。,例,1,、已知二次函数,y=ax,2,+bx+c,的最大值是,2,，图象顶点在直线,y=x+1,上，并且图象经过点（,3,，,-6,）。求,a,、,b,、,c,。,解：二次函数的最大值是,2,抛物线的顶点纵坐标为,2,又抛物线的顶点在直线,y=x+1,上,当,y=2,时，,x=1 ,顶点坐标为（,1,，,2,）,设二次函数的解析式为,y=a(x-,1,),2,+,2,又图象经过点（,3,，,-6,）,-6,=a(,3,-1),2,+2 a=-2,二次函数的解析式为,y=-2(x-,1,),2,+,2,即：,y=-2x,2,+4x,综合创新,:,1.,已知抛物线,y=ax,2,+bx+c,与抛物线,y=-x,2,-3x+7,的,形状相同,顶点在直线,x=1,上,且顶点到,x,轴的距离,为,5,请写出满足此条件的抛物线的解析式,.,解,:,抛物线,y=ax,2,+bx+c,与抛物线,y=-x,2,-3x+7,的形状,相同,a=1,或,-1,又,顶点在直线,x=1,上,且顶点到,x,轴的距离为,5,顶点为,(1,5),或,(1,-5),所以其解析式为,:,(1)y=(x-1),2,+5 (2)y=(x-1),2,-5,(3)y=-(x-1),2,+5 (4)y=-(x-1),2,-5,2.,若,a+b+c=0,a,0,把抛物线,y=ax,2,+bx+c,向下,平移,4,个单位,再向左平移,5,个单位所到的新,抛物线的顶点是,(-2,0),求原抛物线的解析式,.,分析,:,(1),由,a+b+c=0,可知,原抛物线的图象经过,(1,0),(2),新抛物线向右平移,5,个单位,再向上平移,4,个单位即得原抛物线,答案,:y=-x,2,+6x-5,练习,1,、已知抛物线,y=ax,2,+bx-1,的对称轴是,x=1,，,最高点在直线,y=2x+4,上。,(1),求此抛物线的顶点坐标,.,（,2,）求抛物线解析式,.,（,3,）求抛物线与直线的交点坐标,.,解：二次函数的对称轴是,x=1,图象的顶点横坐标为,1,又图象的最高点在直线,y=2x+4,上,当,x=1,时，,y=6,顶点坐标为（,1,，,6,）,例,2,、已知抛物线,y=ax,2,+bx+c,与,x,轴正、负半轴分别交于,A,、,B,两点，与,y,轴负半轴交于点,C,。若,OA=4,，,OB=1,，,ACB=90,，求抛物线解析式。,解：点,A,在正半轴，点,B,在负半轴,OA=4,，点,A,（,4,，,0,）,OB=1,，点,B,（,-1,，,0,）,ACB=90,CAO=BCO,CAO+OCA=90,OCA+BCO=90,BOC=COA,CO,OC=2,，点,C,（,0,，,-2,）,由题意可设,y,a,（,x,）（,x,）得：,a,（）（）,a,.,y,.,（,x,）（,x,）,A,B,x,y,O,C,练习、已知二次函数,y=ax,2,-5x+c,的图象如图。,(1),、当,x,为何值时，,y,随,x,的增大而增大,;,(2),、当,x,为何值时，,y0,。,y,O,x,(3),、求它的解析式和顶点坐标；,2.5,0,x,y,h,A B,D,河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所,示的坐标系，其函数的表达式为,y=-x,2,，,当水位线在,AB,位,置时，水面宽,AB=30,米,，,这时水面离桥顶的高度,h,是（）,A,、,5,米,B,、,6,米；,C,、,8,米；,D,、,9,米,1,25,解：当,x=15,时,，,Y=-1/25,15,2,=-9,问题,1,：,问题,4,：,某商场将进价,40,元一个的某种商品按,50,元一个售出时，能卖出,500,个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少,10,个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？,分析：利润,=,（每件商品所获利润）,（销售件数）,设每个涨价,x,元，那么,（,3,）销售量可以表示为,（,1,）销售价可以表示为,（,50+x,）元,（,x 0,，且为整数）,(500-10 x),个,（,2,）一个商品所获利,润,可以表示为,（,50+x-40,）元,（,4,）共获利,润,可以表示为,(50+x-40)(500-10 x),元,答,：定价为,70,元,/,个，利润最高为,9000,元,.,解,：,y=(50+x-40)(500-10 x),=
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