常数项级数的审敛法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十二章,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,部分和数列 为单调增加数列.,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,解,由图可知,重要参考级数:,几何级数,P-级数,调和级数.,证明,4.比较审敛法的极限形式:,设,=,1,n,n,u,与,=,1,n,n,v,都是正项级数,如果,则,(1),当,时,二级数有相同的敛散性,;,(2),当,时，若,收敛,则,收敛,;,(3),当,时,若,=,1,n,n,v,发散,则,=,1,n,n,u,发散,;,证明,由比较审敛法的推论,得证.,解,根据比较审敛法的极限形式知,原级数发散.,故原级数收敛.,证明,收敛,发散,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,解,比值审敛法失效,改用比较审敛法,例.,讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散;,级数收敛.,解,级数收敛.,解,根据极限审敛法知,根据极限审敛法知 收敛.,二、交错级数及其审敛法,定义,:,正、负项相间的级数称为交错级数.,证明,满足收敛的两个条件,定理证毕.,解:,(2),原级数收敛.,三、绝对收敛与条件收敛,定义:,正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,证明,例9.,证明下列级数绝对收敛:,证:,(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,(2),令,因此,收敛,绝对收敛.,解,故知原级数发散.,例10.,判定 级数的收敛性:,其和分别为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,*,定理8.,绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,*,定理9.,(绝对收敛级数的乘法),则对所有乘积,按,任意顺序,排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.,四、小结,正 项 级 数,任意项级数,审,敛,法,1.,2.,4.充要条件,5.比较法,6.比值法,7.根值法,4.绝对收敛,5.交错级数,(莱布尼茨定理),3.按基本性质;,思考题,思考题解答,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,练 习 题,练习题答案,备用题,1.,判别级数的敛散性:,解:,(1),发散,故原级数发散.,不是,p,级数,(2),发散,故原级数发散.,2.,则级数,(,A,)发散;(,B,)绝对收敛;,(,C,)条件收敛;(,D,)收敛性根据条件不能确定.,分析:,(,B,)错;,又,C,