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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二节导数的应用,点 击 考 纲,1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次),2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次),3.会利用导数解决某些实际问题.,关 注 热 点,1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考炙手可热的考点,2.选择题、填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题，侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.,1,函数的单调性与导数,在区间(,a,，,b,)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：,如果,，那么函数,y,f,(,x,)在这个区间内单调递增,如果,，那么函数,y,f,(,x,)在这个区间内单调递减,如果,，那么,f,(,x,)在这个区间内为常数函数,f,(,x,)0,f,(,x,)0是,f,(,x,)在(,a,，,b,)内单调递增的充要条件吗？,提示：,函数,f,(,x,)在(,a,，,b,)内单调递增，则,f,(,x,),0，,f,(,x,)0是,f,(,x,)在(,a,，,b,)内单调递增的充分不必要条件,2,函数的极值,(1)函数的极小值：函数,y,f,(,x,)在点,x,a,的函数值,f,(,a,)比它在点,x,a,附近其他点的函数值都小，,f,(,a,)0；而且在点,x,a,附近的左侧,，右侧,，则点,a,叫做函数,y,f,(,x,)的,，,f,(,a,)叫做函数,y,f,(,x,)的,(2)函数的极大值：函数,y,f,(,x,)在点,x,b,的函数值,f,(,b,)比它在点,x,b,附近其他点的函数值都大，,f,(,b,)0；而且在点,x,b,附近的左侧,，右侧,，则点,b,叫做函数,y,f,(,x,)的,，,f,(,b,)叫做函数,y,f,(,x,)的,极小值点、极大值点统称为,，极大值和极小值统称为,f,(,x,)0,极小值点,极小值,f,(,x,)0,f,(,x,)0时，e,x,1，,a,e,x,1.,答案：,A,3,(2009,江苏高考),函数,f,(,x,),x,3,15,x,2,33,x,6的单调减区间是_,解析：,f,(,x,)3,x,2,30,x,333(,x,1)(,x,11),f,(,x,)0，得1,x,0，,即,a,2,a,20，解得,a,2或,a,0求单调递增区间；,(2)转化为恒成立问题，求,a,；,(3)假设存在,a,，则,f,(0)是,f,(,x,)的极小值，或转化为恒成立问题,【解析】,(1),f,(,x,)e,x,ax,1，,f,(,x,)e,x,a,.,令,f,(,x,),0得e,x,a,，,当,a,0时，有,f,(,x,)0在,R,上恒成立；,当,a,0时，有,x,ln,a,.,综上，当,a,0时，,f,(,x,)的单调增区间为(,，,)；,当,a,0时，,f,(,x,)的单调增区间为ln,a,，,),(2),f,(,x,)e,x,ax,1，,f,(,x,)e,x,a,.,f,(,x,)在,R,上单调递增，,f,(,x,)e,x,a,0恒成立，,即,a,e,x,，,x,R,恒成立,x,R,时，e,x,(0，,)，,a,0.,(3),法一：,由已知,f,(,x,)在(,，0上单调递减，,在区间0，,)上单调递增可知，,f,(0)是,f,(,x,)的极小值,f,(0)e,0,a,0,a,1，,存在,a,1满足条件,法二：,f,(,x,)e,x,a,.,若,f,(,x,)在(,，0上是单调递减函数,e,x,a,0在,x,(,，0上恒成立,a,(e,x,),max,，,当,x,(,，0时，e,x,(0,1，,a,1,若,f,(,x,)在0，,)上是单调递增函数,e,x,a,0在,x,0，,)上恒成立,a,(e,x,),min,，,当,x,0，,)时，e,x,1，,)，,a,1,由,知,a,1，故存在,a,1满足条件,【方法探究】,(1)已知函数,f,(,x,)在(,a,，,b,)上的单调性，求参数范围问题，可转化为,f,(,x,),0(或,f,(,x,),0)恒成立问题解决，最后要验证,“,等号,”,成立时，,f,(,x,)是否恒为零，若恒为零，等号不成立若,f,(,x,)为二次函数，可结合根的分布解决，不需要转化为恒成立问题,(2)一般地，涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解函数在定义域内存在单调区间，就是不等式,f,(,x,)0或,f,(,x,)0)，求函数在1,2上的最大值,(文)已知,a,是实数，函数,f,(,x,),x,2,(,x,a,),(1)若,f,(1)3，求,a,的值及曲线,y,f,(,x,)在点(1，,f,(1)处的切线方程；,(2)求,f,(,x,)在区间0,2上的最大值,解析：,(1),f,(,x,)3,x,2,2,ax,.因为,f,(1)32,a,3，所以,a,0.,又当,a,0时，,f,(1)1，,f,(1)3，所以曲线,y,f,(,x,)在(1，,f,(1)处的切线方程为3,x,y,20.,(2011,广东揭阳),某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场如图，运动场是由一个矩形,ABCD,和分别以,AD,、,BC,为直径的两个半圆组成跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元,(1)设半圆的半径,OA,r,(米)，求塑胶跑道面积,S,与,r,的函数关系,S,(,r,)；,(2)由于条件限制,r,30,40，问当,r,取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元),【思路导引】,(1)利用几何性质，建立函数关系,(2)利用导数等知识求最小值,【方法探究】,解答应用问题可概括为,“,四点八字,”,，即：,审题；,建模；,求模；,还原本题求造价最低，利用函数的单调性求解是常见的方法之一,3某造船公司年造船量是20艘，已知造船,x,艘的产值函数为,R,(,x,)3 700,x,45,x,2,10,x,3,(单位：万元)，成本函数为,C,(,x,)460,x,5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数,f,(,x,)的边际函数,Mf,(,x,)定义为,Mf,(,x,),f,(,x,1),f,(,x,),(1)求利润函数,P,(,x,)及边际利润函数,MP,(,x,)；,(提示：,利润产值成本),(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？,(3)求边际利润函数,MP,(,x,)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？,解析：,(1),P,(,x,),R,(,x,),C,(,x,)10,x,3,45,x,2,3 240,x,5 000(,x,N,*,，且1,x,20)；,MP,(,x,),P,(,x,1),P,(,x,)30,x,2,60,x,3 275(,x,N,*,，且1,x,19),(2),P,(,x,)30,x,2,90,x,3 24030(,x,12)(,x,9)，,x,0，,P,(,x,)0时，,x,12，,当0,x,0，当,x,12时，,P,(,x,)ln21且,x,0时，e,x,x,2,2,ax,1.,(1),【解析】,由,f,(,x,)e,x,2,x,2,a,，,x,R,知,f,(,x,)e,x,2，,x,R,.(1分),令,f,(,x,)0，得,x,ln2.,于是当,x,变化时，,f,(,x,)，,f,(,x,)的变化情况如下表：,(3分),x,(,，ln2),ln2,(ln2，,),f,(,x,),0,f,(,x,),单调递减,2(1ln2,a,),单调递增,故,f,(,x,)的单调递减区间是(,，ln2)，单调递增区间是(ln2，,)，,f,(,x,)在,x,ln2处取得极小值，,极小值为,f,(ln2),e,ln2,2ln22,a,2(1ln2,a,)(6分),(2),【证明】,设,g,(,x,)e,x,x,2,2,ax,1，,x,R,.,于是,g,(,x,)e,x,2,x,2,a,，,x,R,.(7分),由(1)知当,a,ln21时，,g,(,x,)最小值为,g,(ln2)2(1ln2,a,)0.(9分),于是对任意,x,R,，都有,g,(,x,)0，,所以,g,(,x,)在,R,内单调递增,于是当,a,ln21时，对任意,x,(0，,)，,都有,g,(,x,),g,(0),而,g,(0)0，从而对任意,x,(0，,)，,g,(,x,)0.(11分),即e,x,x,2,2,ax,10，故e,x,x,2,2,ax,1.(12分),【评价探究】,本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力属中等难度题解题的关键是构造函数，再利用导数研究函数单调性从而证明不等式易忽视函数作用产生错误,【考向分析】,从近两年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用,预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向，同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题,1,(2011,扬州模拟),函数,f,(,x,)的定义域为,R,，导函数,f,(,x,)的图象如图所示，则函数,f,(,x,)(),A无极大值点，有四个极小值点,B有三个极大值点，两个极小值点,C有两个极大值点，两个极小值点,D有四个极大值点，无极小值点,解析：,设,f,(,x,)与,x,轴的4个交点，从左至右依次为,x,1,、,x,2,、,x,3,、,x,4,，,当,x,0，,f,(,x,)为增函数，,当,x,1,x,x,2,时，,f,(,x,)0，所以函数,f,(,x,)没有极值,答案：,C,3已知,f,(,x,)2,x,3,6,x,2,a,(,a,为常数)在2,2上有最小值3，那么,f,(,x,)在2,2上的最大值是_,解析：,令,f,(,x,)6,x,2,12,x,0，则,x,0或,x,2.,因,f,(0),a,，,f,(2),a,8；,f,(2),a,40，故,a,43.,2,2上最大值为,f,(,x,),max,f,(0)43.,答案：,43,4若函数,f,(,x,),x,a,sin,x,在,R,上递增，则实数,a,的取值范围为_,答案：,1,1,
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