资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,初等函数的求导法则,求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。,一、和、差、积、商的求导法则,定理,法则（1）和（2）可以推广到有限个可导函数的情况。例如,值得注意的是，在法则（,3,）中，若,u,(,x,)=1,，可得,二、例题分析,例1,已知，求,解,例2 已知，求,解,例3,解,例4,解,同理可得,例5,解,同理可得,三、复合函数的求导法则,设函数 在点,x,处可导，函数,y,=,f,(,u,)在对应点 处也可导，则复合函数 在 点,x,处可导，且,上式也可写成 或,。,复合函数求导法则可以推广到含有多个中间变量函数的情况。,例如，设 ，,都可导，则有,或,这一法则称为复合函数的链导法。,注,1.链式法则“由外向里，逐层求导”,2.注意中间变量,例6 设 ，求 。,解,设,则,。,因为,所以,例7 求函数 的导数。,解,设,，,因为,所以,例8,求函数 的导数,解 设,，,，,在比较熟练地掌握了对复合函数的分解以后，就不必写出中间变量，只需直接由外向里，逐层求导即可。,注,1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则,是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握,2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分,学的理论基础和精神支柱，要深刻理解，熟,练应用注意不要漏层,3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部,分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，,在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别,求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导,数是否存在。,三、高阶导数,如果函数,y,=,f,(,x,),的导数 仍是,x,的可导函数，则称 的导数为,f,(,x,),的二阶导数。,记作 ，,或,相应地，把,y,=,f,(,x,),的导数 称为函数的一阶导数。,类似地，函数,y,=,f,(,x,)的二阶导数 的导数叫做函数,y,=,f,(,x,)的三阶导数，一般地，函数,y,=,f,(,x,)的,n,1阶导数的导数叫做函数,y,=,f,(,x,)的,n,阶导数，分别记作,二阶导数在力学中的意义：,若变速直线运动的质点运动方程为,S,=,S,(,t,)，由第一节可知 ；而速度对时间的变化率为加速度，即 ，所以有,求函数的高阶导数并不需引进新的公式和法则，只需用一阶导数的公式和法则，逐阶求导即可。,二阶导数的导数称为三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为,高阶导数,.,例1,设 ，求,解,即,，,Z,例2,解,注意:,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(,数学归纳法证明,),逐阶求导，寻求规律，写出通式,例3,解,五、小结,注意:,分段函数,求导时,分界点导数用左右导数求.,反函数的求导法则,（注意成立条件）;,复合函数的求导法则,（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;,已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.,关键,:正确分解初等函数的复合结构.,
展开阅读全文