三角形的内角和定理的证明

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,八年级数学（下册）第六章 证明,(,一,),胜者,的“,钥匙,”,证明命题的一般步骤,:,与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法,.,(1),理解题意,:,分清命题的条件,(,已知,),结论,(,求证,);,回顾与思考,(2),根据题意,画出图形,;,(3),结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”,;,(4),分析题意,探索证明思路,;,(5),依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程,;,(6),检查表达过程是否正确,完善,.,驶向,胜利的彼岸,一、,复习“三角形内角和定理”,我们已经知道：,三角形的三个内角之和等于,180,。,即：在,ABC,中，有,A+B+C=180,A,C,B,A,B,C,二、,论证“三角形内角和定理”,怎样验证三角形,的三个角的和等于,180,呢？,即把,A,撕下来放在,1,的位置上，把,B,撕下来放在,2,的位置上。这时就可得,ACB,和,1,和,2,组成了一条直线，得到,ACB+1+2=180,，,就可说明,A+B+C=180,了。,你试过了吗？,.,在前面我们是采用拼接的方法来说明的。,但是组成的,BC,和,CD,真的就是一条直线吗？,很明显，这是无法确定的,如果,ABC,是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，这时就不可能做到把,A,、,B,撕下来再分别放在,1,、,2,的位置上，那么又如何论证,A+B+C=180,呢？,三角形内角和定理的证明,言必有“,据,”,回顾与思考,我们知道三角形三个内角的和等于,180,0,.,你还记得这个结论的探索过程吗,?,1,1,2,A,B,D,2,3,C,(1),如图,当时我们是把,A,移到了,1,的位置,B,移到了,2,的位置,.,如果不实际移动,A,和,B,那么你还有其它方法可以 达到同样的效果,?,(2),根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗,?,你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗,?,与同伴交流,.,三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于,180,0,.,“,行家,”看“,门道,”,已知,:,如图,A,、,B,、,C,是,ABC,的三内角,.,求证,:,A+B+C=,180,0,.,证明,:,作,BC,的延长线,CD,过点,C,作,CE,AB,则,例题,欣赏,P,207,你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗,?.,1=,A(,两直线平行,内错角相等,),2=,B(,两直线平行,同位角相等,).,又,1+2+,3,=180,0,(,平角的定义,),A+B+,ACB,=180,0,(,等量代换,).,分析,:,延长,BC,到,D,过点,C,作射线,CEAB,这样,就相当于把,A,移到了,1,的位置,把,B,移到了,2,的位置,.,这里的,CD,CE,称为辅助线,辅助线通常画成虚线,.,A,B,C,E,2,1,3,D,一题 多,解,在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到,A,处,他过点,A,作,直线,PQBC(,如图,),他的想法可以吗,?,议一议P,208,请你帮小明把想法化为实际行动,.,小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发,?,你有新的证法吗,?,证明,:,过点,A,作,PQ,BC,则,A,B,C,1=,B(,两直线平行,内错角相等,),2=,C(,两直线平行,内错角相等,),又,1+2+,3,=180,0,(,平角的定义,),BAC+B+,C,=180,0,(,等量代换,).,所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来,.,P,Q,2,3,1,A,B,C,已知：如图，,A B C,.,求证：,A+B+C,=180,开启 智慧,还有其他证明方法吗？,“,行家,”看“,门道,”,根据下面的图形,写出相应的证明,.,试一试,P,211,你还能想出其它证法吗,?,(1),A,B,C,P,Q,R,T,S,N,(3),A,B,C,P,Q,R,M,T,S,N,(2),A,B,C,P,Q,R,M,A,B,C,证明,：过,A,作,AEBC,，,E,B=BAE,(,两直线平行,内错角相等,),EAB+BAC+C=180,(,两直线平行,同旁内角互补,),B+C+BAC=180,(,等量代换,),开启 智慧,A,B,C,P,Q,R,证明,：过,点,P,作,PQ,AC,交,AB,于,Q,点，,作,PR,AB,交,AC,于,R,点。,四边形,AQPR,是平行四边形,（平行四边形的定义）,QPR=,A,（,平行四边形的对角相等）,RPC=,B,（两,直线平行，同位角相等）,QPB=,C,（,两直线平行，同位角相等）,QPB+,QPR+,RPC=180,（,1,平角,=180,）,A+,B+,C=180,（,等量代换）,EBC+FCB=180,（两,直线平行，同旁内角互补）,即,1+,ABC+ACB+4=180,又,BAC=2+3,BAC+ABC+ACB=180,（,等量代换）,A,B,C,E,D,F,（,（,（,1,2,3,证明：,过,A,点作,射线,AD,，,过点作,BE AD,，过,C,点作,CFAD,（两直线平行，内错角相等,).,4,（,则,BE CF,（,平行与同一条直线的两直线平行）,1=2,，,3=4,）,A,证明：,E,作,BC,的,延长线,CD,，,在,ABC,的外部，以,CA,为一边,，,CE,为另一边作,1=,A,，,则,CEBA(,内错角相等，两直线平行,).,B=2(,两直线平行，同位角相等,).,）,1,2,又,1+2+ACB=180(,平角的定义,),A+B+ACB=180,(,等量代换,),B,C,D,A,B,C,O,在,ABC,内任找一点,O,，,连 接,AO,、,BO,、,CO,，,即把,ABC,分成三个三 角形，即,AOB,、,AOC,、,BOC,，,由于每个三角形的内角和相等，故可得等量关系,AOB,、,AOC,、,BOC,三个的内角和减去,360,就是,ABC,的内角和。,解：设,ABC,的内角和 为,X,，,于是有方程,3,X,360=,X,解得,X,=180,即三角形的内角和为,180,O,三角形内角和定理,三角形内角和定理,三角形三个内角的和等于,180,0,.,ABC,中,A+B+C=,180,0,.,A+B+C=,180,0,的几种变形,:,A=,180,0,(B+C).,B=,180,0,(A+C).,C=,180,0,(A+B).,A+B=,180,0,-,C.,B+C=,180,0,-,A.,A+C=,180,0,-,B.,这里的结论,以后可以直接运用,.,三种语言,A,B,C,我是最棒的,1.,直角三角形的两锐角之和是多少度,?,等边三角形的一个内角是多少度,?,请证明你的结论,.,已知,:,如图在,ABC,中，,DEBC,A=,60,0,C=,70,0,.,求证：,ADE=,50,0,.,随堂练习,P,208,D,C,B,A,E,A,B,C,A,B,C,结论,:,直角三角形的两个锐角互余,.,以后可以直接运用,.,1,、直角三角形的两锐角之和是多少度,?,等边三角形的一个内角是多少度,?,请证明你的结论,.,随堂练习,A,B,C,结论,:,直角三角形的两个锐角互余；等边三角形每个内角,60,以后可以直接运用,.,A,B,C,证明,：,在,ABC,中,A+B+C=180,(,三角形内角和定理）,C=90,（,已知）,A+B+90,=180,（,等量代换）,A+B=180,90,=90,（,等式性质）,即,A+B=90,A,B,C,已知：在,ABC,中，,C,90,求证：,A,B,90,随堂练习,证明：,DE,BC,（,已知）,AED=,C,（两,直线平行，同位角相等）,C=70,0,（,已知）,AED=70,0,（,等量代换）,A+,AED+,ADE=180,0,（,三角形的内角和定理）,A=60,0,（,已知）,ADE=180,0,60,0,70,0,=50,0,（,等量代换）,即,ADE=50,0,D,C,B,A,E,（第,2,题）,2,、已知,:,如图在,ABC,中，,DEBC,A=,60,0,C=,70,0,.,求证：,ADE=,50,0,随堂练习,3,、如图，直线,AB,CD,在,AB,、,CD,外有一点,P,，,连结,PB,、,PD,，交,CD,于,E,点。则,B,、,D,、,P,之间是否存在一定的大小关系？,随堂练习,A,B,C,P,D,E,他们是怎样的，并加以证明,？,用运动变化的观点理解和认识数学,在,ABC,中,如果,BC,不,动,把点,A“,压”向,BC,那么当点,A,越来越接近,BC,时,A,就越来越大,(,越来越接近,18,0,0,),而,B,和,C,越来越小,(,越来越接近,0,0,).,由此你能想到什么,?,如果,BC,不,动,把点,A“,拉离”,BC,那么当,A,越来越远离,BC,时,A,就越来越小,(,越来越接近,0,0,),而,B,和,C,则越来越大,它们的和越来越接近,18,0,0,当把点,A,拉到,无穷远时,便有,AB,AC,B,和,C,成为同旁内角,它们的和等于,18,0,0,.,由此你能想到什么,?,读一读,P,207,C,B,A,C,B,A,回味无穷,掌握几何命题证明的,方法,步骤,格式,及,注意事项,.,三角形,内角和定理,.,结论,:,直角三角形的两个锐角互余,.,探索证明的思路的方法,:,由“因”导“果”,执“果”索“因”,.,与同伴交流,你是如何提高证明命题能力的,.,小结 拓展,我们证明了三角形内角和定理。证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角，,辅助线,是联系命题的条件和结论的桥梁。,小结 拓展,小结：本节课你有什么收获？,三角形内角和定理,三角形内角和定理,三角形三个内角的和等于,180,0,.,ABC,中,A+B+C=,180,0,.,A+B+C=,180,0,的几种变形,:,A=,180,0,(B+C).,B=,180,0,(A+C).,C=,180,0,(A+B).,A+B=,180,0,-,C.,B+C=,180,0,-,A.,A+C=,180,0,-,B.,这里的结论,以后可以直接运用,.,三种语言,A,B,C,