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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai Jiao Tong University,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Shanghai Jiao Tong University,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Shanghai Jiao Tong University,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Shanghai Jiao Tong University,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Shanghai Jiao Tong University,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Shanghai Jiao Tong University,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Shanghai Jiao Tong University,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Shanghai Jiao Tong University,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Shanghai Jiao Tong University,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Shanghai Jiao Tong University,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Shanghai Jiao Tong University,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,缪正清,上海交通大学,2023.3,传热传质学,其次章、导热根本定律与稳态导热,本章首先介绍导热的根本概念和根本定律，建立导热微分方程。在此根底上，对典型的一维、二维稳态导热问题求分析解。然后，介绍肋片换热。,2.1 导热根本定律,2.2 导热微分方程,2.3 一维稳态导热通过平壁、圆筒壁、球壳,和其它变截面物体的导热,2.4 通过肋片的导热,2.5 具有内热源的导热及多维导热,2.1 导热根本定律,线索:,1. 导热根本概念,(1) 温度场,热力学的自发过程告知我们：能量总是自发地从高温物体传向低温物体，其中温差是热量传递的推动力。,物体的温度分布形成温度场,稳态温度场：,一维温度场：,二维温度场：,三维温度场：,温度场还可以用图线表示。一般是画出等温线。等温线是等温面与截面的交线。,由于场内的任何一点，在同一时刻只能有一个温度，所以等温线或等温面是不会相交的。,(2),温度梯度,假定在温度场内有两个等温面，如图,2-1,所示,。,A,点所在的等温面的温度为,t,与之相邻的一个等温面的温度为,t+,t,现问,A,点的温度变化率？,因,A,点的温度变化率与方向有关，,A,点沿,l,方向的温度变化率为：,图,2-1.,等温面、温度梯度及热流梯度示意图,温度梯度,是,A,点处最大的温度变化率，是一个矢量，其方向沿着等温线的法线方向，并指向温度增加的一面，用符号,t,或,gradt,表示。,哈米尔顿算子：,故，t在直角坐标系中表示为,留意：热流方向与温度梯度方向相反。,2. 傅里叶定律Fouriers law,导热的根本定律，反映了热传导的根本规律。,(W),或者，,该定律的意义是：单位时间内传导的热量与温度梯度和垂直于热流方向上的截面积成正比，方向沿着温降方向。,Fouriers law 以微分形式提示了导热的数学本质，反映影响导热的各种物理、几何参数间的关系，是导热问题争论的根底。,3导热系数,导热系数是Fourier定律表示式中的比例系数，它表示当温度梯度为1时通过单位面积的热流量。,(材料性质、温度、压力、湿度、材料多孔度、方向性等) W/(moC),导热系数是通过试验测定的。,试验测定导热系数的方法分类：,稳态测定方法,非稳态测定方法,通常导热系数：金属液体气体,非金属固体的导热系数在很大范围内变化，数值高的接近液体，数值低的甚至低于空气导热系数的数量级。图2-3(三版教材P24)示出了多种物质导热系数对温度的关系。,大多数材料的导热系数随温度的变化可按线性近似, 即,式中，b为常数。,导热系数很小的材料在工程上有重要的用途。,隔热材料热绝缘材料，保温材料： W/(moC),石棉、矿渣棉、硅藻土、,岩棉板、岩棉玻璃布缝毡，膨胀珍宝岩，膨胀蛭石及膨胀塑料等。,岩棉玻璃布缝毡 W/(moC),空气在 ， W/(moC),上述这些效能高的隔热材料都呈蜂窝状多孔性构造。,呈蜂窝状的隔热材料的传热机理：,蜂窝固体构造的导热,穿过微小气孔的导热,温度更高时还有辐射,由此得到进一步提高隔热效果的技术措施，用于某些需要特殊隔热效果的场合。,抽真空，以降低空气导热系数,设置多层间隔板，以降低辐射,各向异性材料：,某些材料各项构造不同微观，不同方向上的导热系数各不一样。,木材，石墨以及多层抽真空构造的隔热材料等。,2.2 导热微分方程,导热微分方程建立在Fourier定律与能量守恒定律根底上。由于坐标系不同，就有不同的数学表达式。,本节只具体地推导直角坐标系内的导热微分方程，对圆柱坐标系的导热微分方程只作公式介绍。,1. 直角坐标系的导热微分方程,设物体各向同性，,， ， 均为常数,在物体内取微元体，,依据能量守恒定律，对于微元体：,三个方向上导入的热量+内热源发出的热量,=三个方向上导出的热量+内能增量。,(*),依据fourier定律，并按Tayor级数开放，略去二阶导数以后的各项：,所以x方向净导入热量：,同理,设单位时间内单位体积内热源的生成率为 ，则，,将上述各式代入式*，经整理得，,式中,所以，固体导热方程为：,当导热系数为常数，无内热源 时，上式进一步简化为：,式中， ， ,为导温系数，也称热集中率。它是描述非稳态导热过程的重要物理量。,稳态导热的微分方程为:,即,用同样的方法可以导出圆柱坐标系和球坐标系的导热微分方程式：,无内热源， ， 一维稳态导热，在不同坐标系中通式,：,式中，,n,=0 ,直角坐标系；,n,=1 ,柱坐标系；,n,=2 ,球坐标系；,圆柱坐标系与球坐标系中的微元体的表示，参见,P27.,图,2-5.,2. 边界条件和初始条件,求导热微分方程必需要满足边界条件和初始条件。,对于稳态问题，只要求给定边界条件。,第一类边界条件：给定边界上的温度值。,稳态：tw=常数； 非稳态： 0, tw=f1 (),其次类边界条件：给定边界上的热流密度。,稳态：qw=常数； 非稳态： 0,第三类边界条件：给定边界物体与四周流体的换热。即 ，和 。以物体冷却为例：,在非稳态时，式中 ，和 可为时间的函数。当流体温度为常数时，其温度特地用 表示。,2-3 一维稳态导热通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热,无限大平壁、圆筒壁、球壳的导热，但温度场不随着时间而变时，均为典型的一维稳态导热问题。,1. 通过平壁的导热,t1, t2 不随时间而变化。, F =常数,方程 :,边界条件：,求解结果:,图,2-6.,单层平壁,上式提示了 和之间的内在联系。,分析上式：,q 为热的转移量，,为造成热转移的动力，,分母 为影响热转移的阻力。,其实，这一关系在自然界的其它转移过程也是成立的，如电量、动量、质量的转移过程：,所以，一般地，,比较:,电路中的欧姆定律 导热的微分方程,因此，在与欧姆定律的类比中，导热公式中的分母 叫做热阻。即， 或,热阻概念的引入，使得可以利用电路中的串并联电阻的计算公式来计算传热过程的合成热阻，从而简化传热过程的计算。,下面以此为例，计算多层平壁的导热问题。,多层平壁：如客机座舱，锅炉炉墙等。,给定:,依据热流量相等，,=常数,依据比例关系，,依据电热类比：,留意：当导热系数为温度的线性函数时，即,，时，取计算区域内的平均值代入。,图,2-7.,多层平壁,2. 通过圆筒壁内的导热(油管、气管、火焰筒),设长为 l，内外径 r 1,r2 温度 t 1,t2 , 导热系数 ,假设 ，可以简化为一维稳态导热：,圆柱坐标一维导热方程：,边界条件：,通解：,温度分布:,(2-28),图,2-8.,多层圆筒壁,由温度分布，可以求出温度梯度，然后利用,Fourier,定律求出,Q.,取微元：,将温度分布代入上式,或,对于圆筒壁的总面积，热阻为,：,(2-31),对于多层圆筒壁与多层平壁一样可运用串联热阻迭加法求出导热总热量以三层壁为例：,空心球壁的导热，内外球壁保持均匀恒定温度时，在球坐标系内亦为一维稳定导热，其温度分布和热量计算公式为：,其热阻为,或 为壁厚,2-4通过肋片的导热,为了强化传热，往往承受肋片形式的换热器。如暖气片，发动机水箱散热片，气缸外套的肋片，家用空调的散热器，锅炉铸铁式省煤器的肋片等。,按肋的外形分：直肋，环肋，针形肋等。,通过等截面直肋片的导热,争论内容：,温度沿直肋片长度的分布;,通过肋片的散热量。,假设：,稳态导热，,长肋片：肋片的高度 肋片厚度 ，,一维温度变化：由于一般为金属 ， 很大，任一截面 一样，,方法一：描述导热的通用微分方程为：,导热通用微分方程的简化：,由于，,所以，,式中， 为单位体积的热源。,相应的微元体积为 ，故，相应的折算源项单位体积的热源为，,特殊引起留意的是 一项。,它是指参与微元，或微元向外释放的热量，假设我们在肋片,内部取微元，则， =0，,现在我们取dx长，包括肋外周的微元，则所取微元有向外散热局部，所以在此， ，且 。,方法二：从微元热平衡求微分方程，,据，,所以，,整理，,引进，无量纲过余温度，,令，,则， 二阶常微分方程,其通解为， (1),C1, C2 的数值取决于边界条件：,肋根： (2),肋端的边界条件比较简洁，我们取一种：,设肋端绝热：,(3),求解：,所以，,令，即可求出肋端温度，：,通过肋的全部散热量：,有两种方法可供选择：,*单位肋长外边长上散热的积分，,*计算肋根导入的热量。,依据热平衡：,由肋片散入外界的全部热量=通过x=0 的肋根的导入热量,所以，,对于必需考虑肋片末端面散热的少数场合，计算时，可承受一简洁的方法：,以直肋为例，假设肋厚度 ，则可以用假想高度代替实际肋高H ,代入原Q公式。,附录,:,2.各种肋片换热面散热量的计算,关于一般外形肋片的温度分布和散热量可从有关参考资料查得。,有用上，在承受理论方法求得后还把理论解转化为曲线形式表示，以利于人们便利地查阅、计算。,在图线表示时，引进了表征肋片散热有效程度的肋效率概念。,这样，当各种外形的肋的肋效率以曲线表示后，人们依据给定的外形参数查得肋效率后，就很简洁求出实际的散热量。,留意：在曲线图中要查时，首先要算出横坐标自变量组合值。,如，对于等截面直肋，,图,2-19.,矩形及三角形直肋的效率曲线,2-5具有内热源的导热及多维导热,具有内热源的导热,例子： *电流通过电路或线圈时的发热,*化学工程中的吸热与放热,*核反响装置,物理方程：,边界条件:,解：,任一位置处的热流密度：,图2-26. 具有均匀内热源的平壁,多维导热,常用两种方法：,分析解法： 仅适用于具有简洁几何外形与边界条件的多维问题。,外形因子法： 查表法,数值解法,(1)两维导热问题的分析解,二维矩形物体的三个边界温度均为t1，,第四个边界温度为 t2。,无内热源，,.,求： 二维温度场。,图,2-30,矩形区域中的二维稳态导热,物理方程： (2-54a),边界条件:,(2-54b),解：,式1-54a是关于温度的拉普拉斯方程，是一个齐次方程即方程右边为零。,首先将边界条件齐次化，然后，用分别变量法求解。,引入无量纲过余温度： (2-55),整理上述方程与边界条件：,(2-56a),边界条件:,(2-56b),解：承受分别变量法，,设 利用傅里叶级数，可以得到其分析解。,(2-57),(2)外形因子法,将两个等温面间的导热热流量写作：,2-53,式中，为外形因子。其与导热物体的外形及大小有关。,工程中常见的简洁构造的导热问题，已用分析方法或数值方法确定了其外形因子表达式。局部结果列于表2-2。,
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