角平分线的性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,恒谦教育教学资源库,教师备课、备考伴侣,专注中国基础教育资源建设,角的平分线性质,在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，试确定角的平分线,你能发现什么吗？,新课导入,动动手,1,会用尺规作一个已知角的平分线；,2,掌握角平分线的性质,知识与能力,教学目标,1,在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉；,2,提高综合运用三角形全等的有关知识解决实际问题的能力；,3,掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用,过程与方法,1,在探究作角的平分线的过程中，培养探究的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验；,2,通过合作、交流、讨论，增强合作、沟通能力,情感态度与价值观,1,掌握角平分线的性质定理及其逆定理；,2,角平分线性质的证明及运用,1,角平分线性质的探究；,2,角平分线性质定理及其逆定理的证明及应用,重点,难点,教学重难点,已知一个角，怎样将它平分呢？,A,B,O,想一想,（,1,）已知,AOB,，以,O,为圆心，适当长为半径作弧，交,OA,于,M,，交,OB,于,N,（,2,）分别以,M,，,N,为圆心大于,1/2 MN,的长为半径作弧两弧在,AOB,的内部交于,（,3,）作射线,OC,射线,OC,即为所求,用尺规作角的平分线,A,证明：在ADC和ABC 中，,AB=AD，,AC=AC，,DC=BC，,ADCABC (SSS),DAC=BAC,AE平分BAD,如图：,AB=AD,，,BC=DC,，求,AC,的延长线,AE,是,BAD,的平分线,练一练,A,C,B,D,E,1将AOB对折，使第一条折痕为斜边，再折出一个直角三角形；,2折痕PE和PD相等吗？,POD和,POE全等吗？,3试着证明,O,D,A,P,C,B,E,证明：,OC,平分,AOB,，,AOC=BOC,，,又,PDOA,，,PEOB,，,PDO=PEO=90,在,POD,和,POE,中，,AOC=BOC,，,PDO=PEO,，,OP=OP,，,PODPOE (AAS),，,PD=PE,C,O,B,A,P,D,E,知识要点,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,角的平分线的性质：,QDOA,，,QEOB,，点,Q,在,AOB,的平分线上，,QD,=,QE,O,A,B,Q,D,E,证明：,QDOA,，,QEOB,（已知），,QDO=QEO=90,（垂直的定义）在,RtQDO,和,RtQEO,中，,QO=QO,（公共边），,QD=QE,，,RtQDORtQEO,（,HL,），,QOD=QOE,，,点,Q,在,AOB,的平分线上,例,1,已知：如图，,QDOA,，,QE OB,，点,D,、,E,为垂足，,QD=,QE,求证：点,Q,在,AOB,的平分线上,O,A,B,Q,D,E,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,QDOA,，,QEOB,，,QD,QE,点,Q,在,AOB,的平分线上,用数学语言表示为：,结论,O,A,B,Q,D,E,证明：过点,P,作,PDAB,于,D,，,PEBC,于,E,，,PFAC,于,F,，,BM,是,ABC,的角平分线，点,P,在,BM,上，,PD=PE,（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）,同理，,PE=PF,PD=PE=PF,即点,P,到三边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,A,B,C,P,M,N,例,3,如图，,ABC,的角平分线,BM,，,CN,相交于点,P,求证：点,P,到三边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,D,E,F,内心：,三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心,三角形的内心到三角形三边的距离相等,知识要点,三角形的五心：,A,B,C,O,E,F,G,旁心：,三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心,三角形有三个旁心,三角形的内心到三角形三边的距离相等,A,B,C,重心：,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的,2,倍，上述交点叫做三角形的重心,A,B,C,垂心：,三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心,A,B,C,练一练,如图，已知,ABC,的外角,DAB,和,ABE,的平分线相交于点,F,，,求证：点,F,在,DCE,的平分线上,A,B,C,F,E,D,证明：过点,F,作,FGAD,于,G,，,FHBE,于,H,，,FMAB,于,M,，,点,F,在,DAB,的平分线上，,FGAD,，,FMAB,，,FG=FM,又点,F,在,ABE,的平分线上，,FHBE,，,FMAB,，,FM=FH,，,FG=FH,，,点,F,在,DAE,的平分线上,F,A,B,C,E,D,G,H,M,s,如图，要在,S,区建一个贸易市场，使它到铁路和公路的距离相等，离公路与铁路交叉处,500,米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为,1,：,20 000,）,想一想,D,C,解：作铁路和公路的夹角的角平分线,OC,，截取,OD=2.5cm,，,D,即为所求,O,S,如图，,ABC,中，,C=90,，,AD,是,ABC,的角平分线，,DEAB,于,E,，,F,在,AC,上，,BD=DF,，求证：,CF=EB,练一练,A,C,D,B,E,F,证明：AD平分CAB，DEAB，C=90，,CD=DE（角平分线的性质）,在tFCD和RtDBE中，,CD=DE，,DF=DB，,RtCDFRtEDB（HL），,CF=DE,1,角平分线的性质定理：,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,2,角平分线的判定定理：,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上,3,角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径,课堂小结,1,（,1,）,1=2,，,DCAC,，,DEAB,_,（,_,_,）,（,2,）,DCAC,，,DEAB,，,DC=DE,_,（,_,_,）,1=2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,随堂练习,A,C,D,E,B,1,2,2,直线表示三条相互交叉的公路，现要建一,个货物中转站，要求它到三条公路的距离,相等，则可供选择的地址有：,(,)A,一处,B,两处,C,三处,D,四处,D,A,D,N,E,B,F,M,C,3,已知：,BDAM,于点,D,，,CEAN,于点,E,，,BD,，,CE,交点,F,，,CF=BF,，求证：点,F,在,A,的平分线上,提示：,证明CDFBEF,4,已知：如图，,C=C=90 AC=AC,求证：,（,1,）,ABC=,ABC,；,（,2,）,BC=BC,（要求不用三角形全等的,判定）,C,A,C,证明：,提示：利用角平分线定理,1,证明,OMPONP,2,证明,BDECDF,3,证明,DOBEOC,4,证明,EPDFPD,5,证明,PDFPEF,6,证明,DEGDFG,，得,EGD=FGD,习题答案,