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第,24,章 圆,24.6,正多边形与圆,第,2,课时 正多边形的性质,学习目标,1.,理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的,概,念,.,（重点）,2.,掌握正多边形的性质并能加以应用,.,（难点）,导入新课,问题,1,什么是正多边形？,问题,2,如何作出正多边形？,各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形,.,将一个圆,n,等分，就可以作出这个圆的内接或外切正,n,变形,.,讲授新课,正多边形的性质,O,A,B,C,D,问题,1,以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？,E,F,G,H,EF,是边,AB,、,CD,的垂直平分线，,OA=OB,，,OD=OC.,GH,是边,AD,、,BC,的垂直平分线，,OA=OD,；,OB=OC.,OA=OB=OC=OD.,正方形,ABCD,有一个以点,O,为圆心的外接圆,.,观察与思考,O,A,B,C,D,E,F,G,H,AC,是,DAB,及,DCB,的角平分线，,BD,是,ABC,及,ADC,的角平分线，,OE=OH=OF=OG.,正方形,ABCD,还有一个以点,O,为圆心的内切圆,.,所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？,任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,.,想一想：,O,A,B,C,D,E,F,G,H,R,r,正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的,中心,.,外接圆的半径叫作正多边形的,半径,.,内切圆的半径叫作正多边形的,边心距,.,知识要点,正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形,的,中心角,.,正多边形的每个中心角都等于,.,正多边,形边数,内角,中心角,外角,3,4,6,n,60,120,120,90,90,90,120,60,60,正多边形的外角,=,中心角,完成下面的表格：,练一练,如图,，,已知半径为,4,的圆内接正六边形,ABCDEF,：,它的中心角等于,度；,OC,BC,(,填、或）；,OBC,是,三角形,；,圆内接正六边形的面积是,OBC,面积的,倍,.,圆内接正,n,边形面积公,式：,_.,C,D,O,B,E,F,A,P,60,=,等边,6,正多边形的有关计算,探究归纳,S,正多边形,=,周长边心距,/2,例,1,有一个亭子,它的地基是半径为,4,m,的正六边形，求地基的,周长和面积,(,精确到,0.1 m,2,).,C,D,O,E,F,A,P,抽象成,典例精析,B,利用勾股定理，可得边心距,亭子地基的面积,在,Rt,OMB,中，,OB,4,，,MB,4m,O,A,B,C,D,E,F,M,r,解：,过点,O,作,OM,BC,于,M.,例,2,求边长为,a,的正六边形的周长和面积,.,解：如图，过正六边形的中心,O,作,OG,BC,，垂足为,G,，连接,OB,，,OC,，设该正六边形的周长和面积分别为,l,和,S,.,F,A,B,C,D,E,O,G,多边形,ABCDEF,为正六边形，,BOC,=60,，,BOC,是等边三角形,.,l,=,6BC,=6,a,.,在,BOC,中，有,(1),正,n,边形的中心角怎么计算？,C,D,O,B,E,F,A,P,(2),正,n,边形的边长,a,，半径,R,，边,心距,r,之间有什么关系？,a,R,r,(3),边长,a,，边心距,r,的,正,n,边形的面积如何计算？,其中,l,为正,n,边形的周长,.,想一想：,如图所示，正五边形,ABCDE,内接于,O,，则,ADE,的度数是 （）,A,60 B,45 C,36,D,30,A,B,C,D,E,O,练一练,C,2.,作边心距，构造直角三角形,.,1.,连半径，得中心角；,O,A,B,C,D,E,F,R,M,r,圆内接正多边形的辅助线,方法,归纳,O,边心距,r,边长一半,半径,R,C,M,中心角一半,画一画：,画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？,正,n,边形都是,轴对称图形,，都有,n,条对称轴，且这些对称轴都通过正多边形的中心,.,如果,n,为,偶数,，那么它又是,中心对称图形,，它的中心就是对称中心,.,要点归纳,例,3,如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线,(,1,),在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；,(,2,),两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积,(1),在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；,解：连接BF，,CE,，则有BF,AG，,CE,AG,理由如下：,ABCDEFGH是正八边形，,它的内角都为135,又HA=HG，,HAG,=22.5,.,GAB,=135,-,1=112.5,正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，,即,BAG,+,ABF,=180，故,BFAG,同理，可得,CE,BF,，,CE,AG.,P,N,M,Q,解：由题意可知PHA=PAH=45，,P=90，同理可得Q=M=90，,四边形PQMN是矩形,PHA=PAH=QBC=QCB=,MDE=MED=45，AH=BC=DE，,PAH,QCB,MDE，,PA=QB=QC=MD,即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形,(2),两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积,在RtPA,H,中，PAH=45，AB=2，,P,N,M,Q,故,S,四边形,PQMN,=,2.,若正多边形的边心距与,半径,的比为,1:2,，,则这个多边形的边数是,.,当堂练习,正多,边,形,边,数,半径,边长,边心距,周长,面积,3,4,1,6,1.,填表,2,1,2,8,4,2,2,12,3,4.,要用圆形铁片截出边长为,4cm,的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要,cm.,也就是要找这个正方形外接圆的直径,3.,如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看,作为正七边形，则一个内角为,度,.,（不取近,似值）,5.,如图，四边形ABCD是O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求O的面积,解：正方形的面积等于4，,则半径为,O的面积为,正方形的边长,AB,=2,.,A,B,C,D,E,F,P,6.,如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点则点P到各边距离之和是多少？,点P到各边距离之和=3BD=36=18,解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CGBD于G,.,G,H,K,P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长,.,六边形ABCDEF是正六边形,ABDE，AFCD，BCEF，,BC=CD，BCD=ABC=CDE=120，,CBD=BDC=30，BDHK，且BD=HK,.,CGBD，,BD=2BG=2BCcosCBD=,6.,拓广探索,如图,M,N,分别是,O,内接正多边形,AB,BC,上的点,且,BM=CN,.,(1),求图中,MON=_,;,图中,MON,=,;,图中,MON,=,;,(2),试探究,MON,的度数与正,n,边形的边数,n,的关系,.,A,B,C,D,E,A,B,C,D,.,A,B,C,M,N,M,N,M,N,O,O,O,90,72,120,图,图,图,课堂小结,正多边形的性质,正多边形的,有关概念,正多边形的,有关计算,添加辅助线的方法：,连半径，作边心距,中心,半径,边心距,中心角,正多边形的对称性,
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