学案1函数及其表示

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学案,1,函数及其表示,函数及,其表示,(1),了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,;,了解映射的概念,.,(2),在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法,(,如图象法、列表法、解析法）表示函数,.,(3),了解简单的分段函数,并能简单应用,(,函数分段不超过三段,).,1.在高考试题中三种题型都可能出现,以选择、填空为主，属于低档题目，在解答题中偶尔有对函数建模能力的考查.,2.对函数的概念、函数的记号、分段函数的求值以及求函数解析式等仍会重点考查.也有可能把定义一种新运算作为考查的目的.,3.近几年对函数各种表示法的考查都涉及过，估计仍会保持这种考查方式，熟练应用三种表示方法解决函数的一些实际问题是高考的重中之重.,1.,函数的基本概念,(1),函数定义,设集合,A,是一个非空的,如果按照某种确定的对应关系,f,使对于集合,A,中的任意一个数,x,在集合,B,中都有,的数,f(x,),和它对应,那么就称,f:AB,为从集合,A,到集合,B,的一个函数，记作,.,数集,唯一确定,y=,f(x),xA,(2),函数的定义域、值域,在函数,y=,f(x),xA,中，,x,叫做自变量，,x,的取值范围,A,叫做函数的,；与,x,的值相对应的,y,值叫做函数值，函数值的集合,f(x)|xA,叫做函数的,.,显然,值域是集合,B,的子集,.,(3),函数的三要素,:,、,和,.,(4),相等函数,:,如果两个函数的,相同，并且,完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据,.,2.,函数的表示法,表示函数的常用方法有,:,、,和,.,定义域,值域,定义域,值域,对应法则,定义域,对应关系,解析法,图象法,列表法,3.,映射的概念,设,A,B,是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系,f,使对于集合,A,中的任意一个元素,x,在集合,B,中都有唯一确定的元素,y,与之对应,则称对应,f:AB,是集合,A,到集合,B,的一个,.,4.,由映射的定义可以看出,映射是,概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合,A,B,必须是,.,非空数集,映射,函数,考点,1,函数的概念,下列四组函数中,f(x,),与,g(x,),是否为同一函数,为什么,?,(1),f(x,)=,lgx,g(x,)=lgx,2,;,(2),f(x,)=x,g(x,)=;,(3),f(x,)=,g(x,)=,log,a,a,x,;,(4),f(x,)=lgx-2,g(x,)=,lg,.,【,分析,】,判断两个函数是否为同一函数,关键是判断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同,.,如果有一个不同,它们便不是同一函数,.,【,解析,】,(1)f(x),的定义域为,(0,+),g(x),的定义域为,(-,0)(0,+),定义域不同,故,f(x,),与,g(x,),不是同一函数,.,(2),函数,f(x,),的值域为,(-,+),g(x,),的值域为,0,+),值域不同,故,f(x,),与,g(x,),不是同一函数,.,(3),因为,f(x,)=,x(x,0),g(x)=,x(xR,),定义域不同,故,f(x,),与,g(x,),不是同一函数,.,(4),因为,f(x,)=lgx-2(x,0),g(x)=,lg,=lgx-2(x,0),所以,f(x,),与,g(x,),的对应法则、定义域和值域都分别相同,故它们是同一函数,.,【,评析,】,(1),只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是,:,定义域不同,两个函数也就不同,.,对应法则不同,两个函数也是不同的,.,即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数 的定义域和值域 不能唯一地确定函数的对应法则,.,(2),函数的对应法则可以化简,例如题型一,(3)(4),中的函数,再比如函数,f(x,)=|x|,和,g(x,)=,从表面上看它们的对应法则不同,但实质上是相同的,.,(3),当一个函数的对应法则和定义域给定后,它的值域便随之确定,所以,函数的三要素可简化为定义域、对应法则两要素,.,判断下列各组函数是否为同一函数,.,(1),f(x,)=x,2,+2x-1,g(t)=t,2,+2t-1;,(2),f(x,)=,g(x,)=x+1;,(3),【,解析,】,(1),两函数的定义域、值域、对应法则均相同，所以它们是同一函数,.,(2)y=x+1,但,x1,而,y=x+1,中,xR,所以它们不是同一函数,.,(3),函数,f(x,)=,的定义域为,x|x0;,而函数,g(x,)=,的定义域为,x|x-1,或,x0,它们的定义域不同,所以不是同一函数,.,考点,2,求函数解析式,根据下列条件分别求出函数,f(x,),的解析式,:,(1),(2)f(x-2)=x,2,+3x+1;,(3)f(x)+2 =3x;,(4),已知二次函数,f(x,)f(0)=0,且,f(x+1)=,f(x,)+x+1,求,f(x,).,【,分析,】,(1),可用配凑法,.,(2),可将,x-2,看作一个整体,根据函数的定义,寻找,x,2,+3x,+1,与,x-2,的对应关系,.,(3),因考虑到,x,与 的倒数关系,可通过解方程组来求解,析式,.,(4),可用待定系数法求解析式,但此题也可采用多种方法,.,【,解析,】,(1),因,又 ,-2,或 ,2,则,f(x,)=x,2,-2,x(-,-2)(2,+).,(2),令,x-2=t,则,x=t+2,代入已知得,f(t,)=(t+2),2,+3(t+2)+1=t,2,+7t+11,所以,f(x,)=x,2,+7x+11,xR.,(3),由已知,f(x)+2f =3x.,以 代替中的,x,得,f +2f(x)=.,由解得,f(x,)=-x(x0).,（,4,）设,f(x,)=ax,2,+bx+c(a0),由,f(0)=0,知,c=0,f(x)=ax,2,+bx,又由,f(x+1)=f(x)+x+1,得,a(x+1),2,+b(x+1)=ax,2,+bx+x+1,即,ax,2,+(2a+b)x+a+b=ax,2,+(b+1)x+1,解得,a=b=,f(x)=x,2,+x.,【,评析,】,(1),求解析式的目标就是求定义域与值域中对应元素的对应关系式,.,(2),换元法求解析式时，要注意换元变量范围应保持一致,.,例如,:,已知,f(cosx,)=,cosx,，求,f(x,).,可求得,f(x,)=x,，但此处应有,|x|1.,(3),求解析式的几种常见方法,:,代入法,换元法待定系数法方程组法,根据下列条件分别求出函数,f(x,),的解析式：,(1)f(+1)=x+2 ;,(2),f(x,),为二次函数且,f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.,(1),令,t=+1,t1,x=(t-1),2,.,则,f(t,)=(t-1),2,+2(t-1)=t,2,-1,即,f(x,)=x,2,-1,x,1,+).,(2),设,f(x,)=ax,2,+bx+c(a0),f(x+2)=a(x+2),2,+b(x+2)+c,则,f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.,4a=4 a=1,4a+2b=2,b=-1,又,f(0)=3 c=3,f(x)=x,2,-x+3.,【,解析,】,考点,3,分段函数,【,分析,】,先求出f(0),再把f(0)的值作为自变量求出f(f(0).,2,x,+1,x1,x,2,+ax,x1,若,f(f(0)=4a,则实数,a,等于,(),A.B.C.2 D.9,已知函数,f(x,)=,2,x,+1,x1,x,2,+ax,x1.,00,，舍去,.,故应选,A.),2010,年高考课标全国卷,已知函数,f(x,)=,，若,a,b,c,互不相等，且,f(a,)=,f(b,)=,f(c,),，则,abc,的取值范围 是 （）,A.(1,10)B.(5,6),C.(10,12)D.(20,24),C(a,b,c,互不相等，不妨设,abc,f(a,)=,f(b,)=,f(c,),由图象可知,0a1,1b10,10c12.,f(a,)=,f(b),|lga,|=|,lgb,|,lga=-lgb,，即,lga=lga=,ab,=1,10,abc,=c12.,故应选,C.),1.,判断对应是否为映射,即看,A,中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”,.,但要注意,:(1)A,中不同元素可有相同的象,即允许多对一,但不允许一对多,;(2)B,中元素可无原象,即,B,中元素可有剩余,.,2.,分段函数的定义域是各段区间的并集,各个段上的定义域交集为空集,即各个段的端点处不能重复,.,3.,函数的定义中最重要的是定义域和对应法则,值域是由定义域和对应法则确定的,.,在求,f,f(x,),类型的值时应遵循先内后外的原则,.,4.,判断两个函数是否为相同的函数,抓住两点,:(1),定义域是否相同,;(2),对应法则即解析式是否相同,.,注意,:,解析式可以化简,.,5.,建立简单实际问题的函数式,首先要选定变量,而后寻找等量关系,求得函数解析式,但要注意定义域,.,正确理解函数的概念是掌握好本学案内容的关键,.,函数的本质是一种特殊对应关系，它的特殊性在于,:(1),它是非空数集到非空数集的对应,;(2),定义域中的每个元素只有一个函数值；（,3,）定义域中的每个元素一定有函数值,.,确定一个函数需要三个要素,:,定义域；对应法则；值域,.,对应法则是规定元素对应关系的法则，它不一定能够用解析式表示，如列表法和图象法表示的函数,.,对于,f(x,),，可以理解为根据对应法则,f,，自变量,x,对应的函数值；也可以理解为根据对应法则,f,产生的函数,f(x,).,表示函数时，前面一般加“函数”二字,.,列,表法、图象法和解析法是函数最常用的三种表 示方法，函数的图 象是直观理解函数性质和 解 决函数问题的有力工 具，注意灵活使用,.(4),对于用几个分段式子表示的分段函数，不能误认为是几个函数，它是一个整体,.,对于分段函数，必须分段处理，最后还要综合写成一个函数表达式,;,解决分段函数的有关问题的关键是“分段归类”,.,即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题,.,祝同学们学习上天天有进步！,