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,专题六二次函数中的存在、最值、探究问题,以二次函数为核心构建的综合探究问题,一般结合三角形、四边形、动态几何等问题综合考察,考查的类型有,:,与面积有关的问题,(,如最值,),、线段关系的问题、特殊三角形、四边形的问题探究,.,考点一,二次函数中的线段、面积最值问题,【,示范题,1,】,(2020,乐山中考,),已知抛物线,y=ax,2,+bx+c,与,x,轴交于,A(-1,0),B(5,0),两点,C,为抛物线的顶点,抛物线的对称轴交,x,轴于点,D,连接,BC,且,tan CBD=,如图所示,.,(1),求抛物线的解析式,;,(2),设,P,是抛物线的对称轴上的一个动点,.,过点,P,作,x,轴的平行线交线段,BC,于点,E,过点,E,作,EFPE,交抛物线于点,F,连接,FB,FC,求,BCF,的面积的最大值,;,连接,PB,求,PC+PB,的最小值,.,【,思路点拨,】,(1),设抛物线的解析式为,:y=a(x+1)(x-5),可得对称轴为直线,x=2,由锐角三角函数可求点,C,坐标,代入解析式可求解,;,(2),先求出直线,BC,的解析式,设,P(2,t),可得点,E(5-,t,t,),点,F ,可求,EF,的长,由三角形面积公式和二次函数性质可求解,;,根据图形的对称性可知,ACD=BCD,AC=BC=5,过点,P,作,PGAC,于,G,可得,PG=,PC,可得,PC+PB=PG+PB,过点,B,作,BHAC,于点,H,则,PG+PBBH,即,BH,是,PC+PB,的最,小值,由三角形面积公式可求解,.,【,自主解答,】,(1),根据题意,可设抛物线的解析式为,:y=a(x+1)(x-5),抛物线的对称轴为直线,x=2,D(2,0),又,tan CBD=,CD=,BD,tan,CBD=4,即,C(2,4),代入抛物线的解析式,得,4=a(2+1)(2-5),解,得,a=-,二次函数的解析式为,y=-(x+1)(x-5),=-x,2,+x+;,(2),设,P(2,t),其中,0t4,设直线,BC,的解析式为,y=,kx+m,解得,即直线,BC,的解析式为,y=-x+,令,y=t,得,:x=5-t,点,E ,把,x=5-t,代入,y=-(x+1)(x-5),得,y=t ,即,F ,EF=-t=t-,BCF,的面积,=,EF,BD=-(t,2,-4t)=-(t-2),2,+,当,t=2,时,BCF,的面积最大,且最大值为,;,如图,连接,AC,根据图形的对称性可知,ACD=BCD,AC=BC=5,sin ACD=,过点,P,作,PGAC,于,G,则在,RtPCG,中,PG=,PC,sin,ACD=PC,PC+PB=PG+PB,过点,B,作,BHAC,于点,H,则,PG+PBBH,线段,BH,的长就是,PC+PB,的最小值,S,ABC,=,AB,CD=,6,4=12,又,S,ABC,=,AC,BH=BH,BH=12,即,BH=,PC+PB,的最小值为,.,【,跟踪训练,】,1.(2020,深圳福田区模拟,),如图,在平面直角坐标系,xOy,中,直线,y=-x+2,与,x,轴,交于点,B,与,y,轴交于点,C,抛物线,y=-x,2,+bx+c,的对称轴是直线,x=,与,x,轴的交点,为点,A,且经过,B,C,两点,.,(1),求抛物线的解析式,.,(2),点,M,为抛物线对称轴上一动点,当,|BM-CM|,的值最小时,请你求出点,M,的坐标,.,略,2.(2019,张家界中考,),已知抛物线,y=ax,2,+bx+c(a0),过点,A(1,0),B(3,0),两点,与,y,轴交于点,C,OC=3.,(1),求抛物线的解析式及顶点,D,的坐标,;,(2),过点,A,作,AMBC,垂足为,M,求证,:,四边形,ADBM,为正方形,;,(3),点,P,为抛物线在直线,BC,下方图形上的一动点,当,PBC,面积最大时,求点,P,的坐,标,;,(4),若点,Q,为线段,OC,上的一动点,问,:AQ+QC,是否存在最小值,?,若存在,求岀这个,最小值,;,若不存在,请说明理由,.,略,3.(2020,通辽中考,),如图,在平面直角坐标系中,抛物线,y=-x,2,+bx+c,与,x,轴交于点,A,B,与,y,轴交于点,C.,且直线,y=x-6,过点,B,与,y,轴交于点,D,点,C,与点,D,关于,x,轴对称,点,P,是线段,OB,上一动点,过点,P,作,x,轴的垂线交抛物线于点,M,交直线,BD,于点,N.,(1),求抛物线的函数解析式,;,(2),当,MDB,的面积最大时,求点,P,的坐标,;,(3),在,(2),的条件下,在,y,轴上是否存在点,Q,使得以,Q,M,N,三点为顶点的三角形是直角三角形,?,若存在,直接写出点,Q,的坐标,;,若不存在,说明理由,.,略,考点二,二次函数中的存在性问题,【,示范题,2,】,(2020,成都模拟,),如图,在平面直角坐标系,xOy,中,二次函数,y=-,x,2,+bx+c,的图象经过点,A(4,0),C(0,2).,(1),求抛物线的解析式,.,(2),如图,1,点,E,是第一象限的抛物线上的一个动点,.,当,ACE,面积最大时,请求出点,E,的坐标,.,(3),如图,2,在抛物线上是否存在一点,P,使,CAP=45,?,若存在,求点,P,的坐标,;,若不存在,请说明理由,.,【,自主解答,】,(1),将点,A(4,0),C(0,2),代入,y=-x,2,+bx+c,得,:,解得,:,抛物线的解析式为,y=-x,2,+x+2.,(2),如图,1,过点,E,作,EFy,轴交,AC,于点,F,设直线,AC,的解析式为,y=kx+2,4k+2=0,k=-,直线,AC,的解析式为,y=-x+2,设点,E(x,-x,2,+x+2),则,F(x,-x+2),则,EF=-x,2,+x+2-,=-x,2,+2x,S,ACE,=S,CEF,+S,AEF,=EF,OA=,(-x,2,+2x),4,=-x,2,+4x=-(x-2),2,+4,-10,当,x=2,时,此时,E(2,3),S,ACE,取得最大值,4.,(3),如图,2,中,将线段,AC,绕点,A,逆时针旋转,90,得到,AC,则,C(2,-4),取,CC,的,中点,H(1,-1),作直线,AH,交抛物线于,P,此时,PAC=45,A(4,0),H(1,-1),直线,AH,的解析式为,y=x-,由,解得 或,P(-,-).,作直线,APPA,则直线,AP,的解析式为,y=-3x+12,由,解得 或,(,不合题意舍弃,),综上所述,满足条件的点,P,的坐标为,.,【,跟踪训练,】,1.(2020,防城港模拟,),在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等,则称这个点为,“,美好点,”,如图,过点,P,分别作,x,轴,y,轴的垂线,与坐标轴围成的矩形,OAPB,的周长与面积相等,则,P,为,“,美好点,”,.,(1),在点,M(2,2),N(4,4),Q(-6,3),中,是,“,美好点,”,的有,.,(2),若,“,美好点,”,P(a,-3),在直线,y=,x+b(b,为常数,),上,求,a,和,b,的值,.,(3),若,“,美好点,”,P,恰好在抛物线,y=x,2,第一象限的图象上,在,x,轴上是否存在一,点,Q,使得,POQ,为等腰三角形,?,若存在,请求出点,Q,的坐标,;,若不存在,请说明理由,.,略,2.(2020,潍坊中考,),如图,抛物线,y=ax,2,+bx+8(a0),与,x,轴交于点,A(-2,0),和点,B(8,0),与,y,轴交于点,C,顶点为,D,连接,AC,BC,BC,与抛物线的对称轴,l,交于点,E.,(1),求抛物线的表达式,;,(2),点,P,是第一象限内抛物线上的动点,连接,PB,PC,当,S,PBC,=S,ABC,时,求点,P,的坐,标,;,(3),点,N,是对称轴,l,右侧抛物线上的动点,在射线,ED,上是否存在点,M,使得以点,M,N,E,为顶点的三角形与,OBC,相似,?,若存在,求点,M,的坐标,;,若不存在,请说明理,由,.,略,考点三,二次函数中的探究性问题,【,示范题,3,】,(2020,天水中考,),如图所示,拋物线,y=ax,2,+bx+c(a0),与,x,轴交于,A,B,两点,与,y,轴交于点,C,且点,A,的坐标为,A(-2,0),点,C,的坐标为,C(0,6),对称轴为直线,x=1.,点,D,是抛物线上一个动点,设点,D,的横坐标为,m(1m4),连接,AC,BC,DC,DB.,(1),求抛物线的函数表达式,;,(2),当,BCD,的面积等于,AOC,的面积的 时,求,m,的值,;,(3),在,(2),的条件下,若点,M,是,x,轴上一动点,点,N,是抛物线上一动点,试判断是否存,在这样的点,M,使得以点,B,D,M,N,为顶点的四边形是平行四边形,.,若存在,请直接,写出点,M,的坐标,;,若不存在,请说明理由,.,【,思路点拨,】,(1),由题意得出方程组,解方程组即可,;,(2),过点,D,作,DEx,轴于,E,交,BC,于,G,过点,C,作,CFED,交,ED,的延长线于,F,求出点,B,的,坐标为,(4,0),由待定系数法求出直线,BC,的函数表达式为,y=-x+6,则点,D,的坐标,为,点,G,的坐标为,(m,-m+6),求出,S,BCD,=-m,2,+6m=,解方程,即可,;,(3),求出点,D,的坐标为,分三种情况,当,DB,为对角线时,证出,DNx,轴,则,点,D,与点,N,关于直线,x=1,对称,得出,N ,求出,BM=4,即可得出答案,;,当,DM,为对角线时,由,得,N ,DN=4,由平行四边形的性质得出,DN=BM=4,进而得出答案,;,当,DN,为对角线时,点,D,与点,N,的纵坐标互为相反数,N(1+,-),或,N(1-,-),再分两种情况解答即可,.,【,自主解答,】,略,【,跟踪训练,】,1.(2019,娄底中考,),如图,抛物线,y=x,2,+mx+(m-1),与,x,轴交于点,A(x,1,0),B(x,2,0),x,1,x,2,与,y,轴交于点,C(0,c),且满足,+x,1,x,2,=7.,(1),求抛物线的解析式,;,(2),在抛物线上能不能找到一点,P,使,POC=PCO?,若能,请求出点,P,的坐标,;,若不能,请说明理由,.,【,解析,】,(1),依题意,:x,1,+x,2,=-m,x,1,x,2,=m-1,+x,1,x,2,=7,(x,1,+x,2,),2,-x,1,x,2,=7,(-m),2,-(m-1)=7,即,m,2,-m-6=0,解得,m,1,=-2,m,2,=3,c=m-10,m=3,不合题意,m=-2,抛物线的解析式是,y=x,2,-2x-3;,(2),能,.,如图,设,P,是抛物线上的一点,连接,PO,PC,过点,P,作,y,轴的垂线,垂足为,D.,若,POC=PCO,则,PD,应是线段,OC,的垂直平分线,C,的坐标为,(0,-3),D,的坐标为,P,的纵坐标应是,-,令,x,2,-2x-3=-,解得,x,1,=,x,2,=,因此所求点,P,的坐标是,.,2.(2020,青海中考,),如图,1(,注,:,与图,2,完全相同,),所示,抛物线,y=-x,2,+bx+c,经过,B,D,两点,与,x,轴的另一个交点为,A,与,y,轴相交于点,C.,(1),求抛物线的解析式,.,(2),设抛物线的顶点为,M,求四边形,ABMC,的面积,.(,请在图,1,中探索,),(3),设点,Q,在,y,轴上,点,P,在抛物线上,.,要使以点,A,B,P,Q,为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点,P,的坐标,.(,请在图,2,中探索,),略,
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