21从平面向量到空间向量

类比平面向量的相关概念思考下列问题（自主学习,3,分钟）,思考交流，合作交流,（,3,分钟）,答案：,D,课时小结：,1,、空间向量的概念：,（,1,）定义：（,2,）模和夹角：（,3,）自由向量：,（,4,）相等向量：,2,、空间向量的共线（平行）和垂直：,3,、直线的方向向量：,4,：平面的法向量：,布置作业：,1,、课本,P27A,组习题,21,第,1,，,2,3,4,题和,B,组第,1,2,题（做在书上，下节课前由课代表检查）,2,、,全品作业本,课后记：（,1,）本节课内容利用类比思维直接从平面向量引申到空间向量，由于过渡自然，学生容易理解；（,2,）时间安排刚好,.,一、选择题（每题,5,分，共,15,分）,1.,在空间向量中，下列说法正确的是,(),(A),如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等,(B),如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同,(C),如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相等,(D),同向且等长的有向线段表示同一向量,【,解析,】,选,D.,选项,A,与选项,C,中两向量方向不一定相同，故两向量不一定相等；向量平行但方向不一定相同，故,B,错误，因此选,D.,【,解题提示,】,根据命题逐一判断,同时要注意向量的方向性,.,【,解析,】,选,C.,根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同,.,根据正方体的性质，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，向量 与 的方向相同，模也相等，所以,=,，故正确；命题显然正确；对于命题，空间中任意两个单位向量的模均为,1,，但方向不一定相同，故不一定相等，故错误,.,3.,在棱长为 的正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，所有棱及面对角线中能表示单位向量的有向线段共有,(),(A)12,条,(B)16,条,(C)18,条,(D)24,条,【,解析,】,选,D.,棱长为 的正方体的面对角线长度为,1,，它们对应的有向线段可以表示单位向量，正方体的面对角线有,12,条，考虑方向共有,24,条有向线段,.,二、填空题（每题,5,分，共,10,分）,4.,如图所示，在平行六面体,ABCDABCD,中能作为直线,AA,的方向向量的有,_,个,.,答案：,【,解析,】,答案：,【,解析,】,三、解答题（,6,题,12,分，,7,题,13,分，共,25,分）,6.,在正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，,（,1,）试给出平面,A,1,B,1,CD,的两个法向量；,（,2,）向量,C,1,C,与,AD,1,的夹角是多少？,【,解题提示,】,求平面的法向量的题目一般是求与平面内的两条不共线的向量都垂直的向量,.,【,解析,】,7.,在空间四边形,ABCD,中，已知,BC=AC,，,AD=BD,，作,BECD,，,E,为垂足，作,AHBE,于,H,，求证：,AH,是平面,BCD,的一个法向量,.,【,证明,】,取,AB,中点,F,，连接,CF,、,DF,、,AE,，,AC=BC,，,CFAB.,又,AD=BD,，,DFAB,，,AB,平面,CDF.,又,CD,在平面,CDF,内，,CDAB.,又,CDBE,，,CD,平面,ABE,，,CDAH.,又,AHBE,，,AH,平面,BCD.,故,AH,是平面,BCD,的一个法向量,.,1.(5,分,),如图，四棱锥,EABCD,中，,EA,平面,ABCD,，四边形,ABCD,为正方形，且,EA=AD,，,F,、,G,、,H,、,I,分别是所在边上的中点，则过点,A,作平面,CDE,的一个法向量是,(),【,解析,】,选,A.,因为,EA,平面,ABCD,，所以,EACD,，又四边形,ABCD,为正方形，所以,ADCD,，所以,CD,平面,EAD,，又,AI,在平面,EAD,内，所以,CDAI,，在等腰三角形,EAD,中，,I,是,ED,的中点，所以,AIED,，所以,AI,平面,CDE.,因此,AI,是平面,ECD,的法向量,.,2.,（,5,分）记“一个平面和它的一个法向量”为一个“垂直对”，那么，在正方体中，由正方体的四个顶点围成的面，由两个顶点对应的向量（,AB,与,BA,只记一次）中，共可以组成“垂直对”,(),（,A,）,12,个,(B)24,个,(C)36,个,(D)48,个,【,解析,】,选,C.,首先正方体每个面与其对应成垂直的四条棱可组成,4,个垂直对，正方体共,6,个面，可组成,24,个垂直对；其次正方体的对角面与其对应垂直的两条面对角线可组成,2,个垂直对，正方体共有,6,个对角面，可组成,12,个垂直对，总共有,36,个,“,垂直对,”,.,3.(5,分,),在平行六面体,ABCDABCD,中，与向量,BA,相等的向量是,_,；与,BC,平行的向量是,_.,【,解析,】,CD,是与,BA,长度相等，方向相同的向量，,AD,是与,BC,方向相同的向量,答案：,CD AD(,答案不唯一,),4.(15,分,),已知：如图所示的多面体是由底面为,ABCD,的长方体,被截面,AEFG,所截而得的，其中,AD=1,，,BE=3,，,CF=4,，,求,EF,AD.,