圆的极坐标方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一讲 坐标系,三,.,简单曲线的极坐标方程,.,圆的极坐标方程,严 华,问题提出,1.,在极坐标系中，点,M,的极坐标,是怎样构成的？,点,M,的极坐标是极径,和极角,组成的有序数对,(,，,).,M,x,O,2.,以直角坐标系原点,O,为极点，,x,轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点,M,的直角坐标,(x,，,y),与极坐标,(,，,),的互化公式是什么？,x,cos,，,y,sin,.,圆的,极坐标方程,探究（一）：,圆的极坐标方程,思考,1,：,在极坐标系中，若半径为,a,的圆的圆心坐标为,C(,a,，,0)(,a,0),，则该圆与极坐标系的相对位置关系怎样？试画图表示,.,x,O,C,思考,2,：,设该圆与极轴的另一个交点,为,A,，点,M(,，,),为圆上除点,O,，,A,以外的任意一点，那么极径,和极角,之间满足什么关系？,M,x,O,C,A,2,a,cos,思考,3,：,点,O,，,A,的极坐标可以分别是什么？它们都满足等式,2,a,cos,吗？,点 ，,A(2,a,，,0),都满足等式,.,思考,3,：,由此可知，圆上任意一点的,极坐标,(,，,),中至少有一个满足,等式,2,a,cos,；反之，极坐标适合,该等式的点都在这个圆上吗？,都在这个圆上,M,x,O,C,A,思考,4,：,等式,2,a,cos,叫做圆,C,的极坐标方程,.,一般地，在极坐标系中，对于平面曲线,C,和方程,f,(,，,),0,，在什么条件下，方程,f,(,，,),0,是曲线,C,的极坐标方程？,（,1,）,曲线,C,上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程,f,(,，,),0,；,（,2,）,坐标适合方程,f,(,，,),0,的点都在曲线,C,上,.,思考,5,：在极坐标系中，圆心坐标为,C(,a,，,)(,a,0),，半径为,a,的圆的极坐标方程是什么？圆心坐标为,C(,a,，,),(,a,0),，半径为,a,的圆的极坐标方程是什么？,2,a,cos,2,a,sin,M,x,O,C,A,M,x,O,C,A,思考,6,：,特别地，以极点为圆心，半径为,r,的圆的极坐标方程是什么？,M,x,O,r,思考,7,：一般地，求曲线的极坐标方程的基本步骤是什么？,（,1,）建立极坐标系，设动点坐标；,（,2,）找出曲线上的点满足的几何条件；,（,3,）将几何条件用极坐标表示；,（,4,）化简小结,.,题型一,圆的极坐标方程,【,例,1,】,思维启迪,解答本题先设圆上任意一点,M,(,，,),，建立等式转化为,，,的极坐标方程，化简即可,解,由题意知，圆经过极点,O,，,OA,为其一条直径，设,M,(,，,),为圆上除点,O,，,A,以外的任意一点，则,|,OA,|,2,r,，连接,AM,，则,OM,MA,，在,Rt,OAM,中，,|,OM,|,|,OA,|cos,AOM,，,求下列圆的极坐标方程,(,),中心在极点，半径为,2,；,(,),中心在,(,a,0),，半径为,a,；,(,),中心在,(,a,/,2),，半径为,a,；,2,2acos,2asin,练习,极坐标方程分别是,cos,和,sin,的两个圆的圆心距是多少,?,练习,在圆心的极坐标为,A,(4,，,0),，半径为,4,的圆中，求过极点,O,的弦的中点的轨迹,【,例,2,】,解,设,M,(,，,),是轨迹上任意一点连接,OM,并延长交圆,A,于点,P,(,0,，,0,),，则有,0,，,0,2,.,由圆心为,(4,，,0),，半径为,4,的圆的极坐标方程即为,8cos,，,得,0,8cos,0,.,所以,2,8cos,，,故所求轨迹方程是,4cos,.,它表示以,(2,，,0),为圆心，,2,为半径的圆,高考链接,D,O,1,和,O,2,的极坐标方程分别为,4,cos,，,4,sin,.,(1),把,O,1,和,O,2,的极坐标方程化为直角坐标方程；,(2),求经过,O,1,和,O,2,交点的直线的直角坐标方程,高考链接,【,解析,】(1),以极点为原点，极轴为,x,轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标轴取相同单位长,因为,x,cos,，,y,sin,，,由,4,cos,，得,2,4,cos,，,所以,x,2,y,2,4x,，即,x,2,y,2,4x,0,为,O,1,的直角坐标方程,同理,x,2,y,2,4y,0,为,O,2,的直角坐标方程,.,小结：,（）曲线的极坐标方程概念,（）怎样求曲线的极坐标方程,（,3,）圆的极坐标方程,2,常见圆的极坐标方程,r,作业：,P15,习题,1.3,：,2,，,3,，,4,，,5,，,6.,