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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,解析几何,第二章 轨迹与方程,曲线与方程：,定义,：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：,（,1,）满足方程的,(x,y),必是曲线上某一点的坐标；,（,2,）曲线上任何一点的坐标,(x,y),满足这个方程；,则这个方程称为这条,曲线的方程,，这条曲线称为,方程的图形,。,曲线的方程常表示为：,F(x,y)=0,或,y=f(x),平面曲线的方程,例,1,、求圆心在原点，半径为,R,的圆的方程。,解：,|OM|=R,普通方程,x,2,+y,2,=R,2,例,2,、已知两点,A(-2,-2),B(2,2),，,求满足条件,|MA|-|MB|=4,的动点的轨迹。,化为普通方程为,xy=2 (x+y,2),故曲线为,y,x,o,xy=2,解：方程可表为,|MA|-|MB|=4,矢性函数,当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着,时间,t,的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢,称为,变向量,，记为,r,(t),。如果变数,t(a,tb),的每一个值,对应于变矢,r,的一个完全的值（模与方向）,r,(t),，则称,r,是变数,t,的,向量函数,，记为,r,=,r,(t),(a,tb).,矢性函数的分量表示,设平面上取定的标架为,O;,e,1,e,2,则向量函数可,表示为,r,(t)=x(t),e,1,+y(t),e,2,(a,tb).,（,1,）,其中,x(t),y(t),是,r,(t),的分量，它们分别是变数,t,的函数,。,向量式参数方程,若取,(a,tb),的一切可能值，由（,1,）,r,(t)=x(t),e,1,+y(t),e,2,(a,tb).,坐标式参数方程,曲线 的参数方程常可以写成下列形式：,称为曲线的,坐标式参数方程。,y,x,O,r(t),r(a),r(b),A,B,P(x(t),y(t),的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意,点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由,t,的某,一值,t,0,(,a,t,0,b),通过（,1,）完全确定，则称表达式（,1,）为曲线的,向量式参数方程,，其中,t,为参数。,表示的径矢,r(t),例,3,、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点,P,的轨迹。,解：取直角坐标系，设,半径为,a,的圆在,x,轴上滚,动，开始时点,P,恰在原,点,经过一段时间的滚,动,圆与直线的切点移,到,A,点，圆心的位置移,到,C,点，这时有,r,=OP=OA+AC+CP,设,=,(CP,CA),于是向量,CP,对,x,轴所成的有向角为,P,O,r,a,a,x,C,y,则,又因为,|OA|=AP=a,，,所以,OA=a,i,AC=a,j,从而点,P,的向量式参数方程为,r,=a(,-sin,),i,+a,(1-cos,),（,+,）,其坐标式参数方程为,这种曲线称为,旋轮线,或,摆线,。,x,O,y,例,4,已知大圆的半径为,a,，小圆的半径为,b,，,若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，,动圆上某一定点,P,的轨迹。,参数方程为,例,5,把椭圆的普通方程式 化为参数方程。,法一,法二,设,y=tx+b,代入原方程得,解得,在第二式中取,t=0,得,x=0,，所以舍去第一式，取,从而,在法二中，若令,u=-t,，则得椭圆的另一种表示式为,注：第二种解法中，设,y=tx+b,，实际上是在椭圆上取,一定点,(0,b),作以,(0,b),为中心的直线束，而这时的椭圆,的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表,达式。由于这时过点,(0,b),的,y,轴的斜率不存在，因此需,补上点,(0,-b),，或把它看成当,t,时的交点。,例,6,化方程,y,2,(2a-x)=x,3,(a,0),为参数方程。,解：设,y=tx,，代入可得参数方程,注,1,：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程,表示，即不能用,x,y,的初等函数来表示，如,注,2,：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注,意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看,成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,曲面的方程,F,(,x,y,z,)=0,S,x,y,z,o,根据题意有,化简得所求方程,解,例,2,求两坐标面 和 所成二面角的平分面的方程。,解：因为所求平分面是与两坐标面 和 有等距离,的点的轨迹，因此 在平分面上的充要条件是,即,与,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,得上、下半球面的方程分别是：,由,由上述方程可得球面的,一般式方程为,：,反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：,（*）,当 时,是球面方程,.,曲面的参数方程,双参数向量函数,M,o,z,x,y,S,在两个变数 的变动区域内定义的函数,或,(2),称为,双参数向量函数,，,其中,是变向量 的分量，,它们都是变数 的函数,。,M,o,z,x,y,S,当 取遍变动区域的一切,值时，向径,的终点,所画的轨迹一般为一张曲面。,曲面的向量式参数方程,定义,：若取,的一切可能值，,由（,2,）表示的向径 的终点 总在一个曲面上，,反之，在这个曲面上的任意点 总对应着以它为终点的向径，而这向径可由,的值,通过（,2,）完全决定，,则称（,2,）式为曲面的,向量式参数方程,，其中,为参数。,曲面的坐标式参数方程,表达式（,3,）称为曲面的,坐标式参数方程,。,因为径矢 的分量为,所以曲面的参数方程也常写成,例,1,求中心在原点，半径为,r,的球面的参数方程,。,M,R,x,y,z,P,Q,解：设 是球面上任一点，,在 坐标面上的射影为 ，,而 在 轴上的射影为,又设在,坐标面上的有向角,与 的交角,，,则,所以,此即为中心在原点，半径为,r,的球面的,向量式参数方程,。,与,M,R,x,y,z,P,Q,中心在原点，半径为,r,的球面的坐标式参数方程为,(4),(5),中的,为参数，其取值范围分别是,与,例,2,求以,z,轴为对称轴，半径为,R,的圆柱面的参数方程。,解：如图,有,P,x,y,z,o,o,M,Q,r,所以,（,6,）,此即为圆柱面的,向量式参数方程,。,P,x,y,z,o,o,M,Q,r,其坐标式参数方程为,(6),(7),中的,为参数，其取值范围分别是,与,球坐标系与柱坐标系,空间中的任意一点,总可以看成是球面上的一个点,只是不同的点所在的球面其半径不相同,将球面方程中的半径变为一个变量,则半径的改变,以及角度的改变就可以确定空间中的任意一点,空间球坐标系,M,R,x,y,z,P,Q,直角坐标系下,球坐标系下,球坐标系下,表示的是一个半平面,球坐标系下,表示的是一个圆锥面,柱坐标系,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程,.,空间曲线,C,可看作空间两曲面的交线,.,特点,：,空间曲线的一般方程,解：,解：,或,可见，空间曲线的一般方程的,表示不是唯一的,。,例,1,、写出 轴的方程。,轴可看成两个平面的交线，如,例,2,、求在 坐标面上，半径为,R,，圆心为原点的,圆的方程。,例,3,方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆,.,例,4,方程组,解,上半球面,圆柱面,交线如图,.,表示怎样的曲线？,（维维安尼曲线,Viviani,）,空间曲线的参数方程,空间曲线的方程,空间曲线的参数方程,例,5:,如果空间一点,M,在圆柱面,x,2,+,y,2,=,a,2,上以角速度,绕,z,轴旋转,同时又以线速度,v,沿平行于,z,轴的正方向上升(其中,v,都是常数),那末点,M,构成的图形叫做,圆柱,螺旋线,试建立其参数方程.,解,:,取时间,t,为参数,设当,t,=0,时,动点位于,x,轴上的一点,A,(,a,0,0),处,。,经过时间,t,由,A,运动到,M(x,y,z),M,在,xOy,面上的投影为,M,(x,y,0).,(1),动点在圆柱面上以角速度,绕,z,轴旋转,所以经过时间,t,AOM,=,t,.,从而,x,=|,OM,|cos,AOM,=,a,cos,t,y,=|,OM,|sin,AOM,=,a,sin,t,(2),动点同时以线速度,v,沿,z,轴向上升.因而,z=MM,=,vt,得螺旋线的参数方程,x,=,a,cos,t,y,=,a,sin,t,z=vt,注,:,还可以用其它变量作参数,.,x,y,z,A,O,M,t,M,y,x,z,A,O,M,t,M,例如,:,令,=t,.,为参数,;,螺旋线的参数方程为,:,x,=,a,cos,y,=,a,sin,z=b,当,从,0,变到,0,+,是,z,由,b,0,变到,b,0,+,b,即,M,点上升的高度与,OM,转过的角度成正比.,特别,当,=2,时,M,点上升高度,h,=2,b,h,在工程上称,h,=2,b,为,螺距,.,例,6,维维安尼曲线,一半径为,a,的球面与一个直径等于,球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，则球面与,圆柱面的交线称为,维维安尼曲线，,试写出其一般方程,和参数方程。,解：,一般方程,参数方程,O,x,y,z,本章学习结束,谢谢大家,