复习线性回归方程的求法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1复习线性回归方程的求法,1.1复习线性回归方程的求法,必修3(第二章 统计)知识结构,收集数据,(随机抽样),整理、分析数据估计、推断,简单随机抽样,分层抽样,系统抽样,用样本估计总体,变量间的相关关系,用样本的频率分布估计总体分布,用样本数字特征估计总体数字特征,线性回归分析,必修3(第二章 统计)知识结构 收集数据 (随机抽样)整理,统计的基本思想,实际,样本,模 拟,抽 样,分 析,统计的基本思想实际样本模 拟抽 样分,问题1：,正方形的面积y与正方形的边长x之间,的,函数关系,是,y = x,2,确定性关系,问题2：,某水田水稻产量y与施肥量x之间是否,-,有一个确定性的关系？,例如：,在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：,施化肥量x,15 20 25 30 35 40 45,水稻产量y,330 345 365 405 445 450 455,回顾变量之间的两种关系,问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间y = x2确定,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做,相关关系,。,1、定义：,1）：相关关系是一种不确定性关系；,注,对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫,回归分析,。,2）：,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量,5,2、,现实生活中存在着大量的相关关系。,如：人的身高与年龄；,产品的成本与生产数量；,商品的销售额与广告费；,家庭的支出与收入。等等,探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？,2、现实生活中存在着大量的相关关系。探索：水稻产量y与施肥量,10 20 30 40 50,500,450,400,350,300,发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。,探索2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？,x,y,施化肥量,水稻产量,施化肥量x,15 20 25 30 35 40 45,水稻产量y,330 345 365 405 445 450 455,散点图,10 20 30 40 50500,10 20 30 40 50,500,450,400,350,300,x,y,施化肥量,水稻产量,怎样求回归直线？,10 20 30,最小二乘法：,称为样本点的中心,。,最小二乘法：称为样本点的中心。,（3）对两个变量进行的线性分析叫做,线性回归分析,。,2、回归直线方程：,（2）相应的直线叫做,回归直线,。,（1）所求直线方程 叫做,回归直线方程,；,其中,（注意回归直线一定经过样本点的中心）,（3）对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。2、回归直线,例1 假设关于某设备的使用年限x和所有支出的维修费用y(万元)有如下的统计数据：,x,2,3,4,5,6,Y,2.2,3.8,5.5,6.5,7.0,若由此资料所知y对x呈线性相关关系，试求：,回归直线方程,估计使用年限为10年时，维修费用是多少？,解题步骤：,作散点图,2.把数据列表，计算相应的值，求出回归系数,3.写出回归方程,并按要求进行预测说明。,例1 假设关于某设备的使用年限x和所有支出的维修费用y(万元,例2 （2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据。,X,3,4,5,6,y,2.5,3,4,4.5,请画出上表数据的散点图,请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的,性回归方程,(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准,煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100,吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？,（参考数值：,）,例2 （2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产,小结：求回归直线方程的步骤,（2）所求直线方程 叫做,回归直线方程,；,其中,（1）作散点图，通过图看出样本点是否呈条状分,布，进而判断两个量是否具有线性相关关系。,（3）根据回归方程，并按要求进行预测说明。,小结：求回归直线方程的步骤（2）所求直线方程,第一章 统计案例,1.1回归分析的基本思想及其初步应用,（第二课时）,第一章 统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用（第二,a. 比数学3中“回归”增加的内容,数学统计,画散点图,了解最小二乘法的思想,求回归直线方程,ybx,a,用回归直线方程解决应用问题,选修-统计案例,引入线性回归模型,ybxae,了解模型中随机误差项,e,产生的原因,了解相关指数,R,2,和模型拟合的效果之间的关系,了解残差图的作用,利用线性回归模型解决一类非线性回归问题,正确理解分析方法与结果,a. 比数学3中“回归”增加的内容数学统计选修-,什么是回归分析：,“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。,根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以,X,记父辈身高，,Y,记子辈身高。,虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此，,X和Y之间存在一种相关关系。,一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身,高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈,的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。,虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它,所描述的关于,X,为自变量，,Y,为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的,回归含义是相同的。,不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用,于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。,什么是回归分析：“回归”一词是由英国生物学家F.Galton,回归分析的内容与步骤：,统计检验通过后，最后是,利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量,。,回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。,其主要内容和步骤是，,首先根据理论和对问题的分析判断，,将变量分为自变量和因变量,；,其次，设法,找出合适的数学方程式（即回归模型）,描述变量间的关系；,由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要,对回归模型进行统计检验,；,回归分析的内容与步骤： 回归分析通过一个变量或一些变量的变化,例1,从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm的女大学生的体重。,案例1：女大学生的身高与体重,解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：,2、由散点图知道身高和体重有比较好的,线性相关关系，因此可以用线性回归方程,刻画它们之间的关系。,3、从散点图还看到，样本点散布在某一条,直线的附近，而不是在一条直线上，所以,不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。,我们可以用下面的,线性回归模型,来表示：,y=bx+a+e,，其中a和b为模型的未知参数，,e称为随机误差,。,思考P3,产生随机误差项e,的原因是什么？,例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1,思考P4,产生随机误差项e的原因是什么？,随机误差e的来源(可以推广到一般）：,1、其它因素的影响：影响身高,y,的因素不只是体重,x,，可能 还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；,2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；,3、身高 y 的观测误差。,思考P4随机误差e的来源(可以推广到一般）：,探究P4：,身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？,如果不是，你能解析一下原因吗？,答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，,但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,探究P4：答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.,对回归模型进行统计检验,对回归模型进行统计检验,表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，,是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始,数据中是否存在可疑数据，,这方面的分析工作称为残差分析,。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,残差,-6.373,2.627,2.419,-4.618,1.137,6.627,-2.883,0.382,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本,编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为,残差图,。,表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据,残差图的制作及作用。,坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；,若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域,；,对于远离横轴的点，要特别注意,。,身高与体重残差图,异常点,错误数据,模型问题,几点说明：,第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。,另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,残差图的制作及作用。身高与体重残差图异常点 错误数据,我们可以用,相关指数R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,另外，,反映回归直线的拟合程度,取值范围在 0 , 1 之间,r,2,1，说明回归方程拟合的越好；,r,2,0，说明回归方程拟合的越差,判定系数等于相关系数的平方，即,r,2,(,r,),2,我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是另外，反,我们可以用,相关指数R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,显然，R,2,的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，R,2,表示解析变量对预报变量变化的贡献率,。,R,2,越接近1，表示回归的效果越好（因为R,2,越接近1，表示解析变量和预报变量的,线性相关性越强）。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R,2,的值,来做出选择，即,选取R,2,较大的模型作为这组数据的模型,。,总的来说：,相关指数R,2,是度量模型拟合效果的一种指标。,在线性模型中，它,代表自变量刻画预报变量的能力,。,我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是显然，R,我们可以用,相关指数R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,1,354,总计,0.36,128.361,残差变量,0.64,225.639,解释变量,比例,平方和,来源,表1-3,从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即R,2,0.64，可以叙述为,“身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。,所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是1354,用身高预报体重时，需要注意下列问题：,1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；,2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；,3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；,4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。,事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。,这些问题也使用于其他问题。,涉及到统计的一些思想：,模型适用的总体；,模型的时间性；,样本的取值范围对模型的影响；,模型预报结果的正确理解。,小结：,用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们,一般地，建立回归模型的基本步骤为：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。,（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系,（如是否存在线性关系等）。,（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性,回归方程y=bx+a）.,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现,不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是,否合适等。,一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪,例1 假设关于某设备的使用年限x和所有支出的维修费用y(万元)有如下的统计数据：,x,2,3,4,5,6,Y,2.2,3.8,5.5,6.5,7.0,试求：,对变量y与x进行相关性检验,求回归直线,根据你得到的模型，预报使用年限为10年时，维修费用是多少？,你认为这个模型能较好地刻画年限与维修费用的关系吗？,请说明理由,详细解题过程,例1 假设关于某设备的使用年限x和所有支出的维修费用y(万元,例2 （2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据。,X,3,4,5,6,y,2.5,3,4,4.5,对变量y与x进行相关性检验,如果两变量x、y具有线性相关关系，试求出y关于x的线性回归方程。,（3）根据你得到的模型，预报使用产量为100吨，预测生产能耗是多少？,（4）你认为这个模型能较好地刻画产量与能耗的关系吗？ 请说明理由?,例2 （2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产,