第13章超静定结构ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,第13章超静定结构,第13章超静定结构第13章超静定结构第13章 超静定结构,113“技术支持服务”指本合同附件三和四中规定的在合同设备和合同材料和合同产品的制造、检验、调试、操作和其它有关职能方面由转让方向合同工厂人员提供的技术咨询和技术指导。,第13章超静定结构第13章超静定结构第13章超静定结构第13,1,第13章 超静定结构,第13章 超静定结构,2,13.1 超静定结构的一般概念,13.2 力法基本原理与力法的典型方程,13.3 力法计算举例,13.4 对称性的利用,13.5 等截面单跨超静定梁的杆端内力,13.6 位移法基本原理与位移法典型方程,13.7 位移法计算举例,13.8 超静定结构的特性,13.1 超静定结构的一般概念13.2 力法基本原理与力法的,3,13.1 超静定结构的一般概念,13.1.1 超静定结构的性质,结构的支座反力和各截面的内力均可以用静力平衡条件唯一确定静定结构。,B,A,F,B,F,Ay,F,Ax,结构的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定超静定结构。,F,C,C,B,F,B,A,F,Ay,F,Ax,静定结构和超静定结构都是几何不变体系。,13.1 超静定结构的一般概念13.1.1 超静定结构的性质,4,若从简支梁中撤去支杆,B,，就变成了几何可变体系；,若从连续梁中撤去支杆,C,，则其仍为几何不变体系。,支杆,C,是多余约束。,静定结构是没有多余约束的几何不变体系；,超静定结构则是有多余约束的几何不变体系。,多余约束并不是没用的，它可以调整结构的内力和位移，减小弯矩和挠度，故从提高结构承载力的角度来看，它并不是多余的。,F,C,C,B,F,B,A,F,Ay,F,Ax,B,A,F,B,F,Ay,F,Ax,若从简支梁中撤去支杆B，就变成了几何可变体系；FCCBFBA,5,超静定结构的主要性质：,（,1,）仅由平衡条件不能确定所有约束的反力，还须考察变形条件；,（,2,）其受力情况与材料的物理性质、截面的几何性质有关；,（,3,）因制造误差、支座移动、温度改变等原因，超静定结构能够产生内力。,超静定结构的主要性质：,6,13.1.2 超静定次数的确定,超静定结构中多余约束的个数称为超静定次数。,结构的超静定次数可以采用撤去多余约束使超静定结构成为静定结构的方法来确定：,如果从原结构中去掉,n,个约束，结构就变为静定结构，则称原结构为,n,次超静定结构。,13.1.2 超静定次数的确定,7,（1）撤去一根支杆或切断一根链杆，相当于拆掉一个约束。,X,1,X,1,X,1,（1）撤去一根支杆或切断一根链杆，相当于拆掉一个约束。X1X,8,（2）将一个固定端支座改为固定铰支座或在连续杆上加一个单铰，相当于拆掉一个约束。,X,1,X,1,X,1,（2）将一个固定端支座改为固定铰支座或在连续杆上加一个单铰，,9,（3）撤去一个固定铰支座或撤去一个单铰，相当于拆掉两个约束。,X,2,X,2,X,1,X,1,X,1,X,2,（3）撤去一个固定铰支座或撤去一个单铰，相当于拆掉两个约束。,10,（4）撤去一个固定端支座或切断一个梁式杆，相当于拆掉三个约束。,X,3,X,2,X,1,X,3,X,1,X,2,X,3,X,2,X,1,（4）撤去一个固定端支座或切断一个梁式杆，相当于拆掉三个约束,11,共有,7,个多余约束。,举例：,共有7个多余约束。举例：,12,13.1.3 计算超静定结构的基本方法,计算超静定结构的基本方法有两种,力法、位移法。,力法是以多余约束力作为基本未知量，即先把多余力求出来，而后求出原结构的全部内力。,位移法是以位移（结点的线位移及角位移）作为基本未知量，先求位移，再求结构的内力。,13.1.3 计算超静定结构的基本方法,13,不论力法或位移法，处理问题的基本思路都一样：把不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计算。,计算的步骤可以概括为：,（1）选取基本结构；,（2）消除基本结构与原有体系之间的差别。,消除差别的条件将表现为一组代数方程，解之可求出基本未知量。,不论力法或位移法，处理问题的基本思路都一样：把不会算的超静定,14,13.2 力法基本原理与力法的典型方程,13.2.1 力法基本原理,把支座,B,作为多余约束撤去，代以一个相应的未知力,X,1,的作用，则得到悬臂梁（静定结构）。,l,M,A,F,Ay,F,Ax,F,B,EI,B,A,q,B,q,A,X,1,若设法将,X,1,求出，则原结构就转化为在荷载和,X,1,共同作用下的静定结构的计算问题。,13.2 力法基本原理与力法的典型方程13.2.1 力法基,15,因此，多余未知力是求解该问题的关键，称为力法的,基本未知量,。,将原超静定结构中去掉多余约束后所得到的静定结构称为力法的,基本结构,。,将基本结构在原有荷载和多余未知力共同作用下的体系称为力法的,基本体系,。,基本体系是将超静定结构的计算问题转化为静定结构计算问题的桥梁。,因此，多余未知力是求解该问题的关键，称为力法的基本未知量。,16,注意，基本结构的选取并不是唯一的。,图示简支梁也是原结构的一种基本结构。,A,B,B,A,注意，基本结构的选取并不是唯一的。ABBA,17,为了确定,X,1,的数值，必须考虑变形条件以建立补充方程式。,基本体系是在荷载与,X,1,共同作用下的情形,只有当梁的,B,端位移正好等于零（与原结构一致）时，基本体系中的变力,X,1,才能正好与原超静定结构中的多余约束力相等。,+,=,1p,A,B,q,11,X,1,B,A,l,X,1,A,q,B,为了确定X1的数值，必须考虑变形条件以建立补充方程式。+=,18,由此可看出，基本体系转化为原超静定结构的条件是：基本体系沿多余未知力,X,1,方向的位移,1,应与原结构相同，即,确定多余未知力,X,1,的补充条件,变形协调条件,由此可看出，基本体系转化为原超静定结构的条件是：基本体系沿多,19,以,D,11,和,D,1P,，分别表示未知力,X,1,和荷载单独作用在基本体系上时，,B,点沿,X,1,方向的位移，则,D,1,基本体系在,X,1,处、沿,X,1,方向的位移，即,B,的竖向位移；,D,11,基本结构仅在未知力,X,1,作用下，在,X,1,处、沿,X,1,方向的位移；,D,1P,基本结构仅在荷载单独作用下，在,X,1,处、沿,X,1,方向的位移。,以D11和D1P ，分别表示未知力X1和荷载单独作用在基本体,20,D,的两个下标含意是：第一个下标表示产生位移的地点和方向；第二个下标表示产生位移的原因。,若以,d,11,表示单位力（即,X,1,=1）时基本体系沿,X,1,方向所产生的位移，则,力法基本方程,D的两个下标含意是：第一个下标表示产生位移的地点和方向；第二,21,力法方程中的系数,d,11,和自由项,D,1P,都是基本结构在已知力作用下的位移，均可采用静定结构的位移计算方法求得。,求得,d,11,和,D,1P,后，即可解得基本未知量,X,1,。,力法方程中的系数d11和自由项D1P都是基本结构在已知力作用,22,计算,d,11,和,D,1P,：,2,2,ql,B,A,1p,l,EI,q,B,A,l,d,11,EI,l,A,B,X,1,=1,首先作出基本结构仅在,X,1,=1作用下的 图和基本结构仅在荷载作用下的,M,P,图。,M,P,图,图,计算d11和D1P：22ql BA1plEIqBAld11,23,然后应用图乘法，得,2,2,ql,B,A,l,M,P,图,图,然后应用图乘法，得22ql BAlMP图图,24,将,d,11,和,D,1P,代入力法方程式得,正号说明,X,1,的方向与所设的方向相同。,多余未知力,X,1,求得后，原结构中其余的支座反力和任一截面的内力均可利用静力平衡条件求出，进而可绘出内力图。,将d11和D1P代入力法方程式得正号说明X1的方向与所设的方,25,结构任一截面的弯矩也可利用 和,M,P,图由叠加法求出，即,+,-,B,A,3,ql,8,8,5,ql,l,2,l,2,A,ql,2,16,8,2,ql,ql,2,8,l,B,EI,A,8,3,ql,5,ql,8,8,2,ql,q,2,2,ql,B,A,l,M,P,图,图,M,图,F,Q,图,结构任一截面的弯矩也可利用 和MP图由叠加法求出，即,26,综上所述，力法是以超静定结构的多余约束力（反力、内力）作为基本未知量，再根据基本体系在多余约束处与原结构位移相同的条件，建立变形协调的力法方程以求解多余未知力，从而把超静定结构的求解问题转化为静定结构进行分析。这就是用力法分析超静定结构的基本原理和计算方法。,综上所述，力法是以超静定结构的多余约束力（反力、内力）作为基,27,13.2.2 力法典型方程,以二次超静定刚架为例。,撤除铰支座,B,，并代以相应的多余未知力,X,1,和,X,2,，得基本体系。,X,1,和,X,2,即为基本未知量。,A,F,P1,C,B,F,P2,F,P2,F,P1,C,A,X,2,X,1,B,13.2.2 力法典型方程以二次超静定刚架为例。撤除铰支座B,28,由于原结构在支座处没有水平线位移和竖向线位移，因此，基本结构在荷载和多余未知力,X,1,、,X,2,共同作用下，必须保证同样的变形条件。即点沿,X,1,和,X,2,方向的位移、都应等于零，即,D,1,基本结构在,X,1,、,X,2,和荷载共同作用下在,X,1,处、沿,X,1,方向的位移，即,B,点的水平位移；,D,2,基本结构在,X,1,、,X,2,和荷载共同作用下在,X,2,处、沿,X,2,方向的位移，即,B,点的竖向位移。,由于原结构在支座处没有水平线位移和竖向线位移，因此，基本结构,29,将,D,1,、,D,2,展开，表示为,得,二次超静定结构的力法方程式。,d,ij,基本结构在,X,j,=1单独作用时，在,X,i,处、沿,X,i,方向的位移；,D,i,P,基本结构仅在荷载单独作用时，在,X,i,处、沿,X,i,方向的位移。,将D1 、 D2展开，表示为得二次超静定结构的力法方程式,30,力法方程中的系数和自由项都是基本结构的位移，即静定结构的位移，均可利用单位荷载法求出，然后求出多余未知力,X,1,和,X,2,，进而可应用静力平衡条件求出原结构的其余支座反力和全部杆件内力。此外，也可利用叠加原理求内力，如任一截面弯矩,M,的叠加计算公式为,力法方程中的系数和自由项都是基本结构的位移，即静定结构的位移,31,同一结构可以按不同的方式选取力法的基本结构和基本未知量。上述结构也可选用下述静定结构作为基本结构。,注意：因,X,1,和,X,2,的含义不同，方程的意义也不同。,X,1,X,2,X,2,A,B,C,X,2,X,1,A,C,B,同一结构可以按不同的方式选取力法的基本结构和基本未知量。上述,32,对于,n,次超静定结构，可按已知变形条件建立一个含,n,个未知量的代数方程组，从而可解出,n,个多余未知力。,这,n,个变形条件可写为,n,次超静定结构的力法方程，通常称为力法典型方程。,对于n次超静定结构，可按已知变形条件建立一个含n个未知量的代,33,d,ii,主系数。基本结构仅在单位力,X,i,=1单独作用时，在,X,i,处沿,X,i,自身方向上所引起的位移，其值恒为正，不会等于零。,d,ij,副系数。基本结构由于单位力,X,j,=1的作用，而在,X,i,处沿,X,i,方向所产生的位移，其值可为正、负或为零。,D,i,P,自由项。基本结构由荷载产生的沿,X,i,方向的位移。其值可为正、负或为零。,dii主系数。基本结构仅在单位力Xi=1单独作用时，在X,34,将求得的系数与自由项代入力法典型方程，解出各多余未知力,X,1,、,X,2,、,X,n,。,再按叠加原理（也可利用平衡条件）计算反力和内力：,将求得的系数与自由项代入力法典型方程，解出各多余未知力X1、,35,13.3 力法计算举例,力法的计算步骤：,（1）确定结构的超静定次数，选取基本未知量和基本体系；,（2）建立力法的典型方程；,（3）作出基本结构的各单位内力图和荷载内力图，计算典型方程中的各类系数和自由项；,（4）求解典型方程，得出各基本未知量；,（5）由叠加法绘制结构的内力图；,（6）校核。,13.3 力法计算举例力法的计算步骤：,36,13.3.1 超静定梁和刚架,例131,计算图示两端固定梁，并绘制弯矩图,M,和剪力图,F,Q,。,EI,=常数。,l,A,q,B,EI,13.3.1 超静定梁和刚架lAqBEI,37,解：,（1）选择基本体系,三次超静定结构。选基本体系如图所示。,（2）列力法方程,X,1,X,2,X,3,l,A,q,B,EI,l,A,q,B,EI,解：（1）选择基本体系X1X2X3lAqBEIlAqBEI,38,（3）计算系数和自由项,1,X,1,=1,B,A,X,2,=1,1,B,A,图,图,（3）计算系数和自由项1X1=1BAX2=11BA图图,39,8,2,ql,q,B,A,F,N3,=1,M,3,=0,X,3,=1,B,A,图,M,P,图,1,X,1,=1,B,A,X,2,=1,1,B,A,图,图,82ql qBAFN3=1M3=0X3=1BA图MP图1X1,40,F,N3,=1,M,3,=0,X,3,=1,B,A,在计算,d,33,时，因为弯矩 =0，故需要考虑轴向变形的影响，因而,FN3=1M3=0X3=1BA在计算d33时，因为弯矩,41,（4）解力法方程，求基本未知量,将系数和自由项代入力法方程，化简得,X,3,=0表明两端固定梁在垂直于梁轴线的荷载作用下并不产生水平反力。,因此力法方程可直接写为,（4）解力法方程，求基本未知量X3=0表明两端固定梁在垂直于,42,（5）作内力图,1）弯矩图 利用弯矩叠加公式,计算杆端弯矩，并绘制弯矩图。,24,2,ql,12,2,ql,ql,2,12,B,A,l,A,q,B,EI,M,图,（5）作内力图1）弯矩图 利用弯矩叠加公式计算杆端弯矩，并,43,2）剪力图 利用已作出的弯矩图，取杆件为隔离体，再由平衡条件计算出杆端的剪力，然后作出剪力图。,l,A,q,B,EI,-,+,ql,2,2,ql,A,B,24,2,ql,12,2,ql,ql,2,12,B,A,M,图,F,Q,图,2）剪力图 利用已作出的弯矩图，取杆件为隔离体，再由平衡条,44,例132,试计算图示刚架，并绘制内力图。,3m,3m,6m,EI,2,=2,EI,1,EI,1,80kN,A,C,B,例132 试计算图示刚架，并绘制内力图。3m3m6mEI,45,解：,（1）选择基本体系,基本未知量：,X,1,、,X,2,，基本体系如图。,（2）列力法方程,3m,3m,6m,EI,2,=2,EI,1,EI,1,80kN,A,C,B,80kN,X,2,X,1,B,C,A,解：（1）选择基本体系3m3m6mEI2=2EI1EI180,46,（3）计算系数和自由项,6,B,C,A,X,1,=1,6,6,X,2,=1,A,B,C,图,图,（3）计算系数和自由项6BCAX1=166X2=1ABC图图,47,80kN,240,240,A,B,C,6,B,C,A,X,1,=1,6,6,X,2,=1,A,B,C,图,图,M,P,图,80kN240240ABC6BCAX1=166X2=1ABC,48,（4）求基本未知量,（4）求基本未知量,49,（5）作内力图,弯矩图,弯矩图如图。,18,102,A,B,C,36,36,M,图（kN,m）,（5）作内力图弯矩图弯矩图如图。18102ABC3636M,50,作剪力图,18,102,A,B,C,36,36,34,B,C,A,46,9,+,2,2,M,图（kN,m）,F,Q,图（kN）,作剪力图18102ABC363634BCA469+22M图,51,作轴力图,从以上结果可以看出：在荷载作用下，多余力以及结构内力的大小只与各杆的相对刚度有关。,34,B,C,A,46,9,+,2,2,F,Q,图（kN）,9,46,B,C,A,2,2,F,N,图（kN）,作轴力图从以上结果可以看出：在荷载作用下，多余力以及结构内,52,13.3.2 铰接排架,用力法计算铰接排架的原理、步骤，与超静定梁和刚架的计算相同。但因链杆的刚度，在计算系数和自由项时，不计链杆轴向变形的影响，只考虑柱的弯矩对变形的影响。,X,1,X,1,F,F,EA=,F,13.3.2 铰接排架用力法计算铰接排架的原理、步骤，与超静,53,例133,图示单层单跨厂房排架，,I,1,=,I,，,I,2,=2,I,，各杆,E,均相等，试用力法计算图示风荷载作用下所引起的排架柱的弯矩图。,q,=1kN/m,q,=2kN/m,B,A,I,2,I,2,I,1,I,1,D,C,EA=,例133 图示单层单跨厂房排架，I1=I， I2=2I，,54,解：,（1）选择基本体系,此排架为一次超静定结构。基本未知力,X,1,，基本体系如图。,（2）列力法方程,X,1,X,1,q,=1kN/m,B,I,2,I,1,D,C,I,1,I,2,A,q,=2kN/m,q,=1kN/m,q,=2kN/m,B,A,I,2,I,2,I,1,I,1,D,C,EA=,解：（1）选择基本体系X1X1q=1kN/mBI2I1DCI,55,（3）计算系数和自由项,6,6,2,2,X,1,=1,18,36,4,4,2,2,图,M,P,图（kN,m）,（3）计算系数和自由项6622X1=118364422图MP,56,（4）求多余未知力,（5）作弯矩图,利用弯矩叠加公式,可得弯矩图。,（4）求多余未知力（5）作弯矩图可得弯矩图。,57,6,6,2,2,X,1,=1,18,36,4,4,2,2,B,A,4,24.6,2,2,9,.,4,图,M,图（kN,m）,M,P,图（kN,m）,6622X1=118364422BA424.6229.4图M,58,13.4 对称性的利用,在实际的建筑结构工程中，很多结构是对称的，可以利用结构的对称性，适当的选取基本结构，使力法典型方程中尽可能多的副系数及自由项等于零，从而使计算工作得到简化。,13.4 对称性的利用在实际的建筑结构工程中，很多结构是对称,59,13.4.1 结构和荷载的对称性,1结构的对称性,结构的对称性，包含以下两个方面：,（1）结构的几何形状、尺寸和支承情况对某一轴对称；,（2）杆件截面尺寸和材料弹性模量也对此轴对称。,h,l,/2,l,/2,y,y,EI,2,EI,2,EI,1,对称轴,EI,2,EI,2,EI,1,EI,1,x,x,b,/2,b,/2,a,/2,a,/2,y,y,对称轴,对称轴,k,k,l,l,EI,EI,对称轴,13.4.1 结构和荷载的对称性hl/2l/2yyEI2EI,60,2荷载的对称性,任何荷载都可以分解为两部分：一部分是对称荷载，另一部分是反对称荷载。,对称荷载绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载彼此重合。,反对称荷载绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载正好相反。,+,=,a,a,C,F,P,a,a,C,F,P,a,2,F,P,C,2荷载的对称性+=aaCFPaaCFPa2FPC,61,13.4.2 取对称基本体系的计算,计算对称结构时，应考虑利用对称的基本体系进行计算。,可沿对称轴上梁的中间截面,C,切开，所得的基本体系是对称的。,根据力的对称性分析，,X,1,、,X,2,是对称力，,X,3,是反对称力。,力法方程,13.4.2 取对称基本体系的计算,62,对称未知力,X,1,和,X,2,所产生的弯矩图和及变形图是对称的；,反对称未知力,X,3,所产生的弯矩图及变形图是反对称的。,X,1,=1,2,F,P,X,3,X,3,X,1,X,1,X,2,X,2,X,2,=1,X,3,=1,对称未知力X1和X2所产生的弯矩图和及变形图是对称的；X1=,63,因此，力法方程的系数,于是，力法方程可简化为,因此，力法方程的系数于是，力法方程可简化为,64,力法方程的自由项，也同样可以简化。,在对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是对称的，而 图是反对称的。,因此，反对称未知力,X,3,=0，只需用前两式计算未知力,X,1,和,X,2,即可。,F,P,F,P,X,1,X,1,X,2,X,2,X,3,=0,F,P,F,P,因此,M,P,图,力法方程的自由项，也同样可以简化。因此，反对称未知力X3=0,65,在反对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是反对称的，而 图和 图是对称的。,此时，对称未知力,X,1,=,X,2,=0，只需用式第三式计算反对称未知力,X,3,即可。,F,P,F,P,X,1,=,X,2,=0,X,3,F,P,F,P,因此,M,P,图,在反对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是反对称的，,66,从上述分析可得到如下结论：,（1）对称结构在对称荷载作用下，变形是对称的，支座反力和内力也是对称的。因此，对称的基本体系在对称荷载作用下，反对称的未知力必等于零，只需计算对称未知力。,（2）对称结构在反对称荷载作用下，变形是反对称的，支座反力和内力也是反对称的。因此，对称的基本体系在反对称荷载作用下，对称的未知力必等于零，只需计算反对称未知力。,（3）若结构对称，外荷载不对称时，可将外荷载分解为对称荷载和反对称荷载而分别计算，然后叠加。,从上述分析可得到如下结论：,67,13.4.3 取半边结构计算,根据对称结构在对称荷载和反对称荷载作用下受力和变形的特点，可以利用半边结构来计算对称结构。,1奇数跨对称刚架,（1）对称荷载作用,（2）反对称荷载作用,2偶数跨对称刚架,（1）对称荷载作用,（2）反对称荷载作用,13.4.3 取半边结构计算2偶数跨对称刚架,68,变形是对称的，对称轴上的截面,C,移到对称轴上的,C,，只有竖向位移，水平位移和转角为零。,受力也是对称的，在对称轴截面,C,上只有对称内力弯矩和轴力，反对称内力剪力等于零。,q,C,C,E,B,A,D,1奇数跨对称刚架,（1）对称荷载作用,变形是对称的，对称轴上的截面C移到对称轴上的C，只有竖向位,69,因此，从对称轴切开取半边结构计算时，对称轴截面,C,处的支座可取为定向支座。,q,C,A,D,q,C,C,E,B,A,D,因此，从对称轴切开取半边结构计算时，对称轴截面C处的支座可取,70,（2）反对称荷载作用,变形是反对称的，对称轴上截面,C,移到,C,，,C,点有水平位移和转角，竖向位移为零。,受力也是反对称的，在对称轴截面,C,上只有反对称内力剪力，而对称内力弯矩和轴力等于零。,F,P,E,D,C,C,B,A,F,P,（2）反对称荷载作用FPEDCCBAFP,71,因此，取半边结构计算时，,C,端可取为可动铰支座。,F,P,C,A,D,F,P,E,D,C,C,B,A,F,P,因此，取半边结构计算时，C端可取为可动铰支座。FPCADFP,72,2偶数跨对称刚架,（1）对称荷载作用,由变形的对称性可知，,C,点的水平位移和转角等于零。柱,CD,没有弯矩和剪力（忽略柱,CD,的轴向变形），只有轴力。,而,C,点左右两侧的横梁截面则有一对互相平衡的力矩、轴力以及和柱,CD,轴力平衡的对称的剪力。,q,F,C,E,D,B,A,2偶数跨对称刚架由变形的对称性可知，C点的水平位移和转角等,73,因此，沿对称轴切开取半边结构计算时，,C,端可取为固定支座。,q,C,E,A,q,F,C,E,D,B,A,因此，沿对称轴切开取半边结构计算时，C端可取为固定支座。qC,74,（2）反对称荷载作用,因变形的反对称性，对称柱,CD,有弯曲变形，对称轴上,C,点经变形移到,C,点，刚结点,C,有转角，,C,点的竖向位移为零。,相应的反对称受力情形是在对称轴上的柱,CD,有弯矩和剪力，而无轴力。,F,P,I,F,C,E,B,A,C,D,F,P,（2）反对称荷载作用FPIFCEBACDFP,75,如果从柱,CD,切开，即将柱,CD,分解为两根位于对称轴两侧而抗弯刚度为的分柱，则一个两跨对称刚架分为两个对称的单跨半结构刚架，计算简图可简化为图示情形。,F,P,I,F,C,E,B,A,C,D,F,P,F,P,C,1,I,2,D,1,A,E,如果从柱CD切开，即将柱CD分解为两根位于对称轴两侧而抗弯刚,76,当绘制出半边结构的内力图后，就可根据内力图图形的对称关系或反对称关系画出另一侧半边结构的内力图。,在对称荷载作用下，对称结构的弯矩图、轴力图是对称的，剪力图是反对称的；,在反对称荷载作用下，对称结构的弯矩图、轴力图是反对称的，剪力图是对称的。,当绘制出半边结构的内力图后，就可根据内力图图形的对称关系或反,77,13.4.4 对称结构计算举例,例134,求作图示单跨对称刚架的弯矩图。,6m,6m,20kN,2,EI,2,EI,3,EI,13.4.4 对称结构计算举例6m6m20kN2EI2EI3,78,解,：（1）对称性分析,三次超静定对称刚架，非对称荷载。,可将其分解为对称荷载和反对称荷载两部分。,在对称荷载作用下，忽略横梁轴向变形，只有横梁承受压力10kN，其他杆件无内力。,反对称荷载作用下的内力计算如下。,10kN,10kN,10kN,10kN,6m,6m,20kN,2,EI,2,EI,3,EI,解：（1）对称性分析在对称荷载作用下，忽略横梁轴向变形，只有,79,（2）基本体系,在反对称荷载作用下，基本体系如图所示。,（3）力法方程,X,1,10kN,10kN,10kN,10kN,（2）基本体系X110kN10kN10kN10kN,80,（4）系数和自由项,10kN,10kN,60,60,X,1,10kN,10kN,3,3,3,3,X,1,=1,（5）解力法方程,图,M,P,图,（4）系数和自由项10kN10kN6060X110kN10k,81,（6）作弯矩图,刚架弯矩图如图,27,27,27,33,33,M,图（kN,m）,（6）作弯矩图刚架弯矩图如图2727273333M图（kN,82,13.5 等截面单跨超静定梁的杆端内力,在超静定结构的计算中，常常用到等截面单跨超静定梁的杆端内力。,常用的等截面单跨超静定梁有三种类型，也叫做三种类型单元。,l,A,B,A,l,B,A,l,13.5 等截面单跨超静定梁的杆端内力在超静定结构的计算中,83,单跨超静定梁由于荷载、温度改变等作用所产生的杆端弯矩和杆端剪力，通常称为,固端弯矩,和,固端剪力,。,上述固端力在位移法中经常用到，为方便应用，将其列于表中，以便查阅。,单跨超静定梁由于荷载、温度改变等作用所产生的杆端弯矩和杆端剪,84,注意：,AB,杆,A,端的弯矩，以顺时针转向为正；,AB,杆,A,端的剪力，以使杆件绕另一端顺时针旋转者为正；,q,A,固定端,A,的角位移，以顺时针转向为正；,D,A,固定端或铰支座的线位移，以使杆件绕另一端顺时针旋转者为正；,i,杆件的线刚度,，其大小为,i,=,EI /,l,b,杆件的弦转角,，其大小为,b,=,D,/,l,，以顺时针转向为正。,注意：AB杆A端的弯矩，以顺时针转向为正；AB杆A端,85,13.6 位移法基本原理与位移法典型方程,13.6.1 位移法基本原理,力法是以多余约束力作为基本未知量，通过变形条件建立力法方程，求出未知量后，再通过平衡条件来计算结构全部内力的一种计算方法；,位移法则是以结构的结点位移作为基本未知量，通过平衡条件建立位移法方程，求出位移后，利用位移和内力之间的关系来计算杆件或结构内力的一种计算方法。,13.6 位移法基本原理与位移法典型方程13.6.1 位移,86,位移法的基本原理,图示刚架在给定荷载作用下发生变形，在忽略杆件轴向变形条件下，结点,C,只发生角位移。,当用位移法计算时，将结点角位移作为基本未知量。若能设法将位移求出，则,CB,和,CA,各杆的变形就可求出，从而可求出各杆的内力。,q,C,q,C,q,l,2,l,1,A,EI,2,B,C,EI,1,位移法的基本原理图示刚架在给定荷载作用下发生变形，在忽略杆件,87,现讨论如何求基本未知量,q,C,，计算分为两步：,（1）增加约束，将结点位移锁住。,原结构变为两根超静定杆件。荷载作用下的弯矩可用力法求出（可直接查表得到）。,这时，在结点,C,处的附加约束上产生了一个约束反力矩,F,1p,12,2,ql,1,ql,1,2,12,A,B,C,q,规定约束反力矩以顺时针方向为正。,q,C,q,C,q,l,2,l,1,A,EI,2,B,C,EI,1,现讨论如何求基本未知量qC，计算分为两步：F1p122ql1,88,（2）为了消除现结构与原结构的差别，使结点,C,产生角位移,q,C,。,两根超静定杆在,C,端有转角,q,C,时弯矩图可由力法求出（可直接查表得到） 。这时，由于结点,C,发生转角而在附加约束上产生的约束反力矩为,u,C,u,C,q,C,q,C,B,A,4,EI,l,1,l,1,2,EI,1,q,C,2,EI,2,l,2,F,11,F,1p,12,2,ql,1,ql,1,2,12,A,B,C,q,q,C,q,C,q,l,2,l,1,A,EI,2,B,C,EI,1,（2）为了消除现结构与原结构的差别，使结点C产生角位移qC,89,这里将实际结构的受力和变形分解成了两部分：,一部分是荷载单独作用下的结果。此时只有荷载作用，而无结点,C,的角位移；,另一部分是结点位移单独作用下的结果。此时只有结点,C,的角位移，而无荷载作用。,反过来，将两种状态叠加起来，即成为实际结构。,=,+,F,1p,12,2,ql,1,ql,1,2,12,A,B,C,q,q,C,q,C,q,l,2,l,1,A,EI,2,B,C,EI,1,u,C,u,C,q,C,q,C,B,A,4,EI,l,1,l,1,2,EI,1,q,C,2,EI,2,l,2,F,11,这里将实际结构的受力和变形分解成了两部分：=+F1p122q,90,实际结构在结点,C,处是没有约束反力矩的，因此等效条件为,=,+,F,1p,12,2,ql,1,ql,1,2,12,A,B,C,q,将,q,C,代回，按叠加法即可得到原结构的解。,u,C,u,C,q,C,q,C,B,A,4,EI,l,1,l,1,2,EI,1,q,C,2,EI,2,l,2,F,11,q,C,q,C,q,l,2,l,1,A,EI,2,B,C,EI,1,实际结构在结点C处是没有约束反力矩的，因此等效条件为=+F1,91,位移法的基本思路和解题过程：,（1）位移法的基本未知量是结点位移。,（2）位移法的基本方程是平衡方程。,（3）建立位移法基本方程的方法是：先将结点位移锁住，求各超静定杆件分别在荷载以及在结点位移作用下的结果，将以上两个结果进行叠加，使附加约束中的约束反力等于零，即得位移法的基本方程。,（4）求解位移法方程，得到基本未知量，从而求出各杆内力。,位移法的基本思路和解题过程：,92,13.6.2 位移法基本未知量和基本体系,用位移法计算超静定结构时，首先需要确定基本未知量和基本体系。,位移法的基本未知量是结点角位移和结点线位移。,位移法的基本体系是将基本未知量通过添加附加约束的方式完全锁住后，得到的超静定杆的综合体。,下面讨论如何确定基本未知量和选取基本体系。,13.6.2 位移法基本未知量和基本体系,93,刚架有4结点,A,、,B,、,C,、,D，,都没有线位移。,A,和,B,是固定端，转角等于零；,C,是铰结点，可以不取作为基本未知量；,D,是刚结点，可以转动，转角为,q,D,。,只要计算出结点角位移,q,D,，就可以得到杆端角位移,q,DA,、,q,DB,、,q,DC,。,因此，将,q,D,取作为基本未知量，用,D,1,表示。,DC,DB,DA,D,(,D,),F,P,B,C,A,F,P,1,D,C,A,B,刚架有4结点A、B、C、D，都没有线位移。只要计算出结点角位,94,结点角位移的数目就等于结构刚结点的数目。,因此在结点,D,加一个控制结点,D,转动的附加约束，称为,刚臂,。得到的无结点位移的结构，称为,基本结构,。,把基本结构在荷载和基本未知位移共同作用下的体系，称为,基本体系,。,B,C,D,A,F,P,1,D,C,A,B,结点角位移的数目就等于结构刚结点的数目。因此在结点D加一个控,95,平面杆件体系的一个结点在平面内有两个自由度,平面内一个结点有两个线位移。,图示刚架有三个结点,D,、,E,和,F,，则共有六个结点线位移（每个结点分别有竖直方向和水平方向两个线位移）。,B,C,A,F,E,D,F,以上是只有结点角位移情况，现在讨论结点线位移基本未知量的确定。,平面杆件体系的一个结点在平面内有两个自由度BCAFEDF以上,96,假设：,（1）忽略各杆轴力引起的轴向变形；,（2）结点转角和各杆弦转角都很微小。,因此，在图示刚架中，结点,D,、,E,和,F,都没有竖向线位移，而水平线位移相等，原来六个结点线位移只剩下一个独立的结点线位移。,B,C,A,F,E,D,F,B,C,A,F,E,D,F,假设：BCAFEDFBCAFEDF,97,该刚架的全部基本未知量只有三个：即结点角位移,D,1,（,q,D,）、,D,2,（,q,E,）和独立的结点线位移,D,3,（,D,） 。,C,B,A,F,E,D,F,B,C,A,F,2,E,2,3,1,(,u,D,),1,D,F,(,u,D,),(,u,E,),(,u,E,),3,3,基本体系：,1,2,3,该刚架的全部基本未知量只有三个：即结点角位移D1 （qD）、,98,结点独立线位移的数目可用几何组成分析的方法来判定：,把所有的刚结点（包括固定支座）都改为铰结点，为了使铰结体系成为几何不变而增加的链杆数就等于原结构的独立结点线位移的数目。,例：,两个结点线位移,结点独立线位移的数目可用几何组成分析的方法来判定：两个结点线,99,总结：,在原结构基本未知量处，增加相应的约束，就得到原结构的基本体系。,对于结点角位移，增加控制转动的约束附加刚臂；,对于结点线位移，则增加控制结点线位移的约束附加链杆。,总结：,100,13.6.3 位移法典型方程,图示刚架具有两个基本未知量,B,A,l,F,P,l,/2,l,/2,D,q,C,在结点,C,施加控制转动的附加刚臂；在结点,D,加一控制水平线位移的附加链杆。得基本体系如图。,C,q,D,B,A,F,P,1,2,13.6.3 位移法典型方程BAlFPl/2l/2DqC在结,101,（1）基本结构在,D,1,单独作用时的计算,使基本结构在结点,C,发生结点位移,D,1,，但结点,D,仍被锁住。这时，可求出基本结构在两个约束中分别存在的约束力矩,F,11,和约束力,F,21,。,C,q,D,B,A,F,P,1,2,F,21,F,11,1,1,D,B,A,C,（1）基本结构在D1单独作用时的计算CqDBAFP12F,102,（2）基本结构在单独作用时的计算,使基本结构在结点,D,发生结点位移,D,2,，但结点,C,仍被锁住。这时可求出在两个约束中分别存在的约束力矩,F,12,和约束力,F,22,。,C,q,D,B,A,F,P,1,2,F,22,A,B,D,C,F,12,2,l,2,（2）基本结构在单独作用时的计算CqDBAFP12F22,103,（3）基本结构在荷载单独作用时的计算,先求出各杆的固端力，然后求约束中存在的约束力矩,F,1P,和约束力,F,2P,。,B,D,q,C,A,F,2P,F,1P,F,P,C,q,D,B,A,F,P,1,2,（3）基本结构在荷载单独作用时的计算BDqCAF2PF1PF,104,叠加以上结果，得,F,ij,基本结构在结点位移,D,j,单独作用时，在附加约束,i,中产生的约束力（矩）；,F,i,P,基本结构在荷载单独作用时在附加约束,i,中产生的约束力（矩）。,叠加以上结果，得Fij 基本结构在结点位移Dj单独作用时,105,将,F,11,、,F,12,等表示为与,D,1,、,D,2,有关的量，得,k,21,k,11,1,=1,1,=1,D,B,A,C,两个基本未知量的位移法方程,k,ij,基本结构在单位结点位移,D,j,单独作用时，在附加约束,i,中产生的约束力（矩）。,k,22,A,B,D,C,k,12,2,=1,2,=1,将F11、 F12等表示为与D1、 D2有关的量，得k21k,106,对于具有,n,个基本未知量的结构，可得位移法的典型方程如下：,k,ii,主系数，恒大于零；,k,ij,副系数，可大于零，小于零，或等于零；,F,i,P,自由项，可大于零，小于零，等于零。,典型方程表示：基本体系中与每一基本未知量相应的附加约束处约束力等于零。,对于具有n个基本未知量的结构，可得位移法的典型方程如下：ki,107,如何求典型方程中的系数和自由项？,绘出基本结构由于单位位移引起的单位弯矩图；,绘出基本结构由于外荷载引起的,M,P,图；,利用静力平衡条件求出各系数和自由项。,基本未知量,代入典型方程,确定系数和自由项,作原结构的最后弯矩图,利用叠加原理,如何求典型方程中的系数和自由项？基本未知量代入典型方程确定系,108,系数和自由项的求解可分为两类：,（1）附加刚臂上的反力矩，可取结点为隔离体，利用的条件求出；,（2）附加链杆上的反力，可作一截面截取结构的某一部分为隔离体，再利用平衡条或进行计算。,系数和自由项