三重积分计算法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,可以用,直角坐标、柱面坐标,和,球面坐标,来计算.,计算方法是将,三重积分化为三次积分,.,三重积分,一、利用直角坐标计算三重积分,用平行于坐标面的平面族：,去分割积分区域,除边界外每个小块都,是一个长方形，于是得到体积元素,设 如图,将 向,xoy,面投影,，,得 ,以 的边界为准线母线平行于,z,轴的柱面把 分为下上两个边界：,于是,则,积分区域可表示为,(先一后二）,根据,D,是,X,型域或,Y,型域确定二重积分的,积分限，就得到三重积分公式.,若,D,为,X,型域，则有,这是先对,z,，次对,y,，最后对,x,的三次积分,例1,计算 ,其中 为三个坐标面,及平面,x,2y,z,1所围成的区域。,解,在,xoy,面上的投影为,若,看成,X,型域，则,例2,将 化为直角坐标系下的,三次积分，其中 是由平面,x,y,z,1，,x,y,1，,x,0，,y,0，,z,1围成的区域。,的下底是,x,y,z,1，,上底是,z,1，,解,的投影,是,x,+,y,=1,，,x,=0,，,y,=0,围成的三角形域,，,2）截面法（先二后一）,1）投影法（先一后二）,计算三重积分时，先求一个二重积分，再求一个定积分的方法,设区域 的,z,值的最大值,过 内任一点,z,，作水平平面与 交出截面 就是二重积分的积分区域.,和最小值为 和 ，,先在,上对,x,y,积分然后在 上对,z,积分.,2）截面法（先二后一）,这样得到,先求出 上的二重积分再求定积分,.,先二后一,此法常用于 上的二重积分易求的情形,例3,计算 ，其中 是由椭球,面 所围成的空间闭区域。,解,z的最小值和最大值为,和 ，即,的面积为,二 用柱面坐标计算三重积分,在,xoy,面上 就是极坐标.,设,M,（,x,y,z,）为空间,一点，如果将,x，y，z,改用另外三个数,来表示，则称,为点,M,的,柱面坐标,。,三组坐标面,：,柱面与直角坐标的关系是,常数（,水平平面,）,常数（,半平面,）,常数（,圆柱面,）,由图可知,三组坐标面族,去分割空间区域 ，其任一小块的体积 可以,近似,看成以 为底，,为高的柱体体积。,体积元素,因此,则积分区域在柱面坐标系下的表示为：,在柱面坐标系下,区域由直角变为柱面坐标表示,则三重积分化为柱面坐标的三次积分,：,若,例4,计算 其中 是由上半球面,和旋转抛物面,所围成的区域.,解,将积分区域 向,xoy,面投影，得,柱面坐标,例5,计算 其中 是由曲面,与平面 围成的区域,.,解,在,xoy,面上的投影区域为圆域:,所以,例6,计算,其中,问题,若例6中的积分区域改为,则,答 由对称性，有,思考题,在柱面坐标系下求三重积分可以看作,在直角坐标系对 作单积分，然后在投,影区域 上用极坐标作二重积分呢？,答：可以,三、用球面坐标计算三重积分,设,M,(,x,y,z,)为空间一点，,如果将,x,y,z,改用另外,三个数,r,，来表示,则称(,r,，)为点,M,的,球面坐标,。,球面坐标与直角坐标的关系是,分割空间区域 ，其任一小块的体积,可以近似地看成是,长为 、,宽为 、,高为 的长方体体积,积分元素,其中,一般将右端的形式化为先对,r,、次对 、最后对 的三次积分来计算。,三重积分在球面坐标系下的形式：,一般地，空间区域 包含原点在其内部，边界曲面为 则有,例如,当 为球面 时,例7,求半径为,的球面与半顶角,为 的内接圆锥,面所围成的立体,的体积(如图).,解,根据积分性质：的度量，,将 用球面坐标表示,成不等式：,思考题：,球面方程,柱面,球面,柱面方程,直角,坐,标,系,1.填写下表中的空格：,2.计算重积分应怎样选择合适的坐标系？,应考虑哪两个方面？哪个方面更重要些？,（1）积分区域,（2）被积函数,积分区域边界的表达式简单，便于定限,被积函数的表达式简单，便于积分,相对而言，便于积分更重要一些.,小,结,1.柱面坐标系下,两种坐标系下三重积分的计算,由柱面与直角坐标的关系,有,体积元素,若,则,且被积函数含有,常用极坐标,且被积函数含有,常用极坐标,的侧面由圆柱面或,且被积函数含有,常用柱坐标,2.球面坐标,由球面坐标与直角坐标的关系：,三重积分在球面坐标系下的形式,：,体积元素,其中,一般地，空间区域 包含原点在其内部，边界曲面为 则有,当 的边界由球面、锥面等围成，且,被积函数中含有,常用球面坐标,常用球面坐标,作 业,p.106 习题9-3,1.(1);(3);2.,9.,10.,11.(1);(2);(3);12.(1).,