232_两个变量的线性相关

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,两个变量的线性相关,在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，,研究人员获得了一组样本数据：,年龄,23,27,39,41,45,49,50,脂肪,9.5,17.8,21.2,25.9,27.5,26.3,28.2,年龄,53,54,56,57,58,60,61,脂肪,29.6,30.2,31.4,30.8,33.5,35.2,34.6,根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间,有怎样的关系？,散点图：,两个变量的,散点图,中点的分布的位置是从左,下角到右上角的区域，即一个变量值由小变大，,另一个变量值也由小变大，我们称这种相关关系,为,正相关,。,二、两个变量的线性相关,思考：1、两个变量成负相关关系时，散点图有什么特点？,两个变量的散点图中点的分布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量值由小变大，而另一个变量值由大变小，我们称这种相关关系为负相关。,2、你能举出一些生活中的变量成正相关或者负相关的例子吗,？,3,、,若两个变量散点图呈下图，它们之间是否具有相关关系？,散点图,回归直线：如果散点图中点的分布,从,整体,上看,大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有,线性相关关系,，这条直线就叫做,回归直线。,这条回归直线的方程，简称为回归方程。,方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。,如何具体的求出回归方程？,方案二、在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。,我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？,方案三、在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。,我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？,上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，我们回到回归直线的,定义,。,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小”。,计算回归方程的斜率和截距的一般公式：,其中，,b,是回归方程的斜率，,a,是截距。,最小二乘法的公式的探索过程如下：,设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：,（,x,1,，y,1,），（x,2,，y,2,），（,x,n,，y,n,）,设所求的回归直线方程为,Y=,bx+a,，,其中,a，b,是待定的系数。当变量,x,取,x,1,，x,2,，,x,n,时，可以得到,Y,i,=,bx,i,+a（i,=1，2，n）,它与实际收集得到的,y,i,之间偏差是,y,i,-Y,i,=,y,i,-(bx,i,+a)（i,=1，2，n）,（,x1，y1）,（,x2，y2）,（,xi，,yi,）,yi,-Yi,y,x,这样，用这,n,个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。,（y,i,-Y,i,）,的最小值,n,i=1,|,y,i,-Y,i,|,的最小值,n,i=1,（y,i,-Y,i,）,2,的最小值,n,i=1,Q=(y,1,-bx,1,-a),2,+(y,2,-bx,2,-a),2,+(y,n,-bx,n,-a),2,当,a，b,取什么值时，,Q,的值最小，即总体偏差最小,（x,i,-x）（y,i,-y,）,n,i=1,b=,（x,i,-x,）,n,i=1,a=,y-bx,问题归结为,:,a,b,取什么值时,Q,最小,即总体和最小,.,Q=(y,1,-bx,1,-a),2,+(y,2,-bx,2,-a),2,+(y,n,-bx,n,-a),2,先对,a,配方,再对,b,配方,我们可以用计算机来求,回归方程,。,人体脂肪含量与年龄之间的规律，由此回归直线来反映。,将年龄作为,x,代入上述回归方程，看看得出数值与真实值之间有何关系？,年龄,23,27,39,41,45,49,50,脂肪,9.5,17.8,21.2,25.9,27.5,26.3,28.2,回归值,12.8,15.1,22.0,23.2,25.5,27.8,28.4,年龄,53,54,56,57,58,60,61,脂肪,29.6,30.2,31.4,30.8,33.5,35.2,34.6,回归值,30.1,30.7,31.8,32.4,33.0,34.1,34.7,若某人65岁，可预测他体内脂肪含量在37.1（0.57765-0.448=37.1）附近的可能性比较大。但不能说他体内脂肪含量一定是37.1。,例、假设关于某设备的使用年限,x（,年）和所支出的维修费用,y（,万元），有如下的统计资料：,使用年限,x（,年）2 3 4 5 6,维修费用,y（,万元）2.2 3.8 5.5 6.5 7.0,若资料知,y，x,呈,线性相关关系,，试求：,（1）线性回归方程,Y=,bx+a,的,回归系数,a、b；,（2）,估计使用年限为10年时，维修费用是多少？,i,解：,（1）于是有,b=（112.3-5*4*5）/（90-5*42）=1.23,a=5-1.23*4=0.08,（2）,回归方程,为,Y=1.23x+0.08，,当,x=10,时，,Y=12.38 （,万元），即估计使用10年时维护费用是12.38万元。,小结,1.,求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：,第一步，计算平均数,第二步，求和,第三步，计算,第四步，写出回归方程,2.,回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近,.,对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性,.,3.,对于任意一组样本数据，利用上述公式都可求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的,.,因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程,.,例,1,：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：,1,、画出散点图；,2,、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；,3,、求回归方程；,4,、如果某天的气温是,2,摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。,1,、散点图,2,、从图,3-1,看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。,3,、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式,1,求出回归方程的系数。,Y=-2.352x+147.767,4,、当,x=2,时，,Y=143.063,因此，某天的气温为,2,摄氏度时，这天大约可以卖出,143,杯热饮。,