平面向量的数量积

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4,平面向量的数量积,2.4.1,平面向量数量积的,物理背景及其含义,问题提出,1.,向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为,0,，,90,，,180,时，这两个向量的位置关系如何？,2.,任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律,.,由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析,.,平面向量数量积的,物理背景及其含义,探究（一）,:,平面向量数量积的背景与含义,W,F,s,cos,功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把,“,功,”,称为向量,F,与,s,“,数量积,”,.,一般地，对于非零向量,a,与,b,的数量积是指什么？,思考,1,：,如图，一个物体在力,F,的作用下产生位移,s,，且力,F,与位移,s,的夹角为,，那么力,F,所做的功,W,是多少？,s,F,定义：,对于两个非零向量,a,与,b,，设其夹角为,，把,a,|,b,cos,叫做,a,与,b,的数量积（或内积），记作,a,b,，即,a,b,=,a,|,b,cos,.,那么,a,b,的运算结果是向量还是数量？,特别地，零向量与任一向量的数量积是零。,0,a,=0,思考,2,：,对于两个非零向量,a,与,b,，其数量积,a,b,何时为正数？何时为负数？何时为零？,当,0,90,时，,a,b,0,；,当,90,180,时，,a,b,0,；,当,90,时，,a,b,0.,a,b,=,a,|,b,cos,思考,3,：,对于两个非零向量,a,与,b,，设其夹角为,，那么,a,cos,的几何意义如何？,a,b,O,A,B,A,1,定义,2,：,对于两个非零向量,a,与,b,，设其夹角为,，,a,cos,叫做向量,a,在,b,方向上的投影,.,不一定；,b,cos,.,|,a,|cos,猜想：该投影一定是正数吗？向量,b,在,a,方向上的,投影是什么？,数量积第二定义：,数量积,a,b,等于,a,的模与,b,在,a,方向上的投影,b,cos,的乘积，或等于,b,的模与,a,在,b,方向上的投影,a,cos,的乘积,。,探究（二）：平面向量数量积的运算性质,1,设,a,与,b,都是非零向量，若,a,b,，则,a,b,=0,。,a,b,a,b,0,2,当,a,与,b,同向时，,a,与,b,反向时，,a,b,等于什么？特别地，,a,a,等于什么？,当,a,与,b,同向时，,a,b,a,b,；,当,a,与,b,反向时，,a,b,a,b,；,a,a,a,2,a,2,或,a,.,3,a,b,与,a,b,的大小关系,a,b,a,b,4,数量积满足交换律,即：,ab,ba,5,对于实数,有：,(,a,),b,(,a,b,),a,(,b,),6,，,对于向量,a,，,b,，,c,，,(,a,b,),c,等于什么？,A,1,B,1,A,B,O,C,a,b,c,a,b,1,2,7,，,对于非零向量,a,，,b,，,c,，,(,a,b,),c,与,a,(,b,c,),相等吗？,(,a,b,),c,a,(,b,c,),即，数量积不满足结合律,思考,1,：,对于非零向量,a,，,b,，,c,，若,a,b,a,c,，那么,b,c,吗？,思考,2,：,对于向量,a,，,b,，如何求它们的夹角,？,判断,1,若,a,=,0,，,则对任一向量,b,，有,a,b,=,0,2,若,a,0,，,则对任一非零向量,b,有,a,b,0,3若,a,0，,a,b,=,0,，则,b,=,0,4,若,a,b,=,0,，则,a,b,中至少有一个为,0,5,若,a,0,，,a,b,=,b,c,，则,a,=,c,6,若,a,b,=,a,c,则,b,c,当且仅当,a,=,0,时成立,理论迁移,例,1,已知,a,5,，,b,4,，,a,与,b,的夹角为,120,，求,a,b,.,例,2,已知,a,6,，,b,4,，,a,与,b,的夹角为,60,，求,(,a,2,b,)(,a,3,b,),.,72,例,3,已知,a,3,，,b,4,，且,a,与,b,不共线,.,求当,k,为何值时，向量,a,k,b,与,a,k,b,互相垂直？,解：,ab,=|a|,b|cos,=54cos120,=54,（,-1/2,）,=,10,小结作业,1.,向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量,.,2.,实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非,.,3.,利用,a,可以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法,.,4.,利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用,.,作业：,P108,习题,2.4A,组：,1,，,2,，,3,，,6,，,7,，,8.,2.4.2,平面向量数量积的坐标,表示、模、夹角,2.4,平面向量的数量积,问题提出,1.,向量,a,与,b,的数量积的定义？,a,b,=,|,a,|,b,|,cos,.,其中,为向量,a,与,b,的夹角,2.,向量的数量积具有哪些运算性质？,（,1,）,a,b,a,b,0(,a,0,，,b,0,),；,（,2,）,a,2,a,2,；,（,3,）,a,b,b,a,；,（,4,）,(,a,),b,(,a,b,),a,(,b,),；,（,5,）,(,a,b,),c,a,c,b,c,；,（,6,）,a,b,a,b,.,3.,前面我们学习了向量的加、减、数乘的坐标表示,.,现在我们研究用坐标表示向量的数量积,.,平面向量数量积的,坐标表示、模、夹角,探究（一）：平面向量数量积的坐标表示,设,i,、,j,是分别与,x,轴、,y,轴同向的两个单位向量，若非零向量,a,(x,1,，,y,1,),b,(x,2,，,y,2,),，则,:,a,x,1,i,y,1,j,，,b,x,2,i,y,2,j,.,并且,对于上述向量,i,、,j,，有,i,2,，,j,2,，,i,j,分别为：,i,2,=,1,，,j,2,=,1,，,i,j,=,0.,数量积的坐标表示：,若,a,(x,1,，,y,1,),b,(x,2,，,y,2,),，则,a,b,x,1,x,2,y,1,y,2,，这就是平面向量数量积的坐标表示,.,a,b,x,1,x,2,y,1,y,2,文字表述：两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和,.,练习,探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示,3,、,用坐标表示,cos,（,1,）垂直,2,、两向量垂直和平行的坐标表示,（,2,）平行,例,1,已知向量,a,(4,，,3),b,(,1,，,2),求,:,(1),a,b,；,(2),(,a,2,b,)(,a,b,),；,(3)|,a,|,4,a,b,.,理论迁移,(1)2,；（,2,）,17,；（,3,）,3.,例,2,已知,A(1,，,2),，,B(2,，,3),，,C(-2,，,5),，试判断,ABC,的形状，并给出证明,.,A(1,2),B(2,3),C(-2,5),x,0,y,例,3,已知向量,a,(5,，,7),，,b,(,6,，,4),，求向量,a,与,b,的,夹角,（精确到,1,）,.,cos,0.03,，,92,.,练习：,（,1,）已知,=,（,4,，,3,），,向量 是垂直于 的单位向量，求,.,小结作业,2.,若非零向量,a,与,b,的夹角为锐角（钝角），则,a,b,0,（,0,），反之不成立,.,1,.,a,b,a,b,二者有着本质区别,.,3.,向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决,.,作业：,P107,练习：,1,，,2.,P108,习题,2.4A,组：,9,，,10,，,11.,