函数的最值与导数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 导数及其应用,3.3.3,函数的最值与导数,极值反映的是函数在某一点附近的局部,性质,而不是函数在整个定义域内的性质。,但是我们往往更关心函数在某个区间上,哪个值最大，哪个值最小。,观察区间,a,b,上函数,y,=,f,(,x,),的图象，,你能找出它的,极大值点,，,极小值点,吗？,极大值点 ，,极小值点,你能说出函数的,最大值点,和,最小值点,吗？,最大值点：,a,，,最小值点：,d,最小值是,f,(,b,).,单调函数的最大值和最小值容易被找到。,函数,y,=,f,(,x,),在区间,a,b,上,最大值是,f,(,a,),图,1,最大值是,f,(,x,3,),图,2,函数,y,=,f,(,x,),在区间,a,b,上,最小值是,f,(,x,4,).,一般地，如果在区间,a,b,上函数,y,=,f,(,x,),的图象是,一条连续不断的曲线,，那么,它必有最大值和最小值。,怎样求函数,y,=,f,(,x,),在区间,a,b,内的最大值,和最小值？,思考,只要把函数,y,=,f,(,x,),的所有极值连同端点,的函数值进行比较即可。,例,1,、求函数,f,(,x,)=,x,3,-,12,x,+12,在,0,3,上的,最大值，最小值。,x,(,-,-,2),-,2,(,-,2,2),2,(2,+),+,0,-,0,+,f,(,x,),单调递增,28,单调递减,-,4,单调递增,例,1,、求函数,f,(,x,)=,x,3,-,12,x,+12,在,0,3,上的,最大值，最小值。,解：由上节课的例,1,知，在,0,3,上，,当,x,=2,时，,f,(,x,)=,x,3,-,12,x,+12,有极小值，,并且极小值为,f,(2)=,-,4.,又由于,f,(0)=12,f,(3)=3,因此，函数,f,(,x,)=,x,3,-,12,x,+12,在,0,3,上的,最大值为,12,，最小值为,-,4,。,求函数,y,=,f,(,x,),在,(,a,b,),内的极值,(,极大值与极小值,);,将函数,y,=,f,(,x,),的各极值与,f,(,a,),、,f,(,b,),（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值,.,求函数,y,=,f,(,x,),在,a,b,上的最大值与最小值的步骤如下,练习,1,、求函数,y,=5,-,36,x,+3,x,2,+4,x,3,在区间,-,2,2,上的最大值与最小值。,因为,f,(,-,2)=57,f,(1.5)=,-,28.75,f,(2)=,-,23,所以函数的最大值为,57,，最小值为,-,28.75,解：,=,-,36+6,x,+12,x,2,=6(2,x,2,+,x,-,6),令,=0,解得,x,1,=,-,2,x,2,=1.5,练习,2,、求函数,f,(,x,)=,x,3,-,3,x,2,+6,x,-,2,在区间,-,1,1,上的最值。,解：,=3,x,2,-,6,x,+6=3(,x,2,-,2,x,+2),因为 在,-,1,1,内恒大于,0,所以,f,(,x,),在,-,1,1,上是增函数，,故当,x,=,-,1,时，,f,(,x,),取得最小值,-,12,；,当,x,=1,时，,f(,x,),取得最大值,2,。,例,2,、已知函数,f,(,x,)=,-,x,3,+3,x,2,+9,x,+,a,;,(1),求,f,(,x,),的单调递减区间；,(2),若,f,(,x,),在区间,-,2,2,上的最大值为,20,，,求它在该区间上的最小值。,令,0,解得,x,3,解,:(1),=,-,3,x,2,+6,x,+9,函数,f,(,x,),的单调递减区间为,(,-,-,1)(3,+),-,1,2,3,(2),f,(,-,2)=8+12,-,18+,a,=2+,a,f,(2)=,-,8+12+18+,a,=22+,a,f,(2),f,(,-,2),于是有,22+,a,=20,解得,a,=,-,2,f,(,x,)=,-,x,3,+3,x,2,+9,x,-,2,f,(,x,),在,-,1,2,上单调递增,在,(,-,1,3),上,0,又由于,f,(,x,),在,-,2,-,1,上单调递减，,即函数,f,(,x,),在区间,-,2,2,上的最小值为,-,7,。,f,(2),和,f,(,-,1),分别是,f,(,x,),在区间,-,2,2,上的,最大值和最小值。,f,(,-,1)=1+3,-,9,-,2=,-,7,例,3,、证明：当,x,0,时，,x,ln,(1+,x,),解：设,f,(,x,)=,x,-,ln,(1+,x,).,即,x,ln,(1+,x,).,又因为,f,(,x,),在,x,=0,处连续，,所以,f,(,x,),在,x,0,上单调递增，,从而当,x,0,时，有,f,(,x,)=,x,-,ln,(1+,x,),f,(0)=0,练习,3:,当,x,1,时,证明不等式,:,证,:,设,显然,f,(,x,),在,1,+),上连续,且,f,(1)=0.,显然,当,x,1,时,故,f,(,x,),是,1,+),上的增函数,.,所以当,x,1,时,f,(,x,),f,(1)=0,即当,x,1,时,例,4,、求证,证明：设,在,x,=1,附近 由负到正,令,=0,解得,x,=1,当,x,=1,时，,f,(,x,),有极小值，这里也是最小值,所以当,x,0,时，,f,(,x,),f,(1)=0,从而,小 结,:,求函数,y,=,f,(,x,),在,(,a,b,),内的极值,(,极大值与极小值,);,将函数,y,=,f,(,x,),的各极值与,f,(,a,),、,f,(,b,),（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值,.,求函数,y,=,f,(,x,),在,a,b,上的最大值与最小值的步骤如下,