稀疏重建第一章

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2016-8-7,#,压缩感知理论及其应用,第一章 有关数学基础知识介绍,1,第一章 有关数学基础知识介绍,向量和矩阵范数的定义和性质,奇异值分解的定义和性质,最小二乘问题,凸集、凸函数和凸优化问题,2,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,范数,：,一个非负函数 满足如下性质时被称为范数：,(1),正定性：,当且仅当 ；,(2),齐次性：对任意的 和 满足 ；,(3),三角不等式：对任意的 和 满足 。,准范数,准三角不等式：,准范数常数,3,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,度量,：,对于集合,X,，定义一个函数 ，当,d,满足如下性质时，其被称为一个,度量,：,(1),，当且仅当,x=y,；,(2),，有 ；,(3,),，有 。,范数 是集合,X,的一个度量。,性质,(3),由范数的三角不等式可以得到证明。,4,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,lp,范数：,时，。,5,时，上述定义是一个,准范数,，。,时，上述定义是一个,范数,。,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,6,X,的一个度量为：,由,p-,三角不等式：,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,向量内积：,与范数的联系：,7,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,对于 ，且 有,Holder,不等式,：,Cauchy-Schwarz,不等式,：,8,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,几种特殊情况：,当,x,的非零元素最多有,s,个时：,特别地，。,9,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,反向不等式,：,10,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,对偶,范数,：,实数域,复,数域,p,范数是,q,范数的对偶范数当 。,2,范数,的,对偶范数是它自己。,11,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,矩阵范数,：,一些性质：,（,1,）,12,13,（,2,）,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,其中，为特征值，为奇异值。,14,取,x,为 的最大特征值对应的特征矢量，则：,15,（,3,）,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,特别地：,L1,范数最大的列,16,L2,范数最大的列,（,4,）,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,17,L1,范数最大的行,（,5,）,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,如果,A,是,共轭对称矩阵,，则：,18,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,Frobenious,范数,：,Frobenious,范数,和,矩阵范数,的关系：,19,1.1,向量和矩阵范数的定义和性质,引理,：如果方阵,B,满足,其中，则,B,可逆，且 。,20,