高考绿色通道-计数原理概率

单击此处编辑母版文本样式,数学,高考总复习人教A版 (理),第十一模块 计数原理、概率、随机变量及其分布,从新课改两年各省份的高考信息统计可以看出命题呈现以下特点：,(1)以选择、填空或解答题的形式考查，属于中、低档题,(2)重点考查两个计数原理、古典概型、几何概型、离散型随机变量的分布列及其期望、方差等,(3)预计本章在今后的高考中仍将在计数原理、古典概型、几何概型及随机变量的分布列等处命题,(1)排列、组合问题及随机变量的分布列、期望、方差是高考的必考内容准确确定随机变量的取值，准确计算概率是求分布列的基础，在复习过程中要多角度地加大训练力度,(2)在解题过程中要注意“分类讨论”“正难则反”的思想,考纲要求,1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,2会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题,热点提示,1主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理及分类讨论思想,2对两个原理的考查一般在选择、填空题中出现,1分类加法计数原理,完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有,m,种不同的方法，在第2类方案中有,n,种不同的方法，那么完成这件事共有,N,种不同的方法,m,n,2分步乘法计数原理,完成一件事需要两个步骤，做第1步有,m,种不同的方法，做第2步有,n,种不同的方法，那么完成这件事共有,N,种不同的方法,m,n,3分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别,分类加法计数原理针对的是“完成事件的方法种类不同”问题，其各种方法是,，用其中任何一种方法都能做完这件事情；分步乘法计数原理针对的是“完成事件需分几个步骤”问题，各个步骤中的方法,，只有各个步骤都完成才能完成这件事情,从思想方法的角度看，分类加法计数原理是将一个问题进行“分类”思考，分步乘法计数原理是将一个问题进行“分步”思考，这两种思想方法贯穿解决本章应用问题的始终,相互独立的,相互联系,在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理简洁的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏,对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格来进行分析.,14封不同的信投入三个不同的信箱中，所有投法的种数是(),A3,4,B4,3,解析：,第,n,封信有3种投法(,n,1,2,3,4)，根据分步计数原理4封不同的信投入三个不同的信箱共有33333,4,种投法,答案：,A,24人去借三本不同的书(全部借完)，所有借法的种数是(),A3,4,B4,3,解析：,第,n,本书有4种借法(,n,1,2,3)，根据分步计数原理4人去借三本不同的书(全部借完)共有4444,3,种借法,答案：,B,3有8本书其中有2本相同的数学书，3本相同的语文书，其余3本为不同的书籍，一人去借，且至少借一本的借法有_种,解析：,数学书的本数可以是0,1,2三种；语文书的本数可以是0,1,2,3四种，其余3本书每本都有两种取法，由分步计数原理共有34222195种借法,答案：,95,48名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有_场比赛,答案：,16,5如图所示三组平行线分别有,m,、,n,、,k,条，在此图中,(1)共有多少个三角形？,(2)共有多少个平行四边形？,【例1】方程 表示焦点在,y,轴上的椭圆，其中,m,1,2,3,4,5，,n,1,2,3,4,5,6,7，那么这样的椭圆有多少个？,思路分析：要确定一个椭圆必须确定两个数，一个是,m,，一个是,n,，因此一个椭圆就和在两个集合中分别取一个数的取法对应，有几个椭圆就有几种取法，分类必须唯一，这样才不会出现重复、遗漏等,解：,以,m,的值为标准分类，分为五类第一类：,m,1时，使,n,m,，,n,有6种选择；第二类：,m,2时，使,n,m,，,n,有5种选择；第三类：,m,3时，使,n,m,，,n,有4种选择；第四类：,m,4时，使,n,m,，,n,有3种选择；第五类：,m,5时，使,n,m,，,n,有2种选择,共有6543220(种)方法，即有20个符合题意的椭圆,“分类”的基本原则是不重复、不遗漏，如何合理地进行分类是用好加法原理的关键首先要将事件分几大类，再合理地将大类分为若干小类，最终用加法原理计算.,变式迁移 1,三边长为整数，且最大边长为11的三角形有多少个？,解：,另两边长用,x,、,y,表示，且不妨设1,x,y,11.要构成三角形，必须,x,y,12.当,y,取11时，,x,1,2,3，11，可有11个；当,y,取10时，,x,2,3,4，10，可有9个；当,y,取6时，,x,6，只有1个由分类计数原理，所求三角形个数为119753136(个),【例2】(1)定义集合,A,与,B,的运算,A,*,B,如下：,A,*,B,(,x,，,y,)|,x,A,，,y,B,，若,A,a,，,b,，,c,，,B,a,，,c,，,d,，,e,，则集合,A,*,B,的元素个数为(),A3,4,B4,3,C12 D以上都不对,(2)使集合,A,1,0,1，,B,2,3,4,5,6，映射,f,：,A,B,，使得对任意,x,A,，都有,x,f,(,x,),xf,(,x,)是奇数，这样的映射,f,的个数是(),A12 B50,C15 D55,解析：,(1)显然(,a,，,a,)、(,a,，,c,)等均为,A,*,B,中的元素，确定,A,*,B,中的元素是由,A,中取一个元素来确定,x,，,B,中取一个元素来确定,y,，由分步计数原理可知,A,*,B,中有3412个元素故选C.,(2),A,中任一元素在,B,中有惟一元素和它对应，由,x,f,(,x,),xf,(,x,)(,x,1)(,f,(,x,)1)1知，,x,为奇数时都满足，,x,为偶数时，必须,f,(,x,)为奇数，当,x,1或1时，,f,(,x,)可取,B,中任一元素，各有5种；当,x,0时，,f,(,x,)只能取3或5，有2种根据分步计数原理，共有52550个映射故选B.,答案：,(1)C(2)B,变式迁移 2,乘积(,a,1,a,2,a,3,)(,b,1,b,2,b,3,b,4,)(,c,1,c,2,c,3,c,4,c,5,)的展开式中有多少项？,解：,首先应明确所完成的事情，即从三个因式中各取一个字母相乘之积作为展开式中的一项然后再分析如何完成，从第一个因式中选一个字母，从第二个因式中选一个字母，从第三个因式中选一个字母，只有这三步都做完，事情才完成，因而用乘法原理结果为34560项,【例3】如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有,(),A180种 B240种,C360种 D420种,解析：,本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域中的3个区域相邻)，故应先涂区域1，有5种涂法，再涂区域2，有4种涂法，接着涂区域3，有3种涂法，涂区域4时注意：区域2与4同色时区域4有1种涂法，此时区域5有3种涂法，区域2与4不同色时区域4有2种涂法，此时区域5有2种涂法，故共有543(322)420种栽种方案，故选D.,答案：,D,涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类涂色问题，一般不涉及排列数和组合数的应用，是计数原理应用的典型问题由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为高考考试命题的热点.,变式迁移 3,有一个圆被两相交弦分成四块，现在用5种不同颜料给这4块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂一色，共有多少种涂色办法？,【例4】一圆周上有9个点，以这9个点为顶点作三个三角形，当这三个三角形的边互不相交时，我们把它称为一种构图则满足这样条件的构图共有,(),A3种 B6种,C9种 D12种,解析：,满足条件的构图要求9个点中每三个点分成一组，由于三个三角形的边互不相交，此时只能有两类构图一是旋转构图(如下图(1)；一是平行构图(如下图(2),(1)旋转构图：9个点每相邻三点为一组构成一个三角形，此时共有3种构图；,(2)平行构图：任取相邻两点为一边，再左、右分别跳过3个点后，得到其对边的顶点，组成一个三角形，另外两组隔开的三个点构成两个三角形，此时共有9种构图,由分类加法计数原理，得满足条件的构图共有3912种，正确答案选D.,答案：,D,由于计数原理的特殊地位与作用，在新课标高考中，如何设计背景新颖、公平合理而又不脱离考生学习生活实际的试题，是命题者的立意所在通过计数原理可以设计一些优秀的应用问题，较好地突出能力立意，强调基本方法，注重知识的理解与联系，着重考查学生的阅读理解能力与应用能力.,变式迁移 4,如图,A,、,B,、,C,、,D,为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连接起来，则不同的修筑方案共有(),A8种 B12种,C16种 D20种,答案：,C,1两个原理是处理排列、组合问题的理论依据，它们都是把一个事件分解成若干个事件来完成，其区别在于分类计数原理中各类办法是相互独立的，而分步计数原理中各个步骤是相互依存的,2在加法原理的内涵中突出反映了分类思想，合理分类能更有效地提高解题速度和质量,3分类时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性；分步时要注意“步”与“步”之间的连续性分类加法计数原理中的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理中的各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成,4运用两个原理解决相关问题时，究竟先分类后分步，还是先分步后分类这应视具体问题而定,5为了问题的简化和表达的方便，数学中经常将具有实际意义的事物符号化、数学化,