高等数学3隐函数与参数方程的导数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三,节 隐函数的导数和参数式求导,第二章 导数与微分,隐函数的导数,参数式求导,极坐标式求导,相关变化率,小结 思考题 作业,1,导数与微分,定义,1.,隐函数的定义,所确定的函数,一、隐函数的导数,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,称为,隐函数,(implicit function).,的形式称为,显函数,.,隐函数的,可确定显函数,例,开普勒方程,开普勒,(,J.Kepler,)1571-1630,德国数学家,天文学家,.,的隐函数客观存在,但无法将,表达成,的,显式,表达式,.,显化,.,2,2.,隐函数求导法,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,隐函数求导法则,用,复合函数求导法则,并注意到其中,将方程两边对,x,求导,.,变量,y,是,x,的函数,.,隐函数不易显化或不能显化,如何求导,3,例,1,解,则得,恒等式,代入,方程,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,将此,恒等式两边同时对,x,求导,得,因为,y,是,x,的函数,是,x,的复合函数,所以,求导时要用复合函数求导法,4,虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量,y.,允许在 的表达式中含有变量,y,.,一般来说,隐函数,求导,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,求,隐函数的导数时,只要记住,x,是自变量,将方程两边同时对,x,求导,就得到一个含有导数,从中解出即可,.,于是,y,的函数便是,x,的复合函数,的方程,.,y,是,x,的函数,5,例,2,求由方程,所确定的隐函数,的二阶导数,.,例,3,证明星形线,上任意一点,(,星形线与坐标轴交点除外,),的切线介于,两坐标轴之间的一段为定长,.,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,6,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题,.,如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,正交轨线,.,称这两条曲线是,正交的,.,如果一个曲线,族,中的每条曲线与另一个曲线,族,中的所有与它相交的曲线均正交,称这,是正交的,两个曲线族,或互为,正交曲线族在很多物理现象中出现,例如,静电场中的电力线与等电位线正交,热力学中的,等温线与热流线正交,等等,.,7,练习,证,即,证,.,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,两条曲线在该点的,现只须证明,切线斜率互为负倒数,.,8,3.,对数求导法,作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍,(1),许多因子相乘除、乘方、开方的函数,.,对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的,求导变得更为简单,.,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,适用于,方 法,先在方程两边取对数,-,对数求导法,然后利用隐函数的,求导法求出导数,.,9,例,4,解,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,等式两边取对数得,隐函数,10,两边对,x,求导得,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,等式两边取对数得,11,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,例,5,求,的导数,.,12,注,复合函数,改写成,如上例,则,只要将,幂指函数也可以利用对数性质化为,:,再求导,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,13,例,6,解,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,14,练习,求下列函数的导数,.,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,15,二、参数式求导,如,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,称此为由,参数方程所确定的函数,.,消参数困难或无法消参数,如何求导,.,消去参数,16,所以,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,单调连续的,反函数,由,复合函数及反函数的求导法则,得,17,例,7,求由,所确定的函数的导数,.,例,8,求旋轮线,(,摆线,速降线,),上斜率为,1,的切线方程,.,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,并求,18,进一步,假设在参数方程,中,二阶可导,则,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,19,如,:,注,求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理,.,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,20,练习,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,21,三、极坐标式求导,1.,极坐标系,o,P,r,2.,曲线的极坐标方程,如,22,3.,极坐标式求导,设曲线,:,化为参数式为,则,23,设切线的倾角为,则,从而,为向径沿逆时针方向转到切线位置的夹角,.,24,例,9,解,将曲线的极坐标方程转换成,则曲线的切线斜率为,所以法线斜率为,又切点为,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,故法线方程为,即,参数方程,这种将极坐标方程化为参数方程,借助参数方程处理问题的方法,在高等数学中将多次遇到,.,25,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为,相关变化率解法三步骤,找出相关变量的关系式,对,t,求导,相关变化率,求出未知的相关变化率,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,四、相关变化率,相关变化率,之间的关系式,代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1),(2),(3),26,例,13,解,(1),(2),隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,仰角增加率,(3),27,练习,1.,设由,确定了,y,是,x,的函数,求,2.,求曲线,3.,求曲线,处的切线与法线方程,.,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,28,4.,设,5.,设,6.,设,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,29,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,五、小结,隐函数求导法则,工具,:,复合函数,链导法则,;,对数求导法,对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导,.,参数方程求导,注意,:,变量,y,是,x,的函数,.,将方程两边对,x,求导,.,工具,:,复合函数,链导法则,、反函数的求导法则,.,相关变化率,通过函数关系确定两个变化率,之间的,解法,:,三个步骤,.,关系,从其中一个变化率,(,已知,),求出一个变化率,;,30,思考题,(,是非题,),隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,正确解答,试问,对吗,?,非,31,作业,习题,3.3,(120,页,),(A)3.,(4)4.(2),5.(,1)(6),6.(4),7.(,4)9,.(1),12.,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,32,