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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 相似矩阵,一、相似矩阵的概念,定义,4.2,设,A,、,B,都是,n,阶矩阵，如果存在非奇异矩阵,P,，使得,P,1,AP,B,我们称,A,与,B,相似。记为,“,A,B,”,；,P,称为,A,与,B,相似的变换矩阵。,显然，相似矩阵有如下简单性质：,（,）,A,A,（只需取,P,I,）,（,）,如,A,B,，则必有,B,A,证明：因为,A,B,，所以存在可逆矩阵,P,，有,P,1,AP,B,所以,A,PBP,1,即,A,(P,1,),1,B(P,1,),即是,B,A,（,）如,A,B,，,B,C,，则必,有,有,A,C,。,证明,:,因为,A,B,B,C,，所以,存,存在可,逆,逆矩阵,P,1,、,P,2,P,1,1,AP,1,B,，,P,2,1,BP,2,C,所以有,P,2,1,（,P,1,1,AP,1,）,P,2,C,即有,（,（,P,1,P,2,）,1,A,（,P,1,P,2,）,C,所以,A,C,二、相,似,似矩阵,的,的性质,n,阶矩阵,A,与,B,如果相,似,似，则,它,它们会,有,有许多,共,共同之,处,处。,性质,1.,如,A,B,，则,A,与,B,有相同,的,的特征,值,值。,证明：,A,B,，则存,在,在可逆,矩,矩阵,P,有,P,1,AP,B,所以,|I,B|,|I,P,1,AP|,|P,1,（,I,A,）,P|,|P,1,|I,A|P|,|I,A|,即,A,与,B,的特征,方,方程相,同,同,A,与,B,有相同,的,的特征,值,值。,性质,2.,如,A,B,，则,A,与,B,的秩相,同,同。,证明：,A,B,，则存,在,在可逆,矩,矩阵,P,有,P,1,AP,B(1),由于,P,可逆，,可,可设,P,T,1,T,2,T,s,(T,i,为初等,矩,矩阵,),代人（,1,）得,（,T,1,T,2,T,s,）,1,A,（,T,1,T,2,T,s,）,B,T,s,-1,T,s-1,-1,T,2,1,T,1,-1,A,（,T,1,T,2,T,s,）,B,即,A,经过,2s,次初等,变,变换可,变,变成,B,，所以,必,必有,秩,A,秩,B,性质,3.,如,A,B,，则,A,B,证明：,A,B,，则存,在,在可逆,矩,矩阵,P,有,P,1,AP,B,所以有,B,P,1,AP,|P,1,|A|P|,|A|,性质,4.,如,A,B,，则,A,与,B,的奇异,性,性相同,（,（利用,性,性质,3,可得此,结,结论）,例,1.,已知三,阶,阶矩阵,A,与,B,相似，,A,的特征,值,值为,1,、,2,、,3,，求矩,阵,阵,B,2,2B,的特征,值,值。,解：,A,与,B,相似，,则,则,B,的特征,值,值也为,1,、,2,、,3,由上节,例,例,3,知,B,2,-2B,的特征,值,值为,1,、,0,、,3,。,例,2.,设,n,阶矩阵,A,与,B,相似，,证,证明,A,2,-A,与,B,2,-B,相似。,证明：,A,与,B,相似。则存在,可,可逆矩阵,P,，有,P,-1,AP,B,所以,B,2,(P,-1,AP)(P,-1,AP),P,-1,A,2,P,可得,P,1,(A,2,A)P,P,1,A,2,P,P,1,AP,B,2,B,因此可得,A,2,A,与,B,2,B,相似。,矩阵与对角矩,阵,阵相似的条件,一,.,判定定理,.n,阶矩阵,A,与对角矩阵相,似,似的充分必要,条,条件是,A,有,n,个线性无关的,特,特征向量。（,记,记,P,为,A,的特征向量组,成,成的矩阵，对,角,角矩阵,是由,P,的列对应的特,征,征值组成的对,角,角矩阵，则有,P,1,AP,，即,A,）,.,证明：（,i,）必要性,如果,A,与对角矩阵,相似，则存在,可,可逆矩阵,P,有,P,1,AP,可得,AP,P,设,P,(X,1,X,2,X,n,),其中,X,i,为,P,的第,i,列,由于,P,可逆，显然,X,1,X,2,X,n,线性无关。,下证,X,i,为特征向量,再设,又,AP=A(X,1,X,2,X,n,)=,（,AX,1,AX,2,AX,n,）,由,AP=P,得：（,AX,1,AX,2,AX,n,）,=,（,1,X,1,2,X,2,n,X,n,）,进而可得：,AX,i,=,i,X,i,(i=1,2,n),所以,X,1,X,2,X,n,是,A,的,n,个线性无关的,特,特征向量。,(ii),充分性,设,A,有,n,个线性无关的,特,特征向量,X,1,X,2,X,n,，它们依次对,应,应的特征值分,别,别为,1,2,n,，,则有,AX,i,i,X,i,令,P,(X,1,X,2,X,n,),则可得,AP=A(X,1,X,2,X,n,)=,（,AX,1,AX,2,AX,n,）,P,（,1,X,1,2,X,2,n,X,n,）,AP,P,P,1,AP,即是,A,证毕,.,可以得到求与,A,相似的对角矩阵,，以及相似变换矩阵,P,的步骤：,第一步：由,I,A,0,求出特征值。,第二步：对于,每,每个,，解方程组,(I,A)X,0,求出基础解系,，,，最后得到,n,个线性无关的,特,特征向量,X,1,X,2,X,n,。,必有,P,1,AP=,第三步：得到,例,.,矩阵,求可逆矩阵,P,及对角矩阵,，使,P,1,AP,。,解,:,因此特征值,1,1,2,-2,当,1,时方程组（,I,A,）,X,0,为,其基础解系为,:,其基础解系为,:,当,2,时,，,，,方,方,程,程,组,组,（,（,A,）,X,0,为,有,P,1,AP,因,此,此,特,特,征,征,值,值,1,2,2,4,当,2,时,方,方,程,程,组,组,(,I,A)X,0,为,例,:,矩阵,判,定,定,定,定,理,理,2.n,阶,矩,矩,阵,阵,A,与,对,对,角,角,矩,矩,阵,阵,相,相,似,似,的,的,充,充,要,要,条,条,件,件,是,是,对,对,于,于,每,每,一,一,个,个,n,i,重,特,特,征,征,值,值,i,有,n,个,线,线,性,性,无,无,关,关,的,的,特,特,征,征,向,向,量,量,。,。,（,即,即,（,（,i,I,A,）,X,0,的,基,基,础,础,解,解,系,系,有,有,n,i,个,）,）,其基础解系为,:,所以矩阵,A,不与对角矩阵相似,.,例,.,已知,能对角化,求,A,n,(,n,1).,解,:,先,求,求,A,的,特,特,征,征,方,方,程,程,由,此,此,可,可,见,见,A,有,三,三,个,个,特,特,征,征,值,值,1,=0,2,=,3,=1.,因,为,为,A,能,够,够,对,对,角,角,化,化,必,须,须,对,对,应,应,于,于,重,重,根,根,2,=,3,=1,有,两,两,个,个,线,线,性,性,无,无,关,关,的,的,特,特,征,征,向,向,量,量,对,于,于,特,特,征,征,值,值,=1,时,（,（,A,）,Y,0,为,对,其,其,系,系,数,数,矩,矩,阵,阵,作,作,行,行,初,初,等,等,变,变,换,换,可,以,以,看,看,出,出,如,如,果,果,此,此,齐,齐,次,次,方,方,程,程,要,要,有,有,两,两,个,个,线,线,性,性,无,无,关,关,的,的,基,基,础,础,解,解,系,系,就必须有两个自,由,由变量,y,3,已经是一个自由,变,变量,因此需要,y,2,也是自由变量,这就要求上面矩,阵,阵的第二行全为,零,零,即,x,+2=0,得,x,=,-,2,此时,这时候,A,能对角化,所以存在方阵,T,使,上式两边同时左乘,T,及右乘,T,-,1,可得,又,例,2,设有矩阵,(1),问矩阵,A,是否可对角化,若能,试求可逆,矩阵,P,和对角矩阵,使,P,-1,AP,=,.,(2),使,P,-1,AP,=,成立的,P,、,是否唯一，,举例说明,.,解,单击这里求特征,多,多项式和特征值,（,1,）矩阵,A,的特征多项式为,当,时,解方程组,即,所以,A,的三个特征值分,别,别为,:,单击这里开始求,解,解,解之得基础解系,为,为,所以,是对应于,的特征向量,.,当,时,解方程组,即,解之得基础解系,为,为,所以,是对应于,的特征向量,.,单击这里开始求,解,解,当,时,解方程组,即,所以,是对应于,的特征向量,.,解之得基础解系,为,为,单击这里开始求,解,解,因为,线性无关,即三阶矩阵,A,有三个线性无关,的,的特征向量,所以,令,则,单击这里求逆,矩阵,A,可对角化,.,此时,且有,P,-1,AP,=,.,（,2,）使,P,-1,AP,=,成立的,P,、,不唯一,.,如,若取,则,此时,亦有,P,-1,AP,=,.,单击这里求逆,例,3,判定下列矩阵是,否,否相似于对角矩,阵,阵,若相似,则求出可逆矩阵,P,使,P,-1,AP,是对角矩阵,.,矩阵,A,是个对角线上的,元,元素相同的上,三角矩阵,注意任何对角矩,阵,阵、上下三角矩,阵,阵的特征,值都是其对角线,上,上的元素,所以此题,A,的特征值为,使,A,=,P,-1,P,但是,P,-1,P=P,-1,EP=E,就应有,A=E,这显然不对,所以说,A,不相似于对,则,A,不相似于对角矩,阵,阵,因为如果,A,相似于对角,矩阵,则,就是单位矩阵,且应有可逆矩阵,P,角矩阵,.,(1),解,先求特征值，,A,的特征多项式为,A,的特征值为,再求特征向量,单击这里求特征,值,值,(2),解,当,时，解方程组,即,得对应于,的特征向量为,单击这里求解,当,时，解方程组,即,得对应于,的特征向量为,单击这里求解,令,则,P,可逆，且有,因为,3,阶矩阵,A,找到了,个线性无关的特,征向量，所以方,阵,阵,A,相似于对角矩阵,.,例,4,设,相似于对角矩阵,求,x,与,y,应满足的条件,.,先求特征值,A,的特征多项式为,所以,A,的特征值为,A,相似于对角矩阵,的,的充分必要条件,是,是,A,有三个,线性无关的特征,向,向量,解,行变换,所以,x,、,y,应满足的条件为,:,特征向量,.,的秩为,1,下面把矩阵,化为行最简形,.,应能找到两个线,性,性无关的,即,A,的二重特征值,这时就要求矩阵,即,例,5,设,3,阶矩阵,A,的特征值为,对应的特征向量,依,依次为,求,A,和,A,100,.,因,3,阶方阵,A,的三个特征值互,不,不相,则,A,=,P,P,-1,.,等,所以,A,可对角化,即存在可逆方阵,P,使,解,令,单击这里开始求,逆,逆,则,且,P,-1,AP,=,所以,因为,A=P,P,-1,，,所以,A,100,=,P,100,P,-1,二,.,约当标准形简介,1.,约当块,:,约当块的特点是,主,主对角线都为,次对角线都为,1,2.,约当形矩阵,(,约当标准形,),如果一,个,个分块,对,对角矩,阵,阵的所,有,有子块,都,都是约,当,当块,即其中,J,1,，,J,2,，,，,J,n,，都是,约,约当块,，,，称,J,为约当形,矩,矩阵，或称,为,为约当标,准,准形。,例如：,下,下列矩,阵,阵都是,约,约当形,矩,矩阵,而下列,矩,矩阵不,是,是约当,形,形矩阵,注意,:,对角矩,阵,阵也是,一,一种特,殊,殊的约,当,当形矩,阵,阵,定理,.,对的,n,阶方阵,A,，都有,与,与之相,似,似的约,当,当形矩,阵,阵。即,是,是存在,n,阶可逆,矩,矩阵,P,和约当,形,形矩阵,J,，有,P,1,AP,J,例如,.,如果,4,届矩阵,A,的特征,值,值,1,2,，,2,3,4,3,，但是,如果,3,的线性,无,无关的,特,特征向,量,量的个,数,数为,2,显然,A,不与对,角,角矩阵,相,相似,但,A,与,J,1,相似,(,此时,r(3 I,J,1,)=2),如果,3,的线性,无,无关的,特,特征向,量,量的个,数,数为,1,显然,A,不与对,角,角矩阵,相,相似,但,A,与,J,2,相似,(,此时,r(3 I,J,1,)=3),。,结,束,束,
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