第5章(误差基本知识-).

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,测量误差及其产生的原因,测量误差的分类与处理原则,偶然误差的特性,精度评定的指标,误差传播定律及其应用,第五章 测量误差基本知识,本章主要内容如下：,1,一、观测误差,当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或理论值)之差，称为测量误差。,用数学式子表达：i=Li X (i=1,2n),L 观测值 X真值,5-1,测量误差概述,1、仪器的原因,仪器结构、制造方面,，每一种仪器具有一定的精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。,二、测量误差的来源,测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有以下三个方面：,2,例 如：,DJ6型光学经纬仪基本分划为1，难以确保分以下,估读值完全准确无误。,使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。,仪器构造本身也有一定误差。,例 如：,水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有,i,角误差或交叉误差。,水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。,3,2、人的原因,观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。,人、仪器和外界环境通常称为,观测条件；,观测条件相同的各次观测称为,等精度观测；,观测条件不相同的各次观测称为,不等精度观测。,3、外界条件,例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化，均使观测结果产生误差。,例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。,4,三、测量误差的分类,先作两个前提假设：,观测条件相同.,对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值、符号及变化规律,。,5,先看两个实例：,例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。,丈量结果见下表5-1：,表5-1,尺段数,一,二,三,四,五,N,观测值,30,60,90,120,150,30 n,真实长度,30.04,60.08,90.12,120.16,150.20,30.04n,真误差,-0.04,-0.08,-0.12,-0.16,-0.20,-0.04 n,可以看出：,误差符号始终不变，具有规律性。,误差大小与所量直线成 正比，具有累积性。,误差对观测结果的危害性很大。,6,例 2：,在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。,大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。,可以看出：,从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任,何规律性。,多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。,7,1.系统误差,-,在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差具有规律性。,2.偶然误差,-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列,的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面,上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。,个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。,3.粗差,-观测中的错误叫粗差。,例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。,错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。,一旦发现，应及时更正或重测。,引进如下概念：,8,(二)测量误差的处理原则,在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。,系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。,对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。,消除系统误差的常用的有效方法：,检校仪器：使系统误差降低到最小程度。,求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。,采用合理的观测方法：如对向观测。,研究偶然误差是测量学的重要课题。,消除或削弱偶然误差的有效方法：,适当提高仪器等级。,进行多余观测，求最或是值。,9,四、偶然误差的特性,若,i,=L,i,X （i=1,2,3,358）,表5-2,10,从表5-2中可以归纳出偶然误差的特性,在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；,绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；,绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；,当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。,用公式表示为：,实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明显。,为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表5-2的数据作,误差频率直方图,(图5-1),。,11,-,24-21-18-16-12-9-6 3 0+3+6+9+12+15+18+21+24 x=,图5-1 频率直方图,12,若误差的个数无限增大(n)，同时又无限缩小误差的区间d,，则图5-1中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“,正态分布曲线,”，它完整地表示了偶然误差出现的概率P。即当n时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。,正态分布曲线的数学方程式为:,(5-3),为标准差，标准差的平方为 方差。,13,从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:,1,.,f()是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f()相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。,2.,愈小，f()愈大。当=0时，f()有最大值;反之，愈大，f()愈小。当n时，f()0,这就是偶然误差的第一和第二特性。,3.,如果求f()二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标：,拐,=,如果求f()在区间 的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特征,。,14,f(),+,-,1,1,1,2,1,-,+,f(),2,+,-,2,2,1,2,2,1,15,观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数 ；,观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数 ；,具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降；,具有 较大 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。,最大纵坐标点：,16,5-2 衡量观测值精度的标准,一,.中误差,误差的概率密度函数为：标准差,在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式：,标准差中误差 m 的不同在于观测个数 n 上；,标准差表征了一组同精度观测在(n)时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标；,而中误差则是一组同精度观测在为 n 有限个数时求得的观测精度指标；,所以中误差是标准差的近似值估值；,随着 n 的增大，m 将趋近于。,17,必须指出：,同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。,同精度观测值具有相同的中误差。,例3:,设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为,第一组：+3,-2,-4,+2,0,-4,+3,+2,-3,-1；,第二组：0,-1,-7,+2,+1,+1,-8,0,+3,-1.,试求这两组观测值的中误差。,由,解得：m,1,=2.7 m,2,=3.6,可见：,第一组的观测精度较第二组观测精度高。,18,二、容许误差（极限误差）,根据正态分布曲线，误差在微小区间d,中的概率：,p()=f()d,设以k倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为：,分别以k=1,2,3代入上式，可得：,P(m)=0.683=68.3,P(2m)=0.955=95.5,P(3m)=0.997=99.7,由此可见：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5，而大于3倍的误差仅占误差总数的0.3。,由于一般情况下测量次数有限，3倍中误差很少遇到，故以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”，或 称为“限差”即,容,=2m,19,三、相对误差,在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。,例如:用钢卷尺量200米和40米两段距离，量距的中误差都是2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。,为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即,m/L,来评定精度，通常称此比值为相对中误差。,相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即 。,上例为 K,1,=m,1,/L,1,=1/10000,K,2,=m,2,/L,2,=1/2000,可见:前者的精度比后者高。,与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。,20,5-3 误差传播定律,若,Z=F（x,1,x,2,x,3,，x,n,）,式中x,i,(i=1,2,3,，n)为独立观测值，其中误差为m,i,(i=1,2,3,，n),求观测值函数的中误差m,z,。当观测值x,i,分别具有真误差x,i,时，则函数z也随之产生相应的真误差z。,由数学分析可知，变量与函数的之间的误差关系可近似用函数的全微分表达，即,21,一般函数：,倍数函数：,和差函数：,线性函数：,一、误差传播定律主要公式,22,二、误差传播定律的应用,应用误差传播定律求观测值函数的精度时，可按下述步骤进行：,1、按问题性质先列出函数式：,2、对函数式进行全微分，得出函数真误差与观测值真误差之间的关系式,3、将真误差形式转换成中误差形式,注意：各观测值之间必须互相独立。,23,误差传播定律的应用,例题：设有函数,式中:s=150.11m，其中误差m,s,=0.05m =1194500，,其中误差m,=20.6；求z的中误差m,z,解：因为,所以,：,24,误差传播定律的应用,水准测量的高差中误差：,若,h,AB,=h,1,+h,2,+,h,n,设每站高差中误差均为,m,站,，则有,m,h,AB,=n m,站,即水准测量高差中误差与测站数的平方根成正比,。,若水准路线为平坦地区，则每测站间距离,S,大致相等，设,AB,路线总长为,L，,则测站数,n=L/S，,则：,即水准测量高差中误差与距离的平方根成正比。,25,由三角形闭和差求测角中误差,26,5,-4,等精度直接观测平差,直接平差 等精度直接平差,不等精度直接平差,一、平差原则,按最小二乘原理,例如：测的某三角形的三个内角的观测值：,其闭合差,为消除闭合差，须对三个角度进行改正，即,27,满足条件的改正数可以有无限多组，见下表：,根据最小二乘原理，应使,改正数,第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,V,V,V,+6,+6,+6,+4,+20,-6,-4,+6,+16,+3,-1,+16,+6,+5,+7,vv,108,452,308,266,110,28,二、等精度直接平差,（一）求最或然值算术平均值,在相同的观测条件下，对某量进行,n,次观测，其值分别为,l,1,，l,2,，ln,，其算术平均值为,（二）观测值的改正数,算术平均值与观测值之差称为观测值的改正值（,v,）:,一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零。,29,（三）精度评定,1、观测值的中误差：,2、算术平均值的中误差：,30,5-5,、不等精度直接平差,（一）权与单位权,例如：对某量分两组观测，第一组观测2次，第二组观测4次。每次观测精度同，其中误差都为m，求由两组观测结果计算该量的最或然值。,31,32,（二）不等精度观测值的最或然值,（三）不等精度观测值最或然值的中误差,（四）单位权中误差,33,本章小结,：,1.测量误差及其产生的原因,仪器的原因 人的原因 外界环境的影响,2.测量误差的分类与处理原则,系统误差,-,在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。,偶然误差,-,在相同的观测条件下，对某