谓词逻辑基础(精)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2 谓词逻辑基础,一阶逻辑,基本概念,个体词：表示主语的词,谓词：刻画个体性质或个体之间关系的词,量词：表示数量的词,小王是个工程师。,8是个自然数。,我去买花。,小丽和小华是朋友。,其中，“小王”、“工程师”、“我”、“花”、“8”、“小丽”、“小华”都是个体词，而“是个工程师”、“是个自然数”、“去买”、“是朋友”都是谓词。显然前两个谓词表示的是事物的性质，第三个谓词“去买”表示的一个动作也表示了主、宾两个个体词的关系，最后一个谓词“是朋友”表示两个个体词之间的关系。,3.2 谓词逻辑基础,3.2 谓词逻辑基础,例如：（1）所有的人都是要死的。,（2）,有的人活到一百岁以上。,在个体域,D,为人类集合时，可符号化为：,（1）,xP,(,x,)，其中,P,(,x,)表示,x,是要死的。,（2）,x Q,(,x,),其中,Q,(,x,)表示,x,活到一百岁以上。,在个体域,D,是全总个体域时，,引入特殊谓词,R,(,x,)表示,x,是人，可符号化为：,（1）,x,（,R,(,x,),P,(,x,)）,其中，,R,(,x,)表示,x,是人；,P,(,x,)表示,x,是要死的。,（2）,x,（,R,(,x,),Q,(,x,)），,其中，,R,(,x,)表示,x,是人；,Q,(,x,)表示,x,活到一百岁以上。,一阶逻辑,公式及其解释,个体常量：,a,b,c,个体变量：,x,y,z,谓词符号：,P,Q,R,量词符号：,3.2 谓词逻辑基础,量词否定等值式：,(,x,）,P（x）,（,y,）,P（y）,(,x,）,P（x）,（,y,）,P（y）,量词分配等值式：,(,x,）(,P（x）,Q,（x）)(,x,）,P（x）,(,x,）,Q,（x）,(,x,）(,P（x）,Q,（x）)(,x,）,P（x）,(,x,）,Q,（x）,消去量词等值式：,设个体域为有穷集合（a,1,a,2,a,n,）,(,x,）,P（x）P（a,1,）,P（a,2,）,P（a,n,）,(,x,）P（x）P（a,1,）,P（a,2,）,P（a,n,）,3.2 谓词逻辑基础,量词辖域收缩与扩张等值式：,(,x,）(,P（x）,Q,)(,x,）,P（x）,Q,(,x,）(,P（x）,Q,)(,x,）,P（x）,Q,(,x,）(,P（x）,Q,)(,x,）,P（x）,Q,(,x,）(,Q,P（x）),Q,(,x,）,P（x）,(,x,）(,P（x）,Q,)(,x,）,P（x）,Q,(,x,）(,P（x）,Q,)(,x,）,P（x）,Q,(,x,）(,P（x）,Q,)(,x,）,P（x）,Q,(,x,）(,Q,P（x）),Q,(,x,）,P（x）,3.2 谓词逻辑基础,3.2 谓词逻辑基础,SKOLEM标准形,前束范式,定义,：说公式A是一个前束范式，如果A中的一切量词都位于该公式的最左边（不含否定词），且这些量词的辖域都延伸到公式的末端。,3.3 谓词逻辑归结原理,即：把所有的量词都提到前面去，然后消掉所有量词,(Q,1,x,1,)(Q,2,x,2,)(Q,n,x,n,)M(x,1,x,2,x,n,),约束变项换名规则：,(Qx,）,M（x）,（Qy,）,M（y）,(Qx,）,M（x,z）,（Qy,）,M（y,z）,3.3 谓词逻辑归结原理,量词消去原则：,消去存在量词“,”，略去全程量词“,”。,注意：,左边有全程量词的存在量词，消去时该变量改写成为全程量词的函数；如没有，改写成为常量。,3.3 谓词逻辑归结原理,Skolem定理,：,谓词逻辑的任意公式都可以化为与之等价的前束范式，但其前束范式不唯一。,SKOLEM标准形定义：,消去量词后的谓词公式。,注意,：谓词公式G的SKOLEM标准形同G,并不等值,。,3.3 谓词逻辑归结原理,例：,将下式化为Skolem标准形：,(,x)(,y)P(a,x,y),(,x)(,y)Q(y,b),R(x),解：第一步，消去,号，得：,(,x)(,y)P(a,x,y),(,x)(,y)Q(y,b),R(x),第二步，深入到量词内部，得：,(,x)(,y)P(a,x,y),(,x),(,y)Q(y,b),R(x),第三步，变元易名，得,(,x)(,y)P(a,x,y),(,u,)(,v,)(Q(v,b),R(u),第四步，存在量词左移，直至所有的量词移到前面，(,x)(,y)(,u,)(,v,)(P(a,x,y),(Q(v,b),R(u),由此得到前述范式,第五步，消去“,”（存在量词），略去“,”全称量词,消去(,y)，因为它左边只有(,x)，所以使用x的函数f(x)代替之，这样得到：,(,x)(,u),(,v,),(P(a,x,f(x),Q(v,b),R(u),消去(,u)，同理使用g(x)代替之，这样得到：,(,x),(,v,),(P(a,x,f(x),Q(v,b),R(g(x),则，略去全称变量，原式的Skolem标准形为：,P(a,x,f(x),Q(v,b),R(g(x),子句与子句集,文字：不含任何连接词的谓词公式。,子句：一些文字的析取（谓词的和）。,子句集,S,的求取：,G,SKOLEM标准形,消去存在变量,以“,，”,取代“,”，并表示为集合形式。,3.3 谓词逻辑归结原理,G是不可满足的,S是不可满足的,G,与,S,不等价，但在不可满足得意义下是一致的。,定理：,若G是给定的公式，而S是相应的子句集，则G是不可满足的,S是不可满足的。,注意,：,G真不一定S真，而S真必有G真。,即：S,=,G,3.3 谓词逻辑归结原理,G=G,1,G,2,G,3,G,n,的子句形,G,的字句集可以分解成几个单独处理。,有,S,G,=S,1,U S,2,U S,3,U U S,n,则,S,G,与,S,1,U S,2,U S,3,U U S,n,在不可满足得意义上是一致的。,即,S,G,不可满足,S,1,U S,2,U S,3,U U S,n,不可满足,3.3 谓词逻辑归结原理,例：对所有的x,y,z来说，如果y是x的父亲，z又是y的父亲，则z是x的祖父。又知每个人都有父亲，试问对某个人来说谁是它的祖父？,求：用一阶逻辑表示这个问题，并建立子句集。,解：这里我们首先引入谓词：,P(x,y)表示x是y的父亲,Q(x,y)表示x是y的祖父,ANS(x)表示问题的解答,3.3 谓词逻辑归结原理,对于第一个条件，“如果x是y 的父亲，y又是z 的父亲，则x是z 的祖父”，一阶逻辑表达式如下：,A,1,：(,x)(,y)(,z)(P(x,y),P(y,z),Q(x,z),S,A1,：P(x,y),P(y,z),Q(x,z),对于第二个条件：“每个人都有父亲”，一阶逻辑表达式：,A,2,：(,y)(,x)P(x,y),S,A2,：P(f(y),y),对于结论：某个人是它的祖父,B：(,x)(,y)Q(x,y),否定后得到子句：（(,x)(,y)Q(x,y)）,ANS(x),S,B,：Q(x,y),ANS(x),则得到的相应的子句集为：S,A1,，S,A2,，S,B,3.3 谓词逻辑归结原理,归结原理正确性的根本在于，找到矛盾可以肯定不真。,方法：,和命题逻辑一样。,但由于有函数，所以要考虑,合一,和,置换,。,3.3 谓词逻辑归结原理,置换：可以简单的理解为是在一个谓词公式中用置换项去置换变量。,定义：,置换是形如t,1,/x,1,t,2,/x,2,t,n,/x,n,的有限集合。其中，x,1,x,2,x,n,是互不相同的变量，t,1,t,2,t,n,是不同于x,i,的项（常量、变量、函数）；t,i,/x,i,表示用t,i,置换x,i,，并且要求t,i,与x,i,不能相同，而且x,i,不能循环地出现在另一个t,i,中。,例如,a/x，c/y，f(b)/z是一个置换。,g(y)/x，f(x)/y不是一个置换，,3.3 谓词逻辑归结原理,置换,置换的合成,设,t,1,/x,1,t,2,/x,2,t,n,/x,n,，,u,1,/y,1,u,2,/y,2,u,n,/y,n,，是两个置换。,则,与,的合成也是一个置换，记作,。它是从集合,t,1,/x,1,t,2,/x,2,t,n,/x,n,u,1,/y,1,u,2,/y,2,u,n,/y,n,中删去以下两种元素：,i.,当t,i,=x,i,时，删去t,i,/x,i,(i=1,2,n);,Ii.,当y,i,x,1,x,2,x,n,时，删去u,j,/y,j,(j=1,2,m),最后剩下的元素所构成的集合。,合成即是对t,i,先做,置换然后再做,置换，置换x,i,3.3 谓词逻辑归结原理,例：,设：,f(y)/x,z/y，,a/x,b/y,y/z，求,与,的合成。,解：先求出集合,f(b/y)/x,(y/z)/y,a/x,b/y,y/zf(b)/x,y/y,a/x,b/y,y/z,其中，f(b)/x中的f(b)是置换,作用于f(y)的结果；y/y中的y是置换,作用于z的结果。在该集合中，y/y满足定义中的条件i，需要删除；a/x，b/y满足定义中的条件ii，也需要删除。最后得,f(b)/x，y/z,3.3 谓词逻辑归结原理,合一,合一可以简单地理解为“寻找相对变量的置换，使两个谓词公式一致”。,定义：设有公式集FF,1,，F,2,，F,n,，若存在一个置换,，可使F,1,F,2,=F,n,，则称,是F的一个合一。同时称F,1,，F,2,，.，F,n,是可合一的。,例：,设有公式集FP(x,y,f(y),P(a,g(x),z)，则,a/x,g(a)/y,f(g(a)/z是它的一个合一。,注意：一般说来，一个公式集的合一不是唯一的。,3.3 谓词逻辑归结原理,3.3 谓词逻辑归结原理,3.3 谓词逻辑归结原理,3.3 谓词逻辑归结原理,归结原理,归结的注意事项：,谓词的一致,性,，,P(),与,Q(),，,不可以,常量的一致性,，,P(a,),与,P(b,.),，,不可以,变量,，,P(a,.),与,P(x,),，,可以,变量与函数,，,P(a,x,.),与,P(x,f(x),),，,不可以；,是不能同时消去两个互补对,，,PQ,与,P,Q,的空，不可以,先进行内部简化（置换、合并）,3.3 谓词逻辑归结原理,归结的过程,写出谓词关系公式,用反演法写出谓词表达式,SKOLEM标准形,子句集,S,对,S,中可归结的子句做归结,归结式仍放入,S,中，反复归结过程,得到空子句,得证,3.3 谓词逻辑归结原理,例题,“快乐学生”问题,假设任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的，任何肯学习或幸运的人都可以通过所有的考试，张不肯学习但他是幸运的，任何幸运的人都能获奖。求证：张是快乐的。,解：先将问题用谓词表示如下：,R1:“任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的”,(,x)(Pass(x,computer)Win(x,prize)Happy(x),R2:“任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试”,(,x)(,y)(Study(x)Lucky(x)Pass(x,y),R3:“张不肯学习但他是幸运的”,Study(zhang)Lucky(zhang),R4:“任何幸运的人都能获奖”,(,x)(Luck(x)Win(x,prize),结论：“张是快乐的”的否定,Happy(zhang),例题,“快乐学生”问题,由R1及逻辑转换公式:PWH=（PW）H，可得,(1)Pass(x,computer)Win(x,prize)Happy(x),由R2：(2)Study(y)Pass(y,z),(3)Lucky(u)Pass(u,v),由R3：(4)Study(zhang),(5)Lucky(zhang),由R4：(6)Lucky(w)Win(w，prize),由结论：(7)Happy(zhang)（结论的否定）,(8)Pass(w,computer)Happy(w)Luck(w)(1)(6)，w/x,(9)Pass(zhang,com