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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,微分方程数值解,哈工大,计算数学,Runge-Kutta方法,Runge-Kutta方法,(单步法),(高精度、适合于变步长、多步法起步),4-1 RK方法,思想：对于,y,=,f,(,x,y,),y,(,a,)=g,0,x,a,b,(1),由Lagrange中值公式有,y,(,x,k+1,),-y,(,x,k,),=hy,(,k,),y,(,x,k+1,),=y,(,x,k,),+hf,(,y,(,)(4-1),令,K,=,f,(,y,(,),，为了获得高精度的方法，必须选择准确的,K,。,做法：用,x,k,x,k+1,上若干个点的斜率,k,i,的线性组合逼近,K,，于是有,k,1,=,f,(,x,k,y,k,),k,2,=,f,(,x,k,+c,2,h,y,k,+,a,2,1,hk,1,),k,3,=,f,(,x,k,+c,3,h,y,k,+,a,3,1,hk,1,+,a,3,2,hk,2,),k,s,=,f,(,x,k,+c,s,h,y,k,+,a,s,1,hk,1,+,+,a,s,s-1,hk,s-1,),把它们作线性组合,K,=,b,1,k,1,+,b,2,k,2,+,b,s,k,s,(4-2),作为,y,k,到,y,k+1,的“增量”,形成一类显式单步法，称为,RK,方法。,(4-3),4-2 参数选取原则,(4-3)式中参数,c,i,a,i,j,b,i,的选取原则,将(4-3)式右端项,k,i,在(,x,k,y,k,)处作二元函数的Taylor展开，按,h,的幂次重新整理，使得,与微分方程(1)的解,y=y,(,x,)在,x=x,k,处的Taylor展开式,比较,h,的,系数,希望,有尽可能多的重合项，即要求,r,1,=f,k,r,2,=f,k,r,3,=f,k,r,4,=f,k,这样得到(4-3)式叫做 S 级递推公式。,如果,r,j,=f,k,(,j-,1),j,=1,p,而,r,p+1,f,k,(,p,),，则递推公式(4-3)具有,p,阶精度。,(4-4),(4-5),4-3 RK方法推演,通常使用较多的是 S=2,3,4 情况。,当s=2时，二级RK算法,k,1,=,f,(,x,k,y,k,),k,2,=,f,(,x,k,+c,2,h,y,k,+,a,2,1,hk,1,),y,k+1,=,y,k,+,b,1,hk,1,+,b,2,hk,2,将,k,2,在(,x,k,y,k,)作二元函数Taylor展开,将,k,1,，,k,2,代入（3-6），注意到,k,1,=,f,，得,右乘上,hb,2,(3-6),欲使,T,k+1,的阶数尽可能高，应该选取,b,1,b,2,x,k,c,2,a,2,1,使,h,1,h,2,的系数为零，即,再将,y,(,x,k+1,),在,x,k,作一元函数Taylor展开,c,2,自由取值，得到,不会等于零,由局部误差看，无论怎样选取,c,2,都不会使,h,3,系数为零，可见S=2的RK方法的精度阶数不会超过2阶。,常用的是：,取,c,2,=1/2,得到中点法,取,c,2,=1/3,得到Heun法,取,c,2,=1,得到改进的Newton法,4-4 四阶RK方法,S=4时，可达到4阶精度，有经典4阶KR方法,书上例题6,7改进牛顿方法.4阶龙格库塔方法，并且给出两种方法的比较。,一句话，解决好一个实际课题不容易，实践性非常强，教科书不会全部都写出来的！,例题6-8,6-9,用改进的Euler法和经典四阶R-K方法求解,PP298-299,4-5 局部误差,T,k,+,1,=,a,r,h,r,r+,1,+o(,h,r+2,),实际上,T,k+1,、,a,r,都依赖于,f,(,x,y,),。例如二级2阶方法,4-6稳定性,单步法稳定多项式是一次的，只有一个根。,只讨论绝对稳定区间,。,该方法用于检验方程,y=,y，y,(,a,)=g,0,x,a,b,时，,当,0时,y,(,x,)=,g,0,e,(,x-a,),(,x,）,当,y,k,=,g,0,e,kh,(,k,+）时，发散；,当,0时,y,(,x,)=,g,0,e,(,x-a,),0,(,x,）,可见当,y,k,0,(,k,+）时，方法对于确定的,h,是绝对收敛的。例如6-9,二级2阶法用于检验方程,y=,y,k,1,=,f,(,x,k,y,k,)=,y,k,k,2,=,f,(,x,k,+c,2,h,y,k,+,a,2,1,hk,1,),=,(,y,k,+,a,2,1,h,y,k,),y,k+1,=,y,k,+,b,1,hk,1,+,b,2,hk,2,=,y,k,+,b,1,h,y,k,+,b,2,h,(,y,k,+,a,2,1,h,y,k,),=(1+,b,1,h,+,b,2,h,+,b,2,h,a,2,1,h,),y,k,=(1+,h,+,h,h,/,2),y,k,=,=(1+,h,+,h,h,/,2),k,+1,y,0,可见|1+,h,+,h,h,/,2|1,稳定。,S=2时,可见|1+,h,+,h,h,/,2|1,稳定。,-11+,h,+,h,h,/,21,-2,h,(,1,+,h,/,2)0,h,0,h,-2,h,0 1+,h,/,20,h,-2 不可能,故 绝对稳定区间是 （2，0）,对于一般的,r,阶,KR,方法,y,k,=,y,(,x,)时，,y(x,k+1,)-y,k+1,=O,(,h,r+1,),所以S级r价KR方法应用于实验方程有,y,k+1,=R,s,r,(,h,),y,k,其中,称为,RK,方法的,传递函数,。,其中系数,v,k,依赖于特殊方法中的系数。若s=r,则RK方法的,绝对稳定区间的条件,为,|R,s,r,(,h,),|,1,于是对于所有s=r的r阶方法，他们的绝对稳定区间是相同的，例如,r=s=3时,绝对稳定区间为,（-2.51,0）,例如,r=s=4时,绝对稳定区间为,（-2.78,0）,4,4,6预估-校正法,隐格式线性多步法,y,k,+1,=a,0,y,k,+a,1,y,k,-1,+,+a,p,y,k,-,p,+h,(,b,-,1,y,k+,1,+b,0,y,k,+b,1,y,k,-1,+,+b,p,y,k,-,p,)(2),I,起步时，,y,i,i=,0,1,p,要用单步法计算启动；,II 之后，每一步都要解一个非线性方程的根，初始值怎样给定才会有,一般取j=0，只迭代一次，例如,Euler格式,梯形公式,问题：,I 预估效正法的特点：显格式与隐格式交替使用,II显格式与隐格式精度应该相同配对使用；,III启动阶段用精度不小于效正法的精度。,数学实验,求下列方程组的数值解,y,1,=,0.04(1-,y,1,)-(1-,y,2,),y,1,+,0.0001(1-,y,2,),2,y,2,=-10,4,y,1,+3000(1-,y,2,),2,y,1,(0)=0,y,2,(0)=1,0,x,100,告一段落,
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