线性代数1.3 行列式的性质和计算

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数精品课程,1.3 行列式的性质与计算,一,行列式的性质,行列式按行（列）展开,二,分块三角行列式的计算,三,行列式的计算方法,四,一、,行列式的性质,性质1,性质2,性质3,性质4,性质6,性质5,性质1,行列式与它的转置行列式的值相等.即,转置,作用：凡对行成立的性质，对列也同样成立。,以后仅对行证明,对列同样成立。,性质2,互换行列式的其中两行（列），行列式改变符号.,性质3,行列式中某一行（列）所有元素的,公因子可以提到行列式符号的外面.,性质4,如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，那么行列式等于零.,性质5,如果行列式的某一行（列）元素都是两数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和。,性质6,把行列式某一行（列）的元素同乘以数k，加到另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变，,K倍,注,：,（1）使用性质2，性质3，性质6计算行列式的方法称为,消元法,.,（2）性质中有三个性质个是行列式等于0的充分条件,。,但是，该行列式并没有一行（列）为0、两行（列）相同或两行（列）成比例.,（3）使用消元法可以把行列式化为三角行列式的形式，从而方便地求出行列式的值.此方法叫做,化上（下）三角形法,.（注意“1”的作用：消元时不产生分数。若没有“1”，有时可通过消元法造出“1”）,例1计算,解,化三角形法,二、行列式按行（列）展开,1,余子式和代数余子式,2行列式按行（列）展开法则,1、,余子式和代数余子式,的代数余子式.,按行（列）展开法则,2、行列式按行（列）展开法则,定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,行列式按第i行展开，记作,行列式按第j列展开，记作,造0降阶法,消元法,化为0,再展开,降阶,例2 计算,解,定理2,行列式任意一行（列）的所有元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即,三、分块三角,行列式的计算,下分块三角,行列式,对,“,上分块三角,行列式,”,同样成立！,反上（下）分块三角,行列式,注意符号！,四、,行列式的计算方法,1.定义法。,当行列式中0元素较多时，可直接按定义计算行列式,。,2.化上（下）三角形法。,注意“1”的作用：消元时不产生分数若没有“1”，有时可通过消元法造出“1”。,数字行列式,上,（,下,）三角行列式,消元法,3.降阶法（造0降阶法）,按行（列）展开法则,消元法,化为0,再展开,降阶,4.观察法(主要观察行(列)元素之和是否为一个定数；行(列)间元素的差异大小,进而利用消元法计算行列式),5.数学归纳法,6.递推法,例3计算5阶行列式,n阶行列式=?,例4计算5阶行列式,5.数学归纳法,例5.证明 n阶范德蒙(,Vandermonde,)行列式,6.递推法,例6计算阶行列式,解,