多元线性回归模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 多元线性回归模型,模型的建立及其假定,条件,基本概念,多元线性回归模型的基本假定,基本概念,多元线性回归模型,:,表现在线性回归模型中的解释变量有多个。,一般形式,：,i,=1,2,n,其中:,k,为解释变量的数目，,j,称为,回归参数。,习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样模型中解释变量的数目为（,k,+1）,也被称为,总体回归函数,。,被称为多元总体线性回归方程,简称总体回归方程。,方程表示,各变量X值固定时Y的平均响应,。,j,也被称为,偏回归系数,，表示在其他解释变量保持不变的情况下，X,j,每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化;或者说,j,给出了X,j,的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。,总体回归模型,矩阵表达式,为,Y=X+U,其中,总体回归模型,矩阵表达式,样本回归函数,用来估计总体回归函数,其中的,e,i,为,残差,。,样本回归函数,的,矩阵表达为,其中：,称,样本回归函数,基本假定,假设,1,随机误差项具有零均值,假设2,随机误差项具有同方差,假设3,随机误差项不序列相关性,基本假定,假设4,n,(,k,+1),矩阵,X,是非随机的，且,X,的秩,=,k,+1,，即,X,满秩。解释变量与随机项不相关E(,XU,),=0,假设,6,，随机项满足正态分布,假设5,解释变量之间不存在完全线性关系,3.2,最小二乘法,参数的最小二乘估计,随机误差项的方差 的估计量,参数的普通最小二乘估计,对于随机抽取的n组观测值,如果,样本函数,的参数估计值已经得到，则有：,i=1,2n,根据,最小二乘原理,，参数估计值应该是下列方程组的解,其中,于是得到关于待估参数估计值的,正规方程组,：,正规方程,即,由于,XX,满秩，故有,正规方程组,的,矩阵形式,将OLS过程用,矩阵表示,如下：,即求解方程组：,得到：,于是：,可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为,随机误差项,u,的方差,2,的无偏估计,第三节参数估计量的性质,在满足基本假设的情况下，其结构参数,的,普通最小二乘估计,具有：,线性性,、,无偏性,、,有效性,。,1、线性性,其中,C,=,(XX),-1,X,为一仅与固定的,X,有关的行向量,2、无偏性,这里利用了假设:,E(,X,)=,0,3、有效性（最小方差性）,其中利用了,和,第四节,可决系数,总离差平方和的分解,多元样本可决系数,修正样本可决系数,总离差平方和的分解,由于,=0,所以有：,=SSE+SSR,该统计量越接近于,1,，模型的拟合优度越高。,问题：,在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，,R,2,往往增大。,这就给人,一个错觉,：,要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可,。但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R,2,的增大与拟合好坏无关,，,R,2,需调整,。,可决系数,在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以,调整的思路是:,将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响,:,其中：,n-k,-1为残差平方和的自由度，,n,-1为总体平方和的自由度。,调整的可决系数,调整的可决系数与可决系数的关系,第五节显著性检验,与置信区间,方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系,在总体上,是否显著成立作出推断。,1、方程显著性的F检验,即检验模型,Y,i,=,0,+,1,X,1i,+,2,X,2i,+,k,X,ki,+u,i,i=1,2,n,中的参数,j,是否显著不为0。,可提出如下原假设与备择假设：,H,0,：,1,=,2,=,k,=0,H,1,：,j,不全为0,F检验的思想,来自于总离差平方和的分解式：,TSS=ESS+RSS,如果这个比值较大，则,X,的联合体对,Y,的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。,因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断,。,F检验的思想,根据数理统计学中的知识，在原假设,H,0,成立的条件下，统计量,服从自由度为(,k,n,-,k,-,1)的,F,分布,给定显著性水平,，可得到临界值,F,(,k,n-k-,1,),，由样本求出统计量,F,的数值，通过,F,F,(,k,n-k-,1,)或 F,F,(,k,n-k-,1,),来拒绝或接受原假设,H,0,，以判定原方程,总体上,的线性关系是否显著成立。,2,、,关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论,或,解释变量的显著性检验（,t,检验）,方程的,总体线性,关系显著,每个解释变量,对被解释变量的影响都是显著的,因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。,这一检验是由对变量的 t 检验完成的。,由于,以,c,ii,表示矩阵,(XX),-1,主对角线上的第,i,个元素，于是参数估计量的方差为：,其中 为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:,1、t统计量,因此，可构造如下,t,统计量,设计原假设与备择假设：,H,1,：,i,0,给定显著性水平,，可得到临界值,t,/2,(,n-k-,1,),，由样本求出统计量,t,的数值，通过,|t|,t,/2,(,n-k-,1,)或|t|,t,/2,(,n-k-,1,),来拒绝或接受原假设,H,0,，从而,判定对应的解释变量是否应包括在模型中。,H,0,：,i,=0,（,i=1,2k,）,2、t检验,一方面,，,t,检验与,F,检验都是对相同的原假设,H,0,：,1,=0,进行,检验;,另一方面,，两个统计量之间有如下关系：,一元线性回归中，t检验与F检验一致,3参数的置信区间,参数的,置信区间,用来考察：,在一次抽样中所估计的参数值离参数的真实值有多“近”,。,在变量的显著性检验中已经知道：,容易推出,：在(1-,),的置信水平下,i,的置信区间是,其中，,t,/2,为显著性水平为,、自由度为,n,-,k,-1,的临界值。,增大样本容量,n,，,因为在同样的样本容量下，,n,越大，,t,分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；,提高模型的拟合优度,，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。,提高样本观测值的分散度,一般情况下，样本观测值越分散,，,(XX),-1,的分母的,|XX|,的值越大，致使区间缩小。,如何才能缩小置信区间？,第六节预测,点预测,区间预测,对于模型,给定样本以外的解释变量的观测值,X,0,=(1,X,10,X,20,X,k0,),，可以得到被解释变量的预测值：,它可以是总体均值,E(Y,0,),或个值,Y,0,的预测。,但严格地说，,这只是被解释变量的预测值的估计值。,为了进行科学预测，还需求出预测值的置信区间，包括,E(Y,0,),和,Y,0,的,置信区间,。,E(Y,0,),的预测区间,易知,容易证明,于是，得到,(1-,),的置信水平下,E(,Y,0,),的,置信区间,：,其中，,t,/2,为,(1-,),的置信水平下的,临界值,。,Y,0,的置信区间,如果已经知道实际的预测值,Y,0,，那么预测误差为：,容易证明,e,0,服从正态分布，即,构造,t,统,计量,可得给定,(1-,),的置信水平下,Y,0,的,置信区间,：,第七节案例分析,