多元复合函数微分法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多元复合函数微分法,多元函数经复合运算后，一般仍,是多元函数，也可能成为一元函数。,按前面关于多元函数的讨论方法，复,合函数求导法则的研究可从复合后成,为一元函数的情况开始。,这就是全导数问题。,一、,全导数,例,设,求,解,故,解,(将,x,y,的表达式带入),+,你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗？,由此可推至一般的情况,定理1,(全导数),设函数,可复合成,若,在点,x,处可微，函数,在相应于,x,的点,处可微，则复合函数,在点,x,处可偏导，且,+,证,给,x,以增量,，相应地有,由,的可微性，有,从而,由一元函数导数导定义,取,的极限,由,可导，,故必连续,从而,时，,即有,于是,定理获证,例,设,求,解,令,则,则,写出二元和三元函数的全导数公式,请同学自己写,开始对答案,二、链导法则,一般多元复合函数的求导法则,假设所有出现的函数求导运算均成立，试想一下如何求下面的导数：,求,将,y,看成常数,将,x,看成常数,是按全导数公式求导，而对具体函数来说，实质上又是求偏导数。,定理2,设,在点,处均可导，,且,在对应点,可微，,则复合函数,在点,处可导，,且,m,个,n,元函数,一个,m,元函数,复合成一个,n,元函数,定理可视为全导数定理的推广:,将诸,x,k,(,k,j,),看成常数，运用全导数公式，,求导记号作相应改变即可证明该定理。,设,满足定理的条件，则有,例,设,求,解,例,设,求,解,令,则,例,设,求,解,自己做,例,例,设,其中,求,解,令,则,请你自己在下面写出导数关系式,答案：,你做对了吗？,加,油,啊,！,课后自己计算,例,设函数,均可微，,求,解,g,g,三、全微分形式不变性,一元函数的微分有一个重要性质：,一阶微分形式不变性,对函数,不论,u,是自变量,还是中间变量,在可微的条件下,均,有,记得吗?,对二元函数,来说，,论,x,和,y,是自变量还是中间变量，,可微的条件下,f,的全微分总可写为：,不,不,在,论,x,和,y,是自变量还是中间变量，,详细的推导过程请同学自己看书。,呀！看书。,呀！看书。,呀！看书。,设,不论,是自变量,还是中间变量，在可微的条件下，均有,设,应用全微分形式不变性求,解,与,比较，得,例,8-5,隐函数的,微分法,与一元函数的情形类似，多元函,也有隐函数。,如果在方程式,中，,时，,相应地总有满足,该方程的唯一的,z,值存在,则称该方,程在,内确定隐函数,每一个方程都能,确定一个隐函数吗？,此外，隐函数不一定都能显化。,如果在方程式,中，,时，,相应地总有满足该,在,内确定隐函数,方程的唯一的,u,值存在,则称该方程,将概念推广到一般情形,一元函数的,隐函数的求导法,一,、,设,确定隐函数,若,则对方程,两边关于,x,求导，得,从而得到一元隐函数求导公式,这是利用多元函数的偏导数求一元函数的隐函数导数的公式,设,求,解,令,则,故,例,二,、由一个方程确定,的隐函数的求导法,定理 2,(隐函数存在定理),设,1.,2.,3.,则方程,在,内唯一,确定一个函数,且,由隐函数存在定理的条件及一元隐函数求导方法,利用多元函数求导方法，对方程,F,(,x,y,u,)=0 两边关于,x,y,求偏导，得,由于,又,由连续函数性质,在其中,自己算一下，,z,对,x,y,的偏导数是多少。,求方程,所确定的,函数,的偏导数。,解,令,则,故,例,设,确定,求,其中，,解,例,定理,(隐函数存在定理),设,1.,2.,3.,则方程,在,内唯,一确定一个函数,且,请同学们自己将上面的隐函数存在,定理推广至一般的,n,元函数情形,三,、由方程组确定的,隐函数的求导法,雅可比行列式,当所出现的函数均有一阶连续偏导数时，雅可比行列式有以下两个常用的性质：,1.,2.,设方程组,确定函数,求,想一想，怎么做？,问题,1,方程组中每个方程两边关于,x,求导：,运用克莱满法则解此二元一次方程组,移项，得,当,时，,方程组有唯一解：,这样我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一)。,问题,2,设方程组,确定函数,求,利用问题 1 的结论，你可能已经知道应该怎么做了。,依葫芦画瓢哦！,将,x,或,y,看成常数,自己动手做！,当,时，,将,y,看成常数,公式,当,时,将,x,看成常数,公式,设,确定函数,求,解,令,则,例,同理可得,问题 1 和问题 2 的方法可以推广到更一般的情形。,定理,(,隐函数存在定理,),设,1.,2.,3.,其中，,方程组,则,在,内唯一确定一组函数,且,