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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,24,讲直角三角形,内容索引,基础诊断,梳理自测,理解记忆,考点突破,分类讲练,以例求法,易错防范,辨析错因,提升考能,基础诊断,返回,知识梳理,1,1.,直角三角形,有一个角是直角的三角形是直角三角形,.,2.,直角三角形的性质,(1),直角三角形的两个锐角,；,(2),直角三角形中,30,的锐角所对的直角边等于斜边的,；,(3),直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的,；,互余,一半,一半,(4),勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的,.,平方,3.,直角三角形的判定,(1),有一个角是直角的三角形是直角三角形；,(2),有两个内角互余的三角形是直角三角形；,(3),一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；,(4),如果三角形的三边长,a,、,b,、,c,(,假设,c,是最大边,),满足,a,2,b,2,c,2,那么这个三角形是直角三角形,C,90.,这就是勾股定理的逆定理,.,4.,直角三角形的解答,在利用勾股定理时,一定要看清题中所给的条件是不是直角三角形,所给的边是直角边还是斜边,如果题目无法确定是直角边还是斜边,则需要分类讨论,.,勾股定理的逆定理是把数转化为形,通过计算判定一个三角形是否为直角三角形,.,实际问题中可以根据实际情况转化为直角三角形去解,图中无直角时,可通过添加辅助线来构造直角三角形,.,1.(2015,毕节,),下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能组成直角三角形的是,(,),诊断自测,2,1,2,3,4,5,B,2.,如图,Rt,ABC,中,AB,9,BC,6,B,90,将,ABC,折叠,使,A,点与,BC,的中点,D,重合,折痕为,MN,则线段,BN,的长为,(,),1,2,3,4,解析,设,BN,x,由折叠的性质可得,DN,AN,9,x,D,是,BC,的中点,BD,3.,在,Rt,BDN,中,由勾股定理得,x,2,3,2,(9,x,),2,解得：,x,4,即线段,BN,的长为,4.,C,5,3.(2015,北京,),如图,公路,AC,BC,互相垂直,公路,AB,的中点,M,与点,C,被湖隔开,若测得,AM,的长为,1.2km,则,M,C,两点间的距离为,(,),1,2,3,4,D,A.0.5km B.0.6km,C.0.9km D.1.2km,5,1,2,3,4,4.,如图,ABC,中,C,90,AC,3,B,30,点,P,是,BC,边上的动点,则,AP,长不可能是,(,),D,A.3.5 B.4.2,C.5.8 D.7,解析,在,Rt,ABC,中,AC,3,B,30,AB,2,AC,6,AC,AP,AB,即,3,AP,6,AP,长不可能是,7.,5,1,2,3,4,5,5.(2016,荆州,),如图,在,Rt,ABC,中,C,90,CAB,的平分线交,BC,于,D,DE,是,AB,的垂直平分线,垂足为,E,.,若,BC,3,则,DE,的长为,(,),A,A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,返回,解析,DE,垂直平分,AB,DA,DB,B,DAB,AD,平分,CAB,CAD,DAB,C,90,3,CAD,90,CAD,30,AD,平分,CAB,DE,AB,CD,AC,BC,3,CD,DE,1.,5,考点突破,返回,例,1,(2016,菏泽,),如图,ACB,和,DCE,均为等腰三角形,点,A,D,E,在同一直线上,连接,BE,.,(1),如图,1,若,CAB,CBA,CDE,CED,50.,求证：,AD,BE,；,考点一,直角三角形的性质与判定,参考答案,解,证明：,CAB,CBA,CDE,CED,50,ACB,DCE,180,2,50,80.,ACB,ACD,DCB,DCE,DCB,BCE,ACD,BCE,.,ACB,和,DCE,均为等腰三角形,AC,BC,DC,EC,.,在,ACD,和,BCE,中,ACD,BCE,(,SAS,),AD,BE,.,求,AEB,的度数,.,参考答案,解,ACD,BCE,ADC,BEC,.,点,A,D,E,在同一直线上,且,CDE,50,ADC,180,CDE,130,BEC,130.,BEC,CED,AEB,且,CED,50,AEB,BEC,CED,130,50,80.,参考答案,规律方法,参考答案,规律方法,证明,：,ACB,和,DCE,均为等腰三角形,且,ACB,DCE,120,CM,DE,CMD,90,DM,EM,.,在,Rt,CMD,中,CMD,90,CDM,30,BEC,ADC,180,30,150,AEB,BEC,CEM,150,30,120,BEN,180,120,60.,在,Rt,BNE,中,BNE,90,BEN,60,参考答案,规律方法,AD,BE,AE,AD,DE,本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算,解题的关键是：,通过角的计算结合等腰三角形的性质证出,ACD,BCE,；,找出线段,AD,、,DE,的长,.,本题属于中档题,难度不大,但稍显繁琐,解决该题型题目时,利用角的计算找出相等的角,再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角,最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全等是关键,.,规律方法,练习,1,参考答案,(2016,宁夏,),在等边,ABC,中,点,D,E,分别在边,BC,、,AC,上,若,CD,2,过点,D,作,DE,AB,过点,E,作,EF,DE,交,BC,的延长线于点,F,求,EF,的长,.,解,ABC,是等边三角形,B,ACB,60,DE,AB,EDC,B,ACB,60,EDC,是等边三角形,DE,DC,2,EF,DE,DEF,90,F,30,DF,2,DE,2,2,4,勾股定理,考点二,例,2,(2016,金华,),如图,Rt,ABC,纸片中,C,90,AC,6,BC,8,点,D,在,BC,边上,以,AD,为折痕,ABD,折叠得到,AB,D,AB,与边,BC,交于点,E,.,若,DEB,为直角三角形,则,BD,的长是,.,参考答案,分析,规律方法,2,或,5,分析,Rt,ABC,纸片中,C,90,AC,6,BC,8,AB,10,以,AD,为折痕,ABD,折叠得到,AB,D,BD,DB,AB,AB,10.,如答图,1,所示,当,B,DE,90,时,过点,B,作,B,F,AC,垂足为,F,.,规律方法,答图,1,分析,设,BD,DB,x,则,AF,6,x,FB,8,x,.,在,Rt,AFB,中,由勾股定理得：,AB,2,AF,2,FB,2,即,(6,x,),2,(8,x,),2,10,2,解得：,x,1,2,x,2,0(,舍去,),BD,2.,如答图,2,所示,当,B,ED,90,时,点,C,与点,E,重合,.,答图,2,规律方法,分析,规律方法,AB,10,AC,6,B,E,4.,设,BD,DB,x,则,CD,8,x,.,在,Rt,B,DE,中,DB,2,DE,2,B,E,2,即,x,2,(8,x,),2,4,2,解得：,x,5,BD,5.,综上所述,BD,的长为,2,或,5.,本题主要考查翻折的性质、勾股定理的应用,根据勾股定理列出关于,x,的方程是解题的关键,.,规律方法,(2015,株洲,),如图是,“,赵爽弦图,”,ABH,、,BCG,、,CDF,和,DAE,是四个全等的直角三角形,四边形,ABCD,和,EFGH,都是正方形,.,如果,AB,10,EF,2,那么,AH,等于,.,练习,2,6,参考答案,分析,分析,AB,10,EF,2,大正方形的面积是,100,小正方形的面积是,4,四个直角三角形面积和为,100,4,96,分析,2,ab,96,a,2,b,2,100,(,a,b,),2,a,2,b,2,2,ab,100,96,196,a,b,14,a,b,2,a,8,b,6,即,AE,8,DE,6,AH,8,2,6.,考点三,勾股定理的逆定理,参考答案,规律方法,证明,连接,DF,设正方形的边长为,4,a,则,AE,BE,2,a,BF,a,则,CF,3,a,.,在,Rt,ADE,中,DE,2,AD,2,AE,2,16,a,2,4,a,2,20,a,2,在,Rt,BEF,中,EF,2,BE,2,BF,2,4,a,2,a,2,5,a,2,在,Rt,DCF,中,DF,2,DC,2,CF,2,16,a,2,9,a,2,25,a,2,DE,2,EF,2,DF,2,DEF,是直角三角形,且,DEF,90,即,DE,EF,.,规律方法,在解题时要重视勾股定理及逆定理结构的分析,正确理解和应用定理,适时提高理解能力,灵活处理定理应用的条件,理解题意,找到合适的条件建立勾股定理及逆定理的应用模型,.,本题证明线段,DE,与,EF,垂直,可以证明,DEF,是直角三角形,自然联想到勾股定理逆定理,.,规律方法,练习,3,参考答案,已知,四边形,ABCD,中,B,90,AB,3,BC,4,CD,12,AD,13,求四边形,ABCD,的面积,.,解,连接,AC,在,Rt,ABC,中,在,ACD,中,AC,2,CD,2,5,2,12,2,169,AD,2,13,2,169,AC,2,CD,2,AD,2,ACD,是直角三角形,ACD,90,返回,易错防范,返回,易错警示系列,24,三角形的高线可能在三角形外,试题,在,ABC,中,高,AD,和高,BE,相交于,H,且,BH,AC,求,ABC,的度数,.,错误参考答案展示,解：如图,1,在,Rt,BHD,和,Rt,ACD,中,C,CAD,90,C,HBD,90,HBD,CAD,.,又,BH,AC,BHD,ACD,BD,AD,.,ADB,90,ABC,45.,图,1,正确解答,分析与反思,分析,分析,在解答几何问题时,如果没有给出具体的图形,都应该先考虑是否有多种情况,.,本题错解的主要原因就是忽视了这里的,ABC,有两种情况,一种情况,ABC,是锐角,另一种情况,ABC,是钝角,应该进行分类讨论,.,正确解答,解：这里的,ABC,有两种情况,ABC,是锐角,(,图,1),或,ABC,是钝角,(,图,2).,如图,2,在,Rt,BHD,和,Rt,ACD,中,易得,DCA,DHB,.,又,AC,BH,DHB,DCA,AD,DB,DBA,45,ABC,135.,综上所述,ABC,45,或,135.,图,2,分析与反思,同学们都知道,三角形的高有可能在形外,但在实际解题中,常因忽略这一点而造成错误,.,为什么常常会忽略三角形的高可能在形外呢？一个主要原因就是同学们头脑中已形成思维定势,一画三角形就不由自主地画成锐角三角形,从而造成漏解的失误,.,返回,
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