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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学习目标,1.探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，体会转化思想重点,2.能会综合运用平方差公式和完全平方公式对多项式进行因式分解难点,导入新课,a,米,b,米,b,米,a,米,(,a,-,b,),情境引入,如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余局部拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？,a,2,-,b,2,=,(,a+b,)(,a,-,b,),讲授新课,用平方差公式进行因式分解,一,想一想：,多项式,a,2,-,b,2,有什么特点？你能将它分解因式吗？,是,a,b,两数的平方差的形式,),)(,(,b,a,b,a,-,+,=,2,2,b,a,-,),)(,(,2,2,b,a,b,a,b,a,-,+,=,-,整式乘法,因式分解,两个数的,平方差,，等于这两个数的,和,与这两个数的,差,的,乘积,.,平方差公式：,辨一辨：以下多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？,符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成,:,( ),2,-( ),2,的形式,.,两数是平方，,减号在中央,1x2+y2,2x2-y2,3-x2-y2,-(,x,2,+,y,2,),y,2,-,x,2,4-x2+y2,5x2-25y2,(,x,+5,y,)(,x,-5,y,),6m2-1,(,m,+1)(,m,-1),例,1,分解因式：,a,a,b,b,(,+,),(,-,),a,2,-,b,2,=,解,:(1),原式,=,2,x,3,2,x,2,x,3,3,(2),原式,整体思想,a,b,典例精析,方法总结：,公式中的,a,、,b,无论表示,数、单项式、,还是,多项式,，只要被分解的多项式能,转化,成,平方差,的形式，就能用平方差公式因式分解,.,分解因式：,(1)(,a,b,),2,4,a,2,；,(2)9(,m,n,),2,(,m,n,),2,.,针对训练,(2,m,4,n,)(4,m,2,n,),解：,(1),原式,(,a,b,2,a,)(,a,b,2,a,),(,b,a,)(3,a,b,),；,(2),原式,(3,m,3,n,m,n,)(3,m,3,n,m,n,),4(,m,2,n,)(2,m,n,),若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解,.,当场编题，考考你！,),)(,(,2,2,b,a,b,a,b,a,-,+,=,-,20,15,2,20,14,2,=,（,2mn,）,2,-,( 3xy),2,=,(,x,+,z,),2,-,(,y,+,p,),2,=,例2 x2y22，xy1，求x-y，x，y的值,x,y,2.,解：,x,2,y,2,(,x,y,)(,x,y,),2,，,x,y,1,，,联立,组成二元一次方程组，,解得,方法总结：,在与,x,2,y,2,，,x,y,有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后,整体代入,或,联立方程组,求值,.,例3 计算以下各题：,(1)1012992； (2)53.524-46.524.,解：,(1),原式,(101,99)(101,99),400,；,(2),原式,4,(53.5,2,46.5,2,),=4(,53.5,46.5,)(,53.5,46.5,),4,100,7=2800.,方法总结：,较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化,.,例,4,求证：当,n,为整数时，多项式,(,2,n,+1,),2,-,(,2,n,-1,),2,一定能被8整除,即多项式,(,2,n,+1,),2,-,(,2,n,-1,),2,一定能被8整除,证明：原式=,(,2,n,+1+2,n,-1,)(,2,n,+1-2,n,+1,),=4,n,2=8,n,，,n,为整数，,8,n,被8整除，,方法总结：解决整除的根本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除,用完全平方公式分解因式,二,你能把下面,4,个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？,同学们拼出图形为：,a,a,b,b,a,b,a,b,ab,a,b,ab,这个大正方形的面积可以怎么求？,a,2,+2,ab,+,b,2,（,a,+,b,）,2,=,a,b,a,b,a,ab,ab,b,a+b2,a,2,+2,ab,+,b,2,=,将上面的等式倒过来看，能得到：,a,2,+,2,ab+b,2,a,2,2,ab+b,2,我们把,a+,2,ab+b,和,a-,2,ab+b,这样的式子叫作,完全平方式,.,观察这两个式子：,1每个多项式有几项？,3中间项和第一项，第三项有什么关系？,2每个多项式的第一项和第三项有什么特征？,三项,这两项都是数或式的平方，并且符号相同,是第一项和第三项底数的积的,2,倍,完全平方式的特点：,1.必须是三项式或可以看成三项的；,2.有两个同号的数或式的平方；,3.中间有两底数之积的2倍.,完全平方式,:,简记口诀：,首平方，尾平方，首尾两倍在中央,.,凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解,.,2,a,b,+,b,2,=,(,a,b,),a,2,首,2,+,尾,2,2,首尾,(,首,尾,),2,两个数的平方和加上,(,或减去,),这两个数的积的,2,倍，等于这两个数的和,(,或差,),的平方,.,3.,a,+4,ab,+4,b,=( )+2 ( ) ( )+( )=( ),2.,m,-6,m,+9=(,) - 2 ( ) (,)+( ) =( ),1.,x,+4,x,+4= ( ) +2( )( )+( ) =( ),x,2,x,+ 2,a,a,2,b,a,+ 2,b,2,b,对照,a,2ab,+,b,=(,a,b,),，填空：,m,m,- 3,3,x,2,m,3,以下各式是不是完全平方式？,1a24a+4; 21+4a,;,34b2+4b-1; 4a2+ab+b2;,5x2+x+0.25.,是,2因为它只有两项；,不是,34b与-1的符号不统一；,不是,分析：,不是,是,4因为ab不是a与b的积的2倍.,例,5,如果,x,2,-6,x,+,N,是一个完全平方式,那么,N,是,( ),A . 11 B. 9 C. -11 D. -9,B,解析：根据完全平方式的特征，中间项,-6,x,=2,x,(-3),故可知,N,=(-3),2,=9.,变式训练,如果,x,2,-,mx,+16,是一个完全平方式,那么,m,的值为,_.,解析：,16=,(,4,),2,，故,-,m,=2,(,4,),，,m,=,8.,8,典例精析,方法总结：此题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，防止漏解,例6 分解因式：,116x2+24x+9； 2-x2+4xy-4y2.,分析,：,(1),中，,16,x,2,=(4,x,),2,9=3,24,x,=24,x,3,所以,16,x,2,+24,x,+9,是一个完全平方式，即,16,x,2,+ 24,x,+9= (4,x,),2,+ 24,x,3 + (3),2,.,2,a,b,+,b,2,a,2,(2)中首项有负号，一般先利用添括号法那么，将其变形为-(x2-4xy,+4y2),然后再利用公式分解因式.,解：,(1),16,x,2,+ 24,x,+9,= (4,x,+ 3),2,；,= (4,x,),2,+ 24,x,3 + (3),2,(2),-,x,2,+ 4,xy,-,4,y,2,=,-,(,x,2,-,4,x,y+4,y,2,),=,-,(,x,-,2,y,),2,.,例7 把以下完全平方公式分解因式：,(1)10022,100,99+99,；,(2)34234,32162.,解：(1)原式=10099),(2),原式,(34,16),2,本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，,=1.,2500.,例8 x24xy210y290，求x2y22xy1的值,11,2,121.,解：,x,2,4,x,y,2,10,y,29,0,，,(,x,2),2,(,y,5),2,0.,(,x,2),2,0,，,(,y,5),2,0,，,x,2,0,，,y,5,0,，,x,2,，,y,5,，,x,2,y,2,2,xy,1,(,xy,1),2,几个非负数的和为,0,，则这几个非负数都为,0.,方法总结：,此类问题一般情况是,通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题,1.以下多项式中能用平方差公式分解因式的是(),Aa2(b)2 B5m220mn,Cx2y2 Dx29,当堂练习,D,2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是,A3(x2+4x+3) B3(x2+2x+3),C(3x+3)(x+3) D3(x+1)(x+3),D,3.假设a+b=3，a-b=7，那么b2-a2的值为,A,-21,B,21 C,-10 D,10,A,4.把以下各式分解因式：,(1) 16a2-9b2=_;,(2) (a+b)2-(a-b)2=_;,(3) -a4+16=_.,(4,a,+3,b,)(4,a,-3,b,),4,ab,(4+,a,2,)(2+,a,)(2-,a,),5.假设将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，那么n的值是_.,4,6.把以下多项式因式分解.,1x212x+36; 24(2a+b)2-4(2a+b)+1;,(3) y2+2y+1x2;,(,2,),原式,=,2,(2,a,+b),22,(2,a,+b),1+,(,1,),=,(4,a,+2b,1,),2,;,解：,(1),原式,=,x,2,2,x,6+,(,6,),2,=,(,x,6,),2,;,(,3,),原式,=,(,y,+1,),x,=,(,y,+1+,x,)(,y,+1,x,),.,7.4m+n=40，2m-3n=5求(m+2n)2-(3m-n)2的值,原式=,-,405=,-,200,解：原式=,(,m,+2,n,+3,m,-,n,)(,m,+2,n,-,3m+,n,),=,(,4,m,+n,)(,3,n,-,2,m,),=-(4m+n)2m-3n)，,当4,m,+,n,=40，2,m,-,3,n,=5时，,1.会确定几个分式的最简公分母；重点,2.会根据分式的根本性质把分式进行通分.,重点、难点,学习目标,1.分式的根本性质：,一个分式的分子与分母同乘或除以一个,_,分式的值_.,不变,不为,0,的整式,2.什么叫约分？,把一个分式的分子和分母的,公因式,约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的,约分,.,导入新课,回忆与思考,分式的通分,一,问题,1,：,通分：,最小公倍数：,24,把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的,通分,.,通分的关键是确定几个分母的,最小公倍数,讲授新课,想一想：,联想分数的通分，由问题,1,你能想出如何对分式进行通分？,（,b,0）,问题,2,：,填空,知识要点,分式的通分的定义,与分数的通分类似，根据分式的基本性质，使分子、分母同乘,适当的整式（即最简公分母），化异分母,分式为,同分母,分式的过程叫,分式的通分,.,如分式 与 分母分别是,ab,a,2,通分后分母都变成了,a,2,b,.,例1,找出下面各组分式最简公分母：,最小公倍数,最简公分母,最高次幂,单独字母,典例精析,不同的因式,提醒：,最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有分母和式子的最高次幂,.,找最简公分母,:,x(x-5)x+5,(,x,+,y,),2,(,x,-,y,),练一练,解：,最简公分母是,例,3,通分,:,解：,最简公分母是,确定几个分式的最简公分母的方法：,1因式分解,2系数：各分式分母系数的最小公倍数；,3字母：各分母的所有字母的最高次幂,4多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂,5积,方法归纳,解：,最简公分母是,例,4,通分,:,解：,最简公分母是,【方法总结】,确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；,在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商,想一想：,分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？,找分子与分母的,最大公约数,找分子与分母的公因式,找所有分母的,最小公倍数,找所有分母的,最简公分母,分数或分式的根本性质,的最简公分母是 ,3. 三个分式 的最简公分母是,.,2.,分式,的最简公分母是,_.,C,1.,三个分式,B.,C.,D.,A.,4,xy,3,y,2,12,xy,2,12,x,2,y,2,2,x,(,x,-1)(,x,+1),x,(,x,-1)(,x,+1),当堂练习,4,.,通分,解：1最简公分母是4b2d,2最简公分母是x+y)2(x-y),
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