多元函数微分法及其应用第五节方向导数与梯度

第五节 方向导数与梯度,-,*,-,第八章 多元函数微分法及其应用,第五节,方向导数与梯度,一 方向导数,二 梯度,1,实例,：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的,实质,：应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行,1,问题的提出,一 方向导数,2,讨论函数 在一点,P,沿某一方向的变化率问题,2,方向导数的定义,3,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,4,记为,5,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,故有方向导数,6,解,如果记,为,到,方向的转角,则方向导数的计算,公式为,7,解,方向的逆时针转角，,故,例2 求函数,在点（1，1）处,沿任何一方向,l,的方向导数，并问在怎样的方向上此方,向导 数有（1）最大值；（2）最小值（3）等于零？,设,为,轴到,则,8,推广可得三元函数方向导数的定义,9,解,令,故,方向余弦为,10,故,11,例4 设函数,求函数在点,M,(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向,的方向导数,解 曲线,在点,M,(1,1,1)处切线的方向,向量为,l,的方向余弦为,12,二 梯度,1,场的概念,定义,如果对区域,中的每一点，,对应着物理量,的一个确定的值，,则称在区域,确定了该物理量的一,个,场,，,当对应的物理量为数量时，则称为,数量场,，,当对,应的物理量为向量时，则称为,向量场,。,上的数量场,区域,上的数量函数,上的向量场,区域,上的向量函数,在空间直角坐标系下，,数量函数可以表示为,向量函数可以表示为,13,由方向导数公式,令向量,方向导数取最大值：,2,梯度的概念,设数量场,一阶偏导数连续，,方向的,方向余弦为,14,这说明,方向：,f,变化率最大的方向,模:,f,的最大变化率之值,定义,如果在数量场,中一点,处，,存在,这样一个向量,其方向为数量场,在点,处变,化率最大的方向，,其模恰为这个最大变化率的数值，,则,称向量,为数量场,在点,处的,梯度,(gradient),记作,或,当,且,一阶偏导数连续时,15,当,且,一阶偏导数连续时,说明,:,函数沿,方向的,方向导数,为梯度在该方向上,的投影.,引入哈密尔顿微分算子,则梯度可以表示为,16,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),指向函数增大的方向.,另一方面，函数,在点,P,处沿梯度方向,的方向导数是最大的，,从而沿梯度方向函数值是增加,的，,所以,3,梯度的几何意义,函数,过点,当各偏导数不同时为,零时,其上,点,P,处的法向量为,有等值(量)面,17,解,由梯度计算公式得,故,18,例6 求数量场,在点,处,沿曲面,的内法向的方向导数。,分析：,曲面,在点,处的等值面，,为函数,其内法向,u,的函数值增大的,方向，,根据梯度的几何意义：,数量场,u,为在点,M,处的梯,度为函数,u,过点,M,的等值面的法向，,且指向,u,函数值增,加一方，,因此,在点,处的内法向,为数量场,u,在点,处梯度的方向，,再由梯度的定义,数量场,u,沿梯度方向的方向导数最大，,最大的方向导数,为梯度的模。,19,例6 求数量场,在点,处,沿曲面,的内法向的方向导数。,解,20,例7,证:,试证,处矢径,r,的模,21,4,梯度的基本运算公式,22,