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,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2017/2/15,#,单击此处编辑母版标题样式,1.1,直角三角形的性质和判定,（,）,复习,引入,合作,探究,课堂,小结,随堂,训练,第,1,课时 直角三角形的性质和判定,第,1,章,直角三角形,八,年级数学,下（,湘教,版）,XJ,全册精品教学课件,1.1 直角三角形的性质和判定（）复习合作课堂随堂第1课时,1,三角形顶点与对边中点的连线段,1.直角三角形的定义,2.三角形内角和的性质,有一个是直角的三角形叫直角三角形,三角形内角和等于180,3.三角形中线的定义,这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质,复习引入,三角形顶点与对边中点的连线段1.直角三角形的定义2.三角形内,2,如图1-1，在Rt,ABC,中，,C,=90,，,两锐角的和等于多少呢？,图,1-1,在Rt,ABC,中，因为,C,=90,，,由三角形内角和定理,，,可得,A,+,B,=90,.,合作探究,如图1-1，在RtABC中， C=90,3,结论,直角三角形的两个锐角互余,.,由此得到：,结论直角三角形的两个锐角互余.由此得到：,4,议一议,议一议,议一议,议一议,议一议,议一议,有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？,如图1-2，在,ABC,中，,A,+,B,=90,， 那么,ABC,是直角三角形吗？,在,ABC,中，因为,A,+,B,+,C,=180,，,又,A,+,B,=90,，,所以,C,=90,. 于是,ABC,是直角三角形.,图,1-2,议一议议一议议一议议一议议一议议一议有两个锐角互余的三角形是,5,结论,有两个角互余的三角形是直角三角形,.,由此得到：,结论有两个角互余的三角形是直角三角形.由此得到：,6,如图1-3，画一个Rt,ABC,， 并作出斜边,AB,上的中线,CD,，比较线段,CD,与线段,AB,之间的数量关系，你能得出什么结论？,图,1-3,如图1-3，画一个RtABC， 并作出斜边,7,我测量后发现,CD = AB,.,线段,CD,比线段,AB,短,.,图,1-3,我测量后发现CD = AB.线段CD 比线段AB短.图,8,是否对于任意一个Rt,ABC,，都有,CD =,成立呢？,图,1-4,如图1-3， 如果中线,CD = AB,，则有,DC,A,=,A,.,由此受到启发,，,在图1-4,的Rt,ABC,中，过直角顶点,C,作射线,交,AB,于 ，使 ，,=,A,则,.,图,1-3,是否对于任意一个RtABC，都有 CD =,9,A,+,B,=90,，,又,，,故得,点 是斜边上的中点，即 是斜边 的中线,.,从而,CD,与 重合，且,图,1-4,A +B=90 ，又，故得 点 是斜边上,10,结论,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,.,由此得到：,结论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.由此得到：,11,举,例,例,1,已知：如图,1-5,，,CD,是,ABC,的,AB,边上的中,线，且,.,求证：,ABC,是直角三角形,.,图,1-5,举例1 已知：如图1-5，CD是ABC的AB边上的中图,12,证明：,因为 ，,所以,1=,A,，,(,等边对等角,),2=,B,.,图,1-5,根据三角形内角和性质，有,A,+,B,+,ACB,=180,，,即得,A+,B,+,1+,2=180,，,2,(,A,+,B,),=180,.,所以,A+,B,=90,.,根据直角三角形判定定理，所以,ABC,是直角三角形.,证明：因为,13,1.在Rt,ABC,中，斜边上的中线,CD,=2.5cm ，则斜边,AB,的长是多少？,解,AB,=2,CD,=22.5=5(cm).,随堂训练,1.在RtABC中，斜边上的中线CD=2.5cm,14,2.,如图，,AB,CD,，,BAC,和,ACD,的平分线相交于,H,点，,E,为,AC,的中点，,EH,=2.,那么,AHC,是直角三角形吗？为什么？若是，求出,AC,的长,.,解,因为,AB,CD,，所以,BAC,+,DCA=,180,.,又 ， ，,所以,所以,AHC,是直角三角形.,在Rt,AHC,中，,EH,为斜边上的中线，,所以有 ，,由,EH,=2易知,AC,=4.,2.如图，ABCD，BAC和ACD的平分线相交于H点,15,3.,如图所示，在锐角三角形,ABC,中，,CD,，,BE,分别是,AB,，,AC,边上的高，且,CD,，,BE,交于一点P，若,A,=50,，则,BPC,的度数是,（,）,.,A,.,150,B.130,C.120,D.100,因为,BE,，,CD,是,ABC,的高，,所以,BDP,=90,，,BEA,=90,.,又,A,=50,，,所以,ABE,=90,-,A,=90,-,50,= 40,.,所以,BPC,=,ABE,+,BDP,= 90,+ 40,= 130,.,故应选择,B,.,解,B,3.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是,16,A,B,C,D,O,4,.如图，,AB,DB,CD,DB,下列说法错误的是（ ）,A.一定有,A=,C,B.只要有一边相等就有,ABO,CDO,C.只要再给一个条件就能得到,ABO,CDO,D.有,OA,=,OC,或,OB,=,OD,就有,AB,=,CD,C,ABCDO4.如图，ABDB,CDDB,下列说法错误的是,17,A,B,C,D,5,.如图，,AB,=,AC,AD,BC,.求证：,BD,=,CD,.,ABCD5.如图，AB=AC,ADBC.求证：BD=CD.,18,1.直角三角形的判定定理和性质定理；,2.应用定理进行推理论证解决有关问题.,课堂小结,1.直角三角形的判定定理和性质定理；课堂小结,19,课后作业,见本课“课后巩固提升”,课后作业 见本课“课后巩固提升”,20,1.1,直角三角形的性质和判定,（,）,第2课时 含,30,锐角的直角三角形的,性质及其应用,复习,引入,合作,探究,课堂,小结,随堂,训练,八,年级数学,下（,湘教,版）,XJ,全册精品教学课件,1.1 直角三角形的性质和判定（）第2课时 含30锐角的,21,复习引入,1,、直角三角形的两个锐角（ ）,.,2,、直角三角形斜边上的中线等于斜边的 （ ）,.,3,、有两个角（ ）的三角形是直角三角形,.,一半,互余,互余,复习引入1、直角三角形的两个锐角（ ）.一半互余互余,22,用刻度尺测量含,30,角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系,.,结论：短直角边,=,斜边,合作探究,用刻度尺测量含30角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们,23,在,Rt ABC,中，,BCA=90,如果,A=30,，那么,BC,与斜边,AB,有什么关系呢？,分析：,1.,辅助线的常用作法有 ：,30 ,B,C,A,作平行线、,中线,、垂线、角平分线、延长线， 作相等的角等等。,2,、你打算怎样作辅助线？,在Rt ABC中，BCA=90,如果A=30,24,解法：,1.,取线段,AB,的中点,D,，连接,CD,，即,CD,为,RtABC,斜边,AB,上的中线，则可得到哪些相等的线段？,30,B,C,A,D,2.,由,A=30,可知,B,等于多少度？,3. CBD,是什么三角形,?,CD=BD=AD,B=60,等边三角形,现在你能说出直角边,BC,与斜边,AB,的关系，并写出推理过程吗？,解法：1.取线段AB的中点D，连接CD，即CD为RtABC,25,在直角三角形中，如果一个锐角等于,30,，,那么它所对的直角边等于斜边的一半。,性质定理：,问题：试着把上述性质的条件与结论调换，仍然成立吗？,30,B,C,A,D,小结归纳,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的,26,如图，在,Rt,ABC,中，如果,BC= AB,，那么,A,等于多少？,B,C,A,D,如图，取线段,AB,的中点,D,，连接,CD,CD,是,RT,ABC,斜边,AB,上的中线,CD= AB=BD,BCA=90,，且,A=30,，,B=60,CBD,是等边三角形，,BC=BD= AB,如图，在RtABC中，如果BC= AB，那么A等于,27,在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于,30.,归纳小结,在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这,28,提问：,A,岛可以看成一个点，轮船航行的路线可以看成一条线,.,点到线的距离，什么最短？,例：在,A,岛周围,20,海里（,1,海里,=1852m,）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到,O,处时，发现,A,岛在北偏东,60,的方向，且与轮船相距 海里，如图所示,.,该船如果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？,举,例,提问：A岛可以看成一个点，轮船航行的路线可以看成一条线.点到,29,O,B,D,A,北,东,60,OBDA北东60,30,解：由题意得，,AOD=30,，在,Rt,AOD,中，,AO=,海里，,AD= AO=,海里,20,海里，,该船如果保持航行不变，无触暗礁的危险,.,解：由题意得，AOD=30，在RtAOD中，,31,A,C,B,1.Rt,ABC,中，,C,=90，,B,=2,A,，,B,和,A,各是多少度？边,AB,与,BC,之间有什么关系？,随堂训练,ACB 1.RtABC中，C=90，B=2A，B和,32,2.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植.如果,C,=90， ,B,=30，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来.,B,A,C,2.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农,33,1.直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；,2.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.,课堂小结,1.直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角,34,课后作业,见本课“课后巩固提升”,课后作业 见本课“课后巩固提升”,35,1.2,直角三角形的性质和判定（）,第,1,课时 勾股定理,情景,引入,合作,探究,课堂,小结,随堂,训练,八,年级数学,下（,湘教,版）,XJ,全册精品教学课件,1.2 直角三角形的性质和判定（）情景合作课堂随堂八年级数,36,1,、回顾直角三角形的有关定义,.,2,、我们曾经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？,单项式乘多项式：,a(b+c+d) =_,多项式乘多项式：,(a+b) (c+d)=_,ab+ac+ad,ac+ad+bc+bd,情景引入,1、回顾直角三角形的有关定义.多项式乘多项式：(a+b) (,37,平方差公式：,(a+b)(a-b,)=_,完全平方公式,=_,a,2,-b,2,a,2,+2ab+b,2,平方差公式：(a+b)(a-b)=_,38,1、如图，邮票图案的三个正方形小方格中间是一个直角三角形，如果,1,个小方格为,1,个单位面积，那么直角三角形的两直角边长分别是,_,和,_,，斜边长是,_,；,2.,三个正方形的面积分别是,_,、,_,和,_.,4,3,5,16,9,25,合作探究,1、如图，邮票图案的三个正方形小方格中间是一个直角三角形，如,39,3,、把上题三个正方形的面积关系，转化为直角三角形三边的关系，则得到什么结论？,结论：直角三角形两直角边的,_,等于,_,.,命题,1,（勾股定理）,如果直角三角形的两条直角边长分别为,a,，,b,，斜边长为,c,，那么,_,.,平方的和,斜边的平方,a,2,+b,2,=c,2,3、把上题三个正方形的面积关系，转化为直角三角形三边的关系，,40,设直角三角形的两条直角边长分别为,a,和,b,，斜边长为,c.,（,1,）已知,a=6,，,c=10,，求,b,；,（,2,）已知,a=5,，,b=12,，求,c,；,（,3,）已知,c=25,，,b=15,，求,a.,解：由勾股定理得,6,2,+b,2,=10,2,b=8,解：由勾股定理得,5,2,+12,2,=10,2,c=13,解：由勾股定理得,a,2,+15,2,=25,2,a=20,a,c,b,设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.解：由勾,41,1,、赵爽弦图利用了,_,关系进行勾股定理的证明,.,2,、剪,4,个全等的直角三角形，拼成如图图形，其中直角三角形的两直角边分别是,a,、,b,，则中间的小正方形的边长为,_,，利用面积证明勾股定理,.,S,大正方形,4S,直角三角形,+S,小正方形,4,_+,（,_,）,2,_,_,又,S,大正方形,C,2,_,2,+_,2,=_,2,面积,b-a,b-a,2ab+b,2,-2ab+a,2,a,2,+b,2,a,b,c,1、赵爽弦图利用了_关系进行勾股定理的证明.面积,42,如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形,.,已知正方形,A,、,B,、,C,、,D,的边长分别是,12,16,9,12,，求最大正方形,E,的面积,.,A,B,C,D,E,F,G,K,H,解：如图所示,正方形,A,、,B,、,C,、,D,的边长分别是,12,16,9,12,设直角三角形的斜边长为,c ,由勾股定理知,12,2,+16,2,=c,2,，,c=20,，即正方形,F,边长为,20,，同理可得，正方形,G,的边长为,15,，故直角三角形的两直角边分别为,20,，,15,，设它的斜边长为,k,，由勾股定理知,20,2,+15,2,=k,2,k=25,正方形,E,的边长为,25,，,S,正方形,E,=2525=625,例题,如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知,43,1、在直角三角形中，两直角边的长分别为,33,，,44,，求斜边的长.,2、在直角三角形中，两边的长为,5,，,4,，求第三边的平方.,解:设斜边长为,x,由勾股定理得,x, = 33 + 44 = 55 ,所以,x,= 55,解：1.如果5为斜边，设第三边为,x,5, =,x, + 4 ,所以,x,= 9,2.如果5为直角边，设第三边为,x,x, = 5 + 4 ,所以,x,= 41,随堂训练,1、在直角三角形中，两直角边的长分别为33，44，求斜边的长,44,3、如图，,ABC,中，,C,=90,，,CD,AB,于,D,，,AC,=12,，,BC,=9,， 求：,CD,的长.,B,A,C,D,解：在三角形,ABC,中,AC,= 12 ，,BC,= 9,由勾股定理得：,AB, = 12 + 9 ,所以,AB,= 25,由三角形,ABC,的面积 =,AC,*,BC,/2 =,AB,*,CD,/2,即 ：12 * 9 = 25 *,CD,所以,CD,= 4.32,3、如图，ABC中，C=90，CDAB 于D，BAC,45,1.勾股定理；,2.至少了解一种勾股定理的验证方法；除了掌握勾股定理外，还应初步学会构造直角三角形，以便应用勾股定理.,课堂小结,1.勾股定理；课堂小结,46,课后作业,见本课“课后巩固提升”,课后作业 见本课“课后巩固提升”,47,第,2,课时 勾股定理的实际应用,复习,引入,合作,探究,课堂,小结,随堂,训练,1.2,直角三角形的性质和判定（）,八,年级数学,下（,湘教,版）,XJ,全册精品教学课件,第2课时 勾股定理的实际应用复习合作课堂随堂1.2 直角三角,48,勾股定理：,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,a,b,c,A,B,C,如果在,Rt,ABC,中，,C,=90,那么,下面，我们用面积计算来证明这个定理。,复习引入,勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方abcA,49,请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。,a,b,c,用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边,c,为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。,请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。,50,A,C,O,B,D,一个,3m,长的梯子,AB,斜靠在一竖直的墙,AO,上,这时,AO,的距离为,2.5m,如果梯子的顶端,A,沿墙下滑,0.5m,那么梯子底端,B,也外移,0.5m,吗,?,D,合作探究,ACOBD一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时,51,邮递员从车站,O,正东,1km,的邮局,A,出发，先向正北走了,3km,到,B,，又向正西走了,4km,到,C,，最后再向正南走了,6km,到,D,，那么最终该邮递员与邮局的距离为多少,km,？,A,B,C,D,O,邮递员从车站O正东1km的邮局A出发，先向正北走了3km到,52,下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积,15,厘米,17,厘米,解：设正方形的边长为,x,厘米,则,x,2,=17,2,-15,2,x,2,=64,答：正方形的面积是,64,平方厘米。,例题,下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积15厘米17厘米解,53,在,Rt,ABC,中,ACB,=90,，,AC,=4,BC,=3.,求,Rt,ABC,斜边上的高,A,B,C,D,随堂训练,在RtABC中,ACB=90，AC=4,BC=3.求,54,如图，已知：,ABC,中，,AD,是中线，,AE,BC,于,E,.,若,AB,=12，,BC,=10，,AC,=8 ,求：,DE,的长度.,A,C,E,D,B,如图，已知：ABC中，AD是中线，AEBC于E. ACE,55,如图，已知：,ABC,中，,AD,是中线，,AE,BC,于,E,.,求证：,AB,2,-,AC,2,2,BC,DE,.,A,C,E,D,B,如图，已知：ABC中，AD是中线，AEBC于E. ACE,56,在一个内腔长,30cm,、宽,40cm,、高,50cm,的木箱中放一根笔直的细玻璃管，这根玻璃管的长度至多为多少,cm,？,A,C,B,D,在一个内腔长30cm、宽40cm、高50cm的木箱中放一根笔,57,在图中，如果在箱内的,A,处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到,B,处，至少要爬多远？,C,D,A,.,B,.,在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处,58,应用勾股定理解决实际问题的思路：,（1）深刻理解题意；,（2）画出简图；,（3）将图画转化为直角三角形，并利用勾股定理进行计算.,课堂小结,应用勾股定理解决实际问题的思路：课堂小结,59,课后作业,见本课“课后巩固提升”,课后作业 见本课“课后巩固提升”,60,第3课时 勾股定理的逆定理,情景,引入,合作,探究,课堂,小结,随堂,训练,1.2,直角三角形的性质和判定（）,八,年级数学,下（,湘教,版）,XJ,全册精品教学课件,第3课时 勾股定理的逆定理情景合作课堂随堂1.2 直角三角形,61,直角三角形有哪些性质？,(1),有一个角是直角；,(2),两个锐角的和为,90(,互余,),；,(3),两直角边的平方和等于斜边的平方,.,反之,一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢,?,情景引入,直角三角形有哪些性质？ (1)有一个角是直角； (2)两个锐,62,(1),有一个角是直角的三角形是直角三角形；,(2),有两个角的和为,90,的三角形是直角三角形；,(3)如果一个三角形的三边,a,b,c,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,那么这个三角形是直角三角形吗？,一个三角形满足什么条件才能是直角三角形,?,合作探究,(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的,63,试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按角分类）,（,1,）,3,，,4,，,4,（,2,）,2,，,3,，,4,（,3,）,3,，,4,，,5,请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系.,锐角三角形,钝角三角形,直角三角形,3,2,4,2, 4,2,2,2,3,2, 4,2,3,2,4,2,= 5,2,试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些,64,勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为,a,，,b,，斜边为,c,，那么,.,a,2,+,b,2,=,c,2,勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长,a,、,b,、,c,满足 ，那么这个三角形是直角三角形,.,a,2,+,b,2,=,c,2,反过来,勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么,65,判断由线段a、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15, b=8, c=17 （2）a=13, b=14,c=15,解：,（,1,）,（,2,）,例题,判断由线段a、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）,66,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数,.,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为,67,以小组为单位，每位同学自己找一组,勾股数，那一组找的最快最多就算获胜。,3,，,4,，,5,；,5,，,12,，,13,；,6,，,8,，,10,；,7,，,24,，,25,；,8,，,15,，,17,；,9,，,40,，,41,9,，,12,，,15,；,10,，,24,，,26,；,以小组为单位，每位同学自己找一组3， 4， 5； 5，,68,1.下面以,a,b,c,为边长的,ABC,是不是直角三角形？,如果是那么哪一个角是直角？,(1),a=,6,b=,8,c,=10 _ _ ;,(2),a,=12,b,=8,c,=15 _;,(3),a,=8,b,=6,c,=5 _;,是,不是,不是,是,C,=90,0,B,=90,0,(4),a,=1,b,=2,c,= _ _;,随堂训练,1.下面以a,b,c为边长的ABC是不是直角三角形？(1),69,2.已知：如图，四边形,ABCD,中，,B,90,0,，,AB,3，,BC,4，,CD,12，,AD,13,求四边形,ABCD,的面积.,A,B,C,D,3,4,12,13,5,2.已知：如图，四边形ABCD中，B900，AB3，B,70,3.满足下列条件,ABC, 不是直角三角形的是( ),A、,b,2,=,a,2,-,c,2,B、,a,:,b,:,c,=3:4:5,C、,C,=,B,-,A,D、,A,:,B,:,C,=3:4:5,D,3.满足下列条件ABC, 不是直角三角形的是(,71,1.勾股定理的逆定理的内容；,.判定一个三角形是直角三角形的方法（从角、边两个方面来考虑）；,.勾股定理与它的逆定理之间的关系；,.数形结合的数学思想.,课堂小结,课堂小结,72,课后作业,见本课“课后巩固提升”,课后作业 见本课“课后巩固提升”,73,1.3,直角三角形全等的判定,情景,引入,合作,探究,课堂,小结,随堂,训练,八,年级数学,下（,湘教,版）,XJ,全册精品教学课件,1.3 直角三角形全等的判定情景合作课堂随堂八年级数学下（湘,74,（,1,）,说出判断一般三角形全等的方法有哪些？它们有什么共同点？,情景引入,（1）说出判断一般三角形全等的方法有哪些？它们有什么共同点？,75,判 断,（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等.,（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.,（3）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.,AAS,或者,ASA,SAS,判 断（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等.（2）有,76,A,B,C,A,B,C,（,A,）,（,C,）,（,B,）,如图在Rt,ABC,和Rt,ABC,中,已知,AB,=,AB,AC,=,AC,ACB,=,ACB,=90,那么Rt,ABC,和Rt,ABC,全等吗?,合作探究,ABCABC（A）（C）（B）如图在RtABC,77,解:因为,ACB,=90,ACB,= ,ACB,=90,所以,BCB,= ,ACB,+ ,ACB,=180 ,故,B,，,C（C,），,B,在同一直线上,因为,AB,=,AB,=,AB,所以,B,=,B,（等边对等角）,在Rt,ABC,和Rt,ABC,中,B,=,B,（已证）,AB,=,AB,（已知）,所以Rt,ABC,Rt,ABC,（AAS）,B,A,（,A,）,C,(,C,),B,如图,已知,AB,=,AB,AC,=,AC,ACB,=,ACB,=90那么Rt,ABC,和Rt,ABC,全等吗？,解:因为ACB=90BA（A）C(C)B如图,已知,78,斜边、直角边公理,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,.,简写成“斜边、直角边”,或“,HL”,前提,斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全,79,斜边、直角边公理,(HL),A,B,C,A ,B,C ,在,RtABC,和,Rt,中,AB=,BC=,RtABC,C=C=90,有斜边和一条直角边对应相等的两个,直角三角形全等,.,几何语言,斜边、直角边公理 (HL)ABCA BC 在RtA,80,举,例,例,1,如图，,BD,，,CE,分别是,ABC,的高，且,BE = CD,.,求证：,Rt,BEC, Rt,CDB,.,证明：,BD,，,CE,是,ABC,的高，,BEC,=,CDB,= 90.,在,Rt,BEC,和,Rt,CDB,中，,BC = CB,，,BE = CD,，,Rt,BEC, Rt,CDB,（,HL,）,.,举例1 如图， BD ，CE分别是ABC的高，且BE =,81,1如图,AD,DB,，,BC,CA,，,AC,、,BD,相交于点,O,，如果,AD,BC,，那么图中还有哪些相等的线断，请证明.（,DB,AC,就不要证明了）,随堂训练,1如图ADDB，BCCA，AC、BD相交于点O，如果A,82,2.如图在,ABC,中，,D,是,BC,的中点，,DE,AB,，,DF,AC,，垂足分别为,E,、,F,，且,DE,DF,，求证,ABC,是等腰三角形.,2.如图在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC,83,3.如图，,ABD,=,ACD,=90，1=2，则,AD,平分,BAC,.请说明理由.,2,1,B,C,A,D,3.如图，ABD=ACD=90，1=2，则AD平分,84,4.如图，,AC,CB,，,BD,BC,，,AB,=,DC,，,AB,与,CD,平行吗？为什么？,4.如图，ACCB，BDBC，AB=DC，AB与CD平行,85,1,.判定直角三角形全等的特殊判定“,HL,”,定理：,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,.,（可简写成“斜边、直角边”或“,HL,”,）,2.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法,:,SAS,、,ASA,、,AAS,、,SSS,，还有直角三角形特殊的判定方法,“,HL,”.,课堂小结,1.判定直角三角形全等的特殊判定“HL”定理：课堂小结,86,课后作业,见本课“课后巩固提升”,课后作业 见本课“课后巩固提升”,87,1.4,角,平分线的性质,情景,引入,合作,探究,课堂,小结,随堂,训练,八,年级数学,下（,湘教,版）,XJ,全册精品教学课件,1.4 角平分线的性质情景合作课堂随堂八年级数学下（湘教版,88,生活中有很多数学问题：,小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的,P,点，要从,P,点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连,.,问题,1,：怎样修建管道最短？,问题,2,：新修的两条管道长度有什么关系，画来看看,.,.,P,暖气,天然气,情景引入,生活中有很多数学问题：.P暖气天然气情景引入,89,如图,1-26,，在,AOB,的平分线,OC,上任取一点,P,，,作,PD,OA,，,PE,OB,， 垂足分别为点,D,，,E,，,试问,PD,与,PE,相等吗？,图,1-26,合作探究,如图1-26，在AOB的平分线OC上任取,90,你能证明吗？,将,AOB,沿,OC,对折，我发现,PD,与,PE,重合， 即,PD,与,PE,相,等.,图,1-26,你能证明吗？ 将AOB 沿OC 对折，我发现PD,91,PD,OA,，,PE,OB,，,PDO =,PEO,= 90.,在,PDO,和,PEO,中，,PDO,=,PEO,，,DOP,=,EOP,，,OP = OP,，,PDO,PEO,.,PD = PE,.,我们来证明这个结论,.,图,1-26,图,1-26, PDOA， PEOB，在PDO和PEO中， ,92,结论,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,由此得到角平分线的性质定理：,结论角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,93,动脑筋,角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？,如图,1-27,，点,P,在,AOB,的内部， 作,PD,OA,，,PE,OB,， 垂足分别为点,D,，,E,.,若,PD= PE,， 那么点,P,在,AOB,的平分线上吗？,图,1-27,动脑筋 角的内部到角的两边距离相等的点在这个,94,在,Rt,PDO,和,Rt,PEO,中，,OP = OP,，,PD = PE,，,Rt,PDO,Rt,PEO,.,PD,OA,，,PE,OB,，,PDO,=,PEO,= 90.,如图,1-27,，过点,O,，,P,作射线,OC,.,AOC,=,BOC,.,OC,是,AOB,的平分线，即点,P,在,AOB,的平分线,OC,上,.,图,1-27,在RtPDO和RtPEO中， PDOA， PEOB,95,结论,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.,由此得到角平分线的性质定理的逆定理：,结论角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.,96,举,例,例,1,如图,1-28,，,BAD =,BCD =,90,，,1=2.,（,1,）求证：点,B,在,ADC,的平分线上；,（,2,）求证：,BD,是,ABC,的平分线,.,图,1-28,举例1 如图1-28，BAD =BCD = 90，,97,证明：,在,ABC,中，,1=2,，,BA = BC,.,又,BA,AD,，,BC,CD,，,点,B,在,ADC,的平分线上,.,图,1-28,（,1,）求证：点,B,在,ADC,的平分线上；,证明： 在ABC中，又 BAAD， BCCD， 点B,98,图,1-28,证明： 在,Rt,BAD,和,Rt,BCD,中，,BA = BC,，,BD = BD,，,Rt,BAD,Rt,BCD,.,ABD,=,CBD,.,BD,是,ABC,的平分线,.,（,2,）求证：,BD,是,ABC,的平分线,.,图1-28证明： 在RtBAD和RtBCD中， Rt,99,1.已知：如图，在,ABC,中,，,AD,是它的角平分线，且,BD=CD，DE,AB,，,DF,AC,，,垂足分别是,E，F,.,求证：,EB=FC,.,A,F,C,D,B,E,随堂训练,1.已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=C,100,2.如图，,ABC,中，,C,90，,AD,是,BAC,的平分线，,DE,AB,于,E,，,F,在,AC,上，且,BD=DF,，,求证：,CF=EB,.,A,F,C,D,B,E,2.如图，ABC中，C90，AD是BAC的平分线，,101,变式,如图，,ABC,中，,C,90，,AD,是,BAC,的平分线，,DE,AB,于,E,，,BC=8,，,BD=5,，,求,DE,.,A,C,D,B,E,变式ACDBE,102,课堂小结,1.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.,2.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.,课堂小结1.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.,103,课后作业,见本课“课后巩固提升”,课后作业 见本课“课后巩固提升”,104,第1章 直角三角形,小结与复习,八,年级数学,下（,湘教,版）,XJ,全册精品教学课件,第1章 直角三角形八年级数学下（湘教版）,105,一、直角三角形的性质,1.,直角三角形的两个锐角,_.,2.,直角三角形斜边上的中线等于斜边的,_.,3.,在直角三角形中，,30,角所对的直角边等于斜边的,_.,4.,勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为,a,，,b,，斜边长为,c,，那么,_.,互余,一半,一半,a,2,+,b,2,=,c,2,一、直角三角形的性质互余一半一半a2+b2=c2,106,二、直角三角形的判定,1.,有一个角是,_,的三角形是直角三角形,.,2.,勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长,a,，,b,，,c,满足,_,，那么这个三角形是直角三角形,.,直角,a,2,+,b,2,=,c,2,二、直角三角形的判定直角a2+b2=c2,107,【,思维诊断,】,(,打,“,”,或,“,”,),1.,有两个角互余的三角形是直角三角形,.,( ),2.,任何一个三角形都具有两条边长的平方和等于第三条边长的平方,.,( ),3.,一个三角形中，,30,角所对的边等于最长边的一半,.,( ),【思维诊断】(打“”或“”),108,热点考向一,直角三角形的性质,【,例,1】,如图，在,RtABC,中，,ACB,=90,，,AB,的垂直平分线,DE,交,AC,于点,E,，交,BC,的延长线于,F,，若,F,=30,，,DE,=1,，则,BE,的长是,.,热点考向一 直角三角形的性质,109,【,思路点拨,】,根据直角三角形的两个锐角互余，求得,DBF,，从而求得,A,的度数,.,在直角三角形中，,30,角所对的直角边等于斜边的一半，求得,AE,的长；再由线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，即可求得,BE,的长,.,【思路点拨】根据直角三角形的两个锐角互余，求得DBF，从而,110,【,自主解答,】,在,Rt,FDB,中，,F,=30,，,DBF,=60.,在,Rt,ABC,中，,ACB,=90,，,ABC,=60,，,A,=30.,在,Rt,AED,中，,A,=30,，,DE,=1,，,AE,=2.,DE,垂直平分,AB,，,BE,=,AE,=2.,答案：,2,【自主解答】在RtFDB中，F=30，DBF=6,111,【,规律方法,】,直角三角形斜边上中线的作用,1.,直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系是研究线段倍、分问题的重要依据之一,.,2.,联想到直角三角形斜边上的中线，可以沟通角与角或线段与线段之间的关系，把题设与结论有机地结合起来，使问题得以圆满的解决,.,3.,重要辅助线,(1),遇直角三角形斜边的中点，添加斜边上的中线为辅助线,.(2),构造直角三角形，凸显斜边上的中线,.,【规律方法】直角三角形斜边上中线的作用,112,【,真题专练,】,1.,如图，一副分别含有,30,角和,45,角,的两个直角三角板，拼成如图所示图形，,其中,C,=90,，,B,=45,，,E,=30,，,则,BFD,的度数是,(,),A.,15,B,.25,C,.30,D,.10,【真题专练】,113,2.,如图，在,ABC,中，,AB,=,AC,=10,，,BC,=8,，,AD,平分,BAC,交,BC,于点,D,，点,E,为,AC,的中点，连接,DE,，则,CDE,的周长为,(,),A,.20,B,.18,C.,14,D,.13,2.如图，在ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分,114,【,知识拓展,】,直角三角形的两个结论,(1),在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于,30.,(2),如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形,.,【知识拓展】直角三角形的两个结论,115,热点考向二,勾股定理,【,例,2】,如图，在,Rt,ABC,中，,ABC,=90,，,AB,=3,，,AC,=5,，点,E,在,BC,上，将,ABC,沿,AE,折叠，使点,B,落在,AC,边上的点,B,处，则,BE,的长为,.,【,思路点拨,】,利用勾股定理求出,BC,=4,，设,BE,=,x,，则,CE,=4-,x,，在,Rt,BEC,中，利用勾股定理解出,x,的值即可,.,热点考向二 勾股定理【思路点拨】利用勾股定理求出BC=4，,116,【,自主解答,】,，,由折叠的性质得,BE,=,BE,，,AB,=,AB,，,设,BE,=,x,，则,BE,=,x,，,CE,=4-,x,，,BC,=,AC,-,AB,=,AC,-,AB,=2,，,在,Rt,BEC,中，,B,E,2,+,B,C,2,=,E,C,2,，,即,x,2,+2,2,=(4-,x,),2,，解得：,x,= .,答案：,【自主解答】 ，,117,【,规律方法,】,勾股定理的应用,1.,在直角三角形中，已知一边长和另外两边的关系时，常借助勾股定理列出方程求解，在解决折叠问题时，边长的计算经常用到上述方法,.,2.,作长度 为,(,n,为正整数,),的线段,.,注意：,在直角三角形中，已知两边利用勾股定理求第三边时，必须分清直角边和斜边，在条件不明确的条件下，要分类讨论,.,【规律方法】勾股定理的应用,118,【,真题专练,】,1.,如图，点,E,在正方形,ABCD,内，,满足,AEB,=90,，,AE,=6,，,BE,=8,，,则阴影部分的面积是,(,),A,.48,B,.60,C,.76,D,.80,2.,如图，有两棵树，一棵高,12m,，另一棵高,6m,，两树相距,8m.,一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行,m.,【真题专练】2.如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，,119,热点考向三,勾股定理的逆定理,【,例,3】,如图，点,E,是正方形,ABCD,内的一点，连接,AE,，,BE,，,CE,，将,ABE,绕点,B,顺时针旋转,90,到,CBE,的位置,.,若,AE,=1,，,BE,=2,，,CE,=3,，则,BEC,=,度,.,热点考向三 勾股定理的逆定理,120,【,解题探究,】,(1),BE,是由,BE,旋转多少度得到？,BE,与,BE,什么关系？,提示：,BE,是由,BE,旋转,90,得到的，,BE,BE,且,BE,=,BE,.,(2),若连接,EE,，得到的,EBE,是一个什么特殊的三角形？,提示：,EBE,是等腰直角三角形,.,(3),EEC,是直角三角形吗？若是，是怎样得到的？,提示：,EEC,是直角三角形，根据勾股定理的逆定理得之,.,【解题探究】(1)BE是由BE旋转多少度得到？BE与BE,121,【,规律方法,】,运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤,1.,确定三角形的最长边,.,2.,计算最长边的平方以及其他两边的平方和,.,3.,判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等，则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形,.,【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的,122,【,知识归纳,】,判定直角三角形的两种方法,(1),当已知条件是,“,三条边,”,或三边的比时，利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形,.,(2),如果三角形某一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形,.,【知识归纳】判定直角三角形的两种方法,123,命题新视角,用勾股定理解展开与折叠问题,【,例,】,如图，在矩形纸片,ABCD,中，,AB,=12,，,BC,=5,，点,E,在,AB,上，将,DAE,沿,DE,折叠，使点,A,落在对角线,BD,上的点,A,处，则,AE,的长为,.,命题新视角 用勾股定理解展开与折叠问题,124,【,审题视点,】,创,新,点,图形的折叠与勾股定理的应用：,(1),由图形折叠，得到直角三角形,(2),利用勾股定理建立方程求解，体现数形结合思想与方程思想的应用,切,入,点,(1),由折叠知,AE,=,AE,，于是求,AE,的长,(2),在,Rt,ABD,中，由勾股定理求,BD,的长,(3),在,Rt,AEB,中，利用勾股定理建立方程，求,AE,的长,【审题视点】创图形的折叠与勾股定理的应用：切(1)由折叠知A,125,【,规律方法,】,解图形折叠问题的思路,1.,寻找出折叠前后的不变量,(,即相等线段，相等角,).,2.,发现图形中直角三角形，并能灵活应用勾股定理,.,3.,利用勾股定理建立方程求解,.,【规律方法】解图形折叠问题的思路,126,【,巧思妙解,】,巧用面积，事半功倍,【,典例,】,在,Rt,A,B,C,中，,C,=90,，,AC,=9,，,BC,=12,，则点,C,到,AB,的距离是,(,),A,.,B,.,C,.,D,.,【巧思妙解】巧用面积，事半功倍,127,【,解法对比,】,本题的,“,常规解法,”,既证明相似三角形，又两次用到勾股定理，并且在求,CD,时计算比较复杂，容易出错；,“,巧妙解法,”,巧用两种不同的形式表示同一个三角形的面积，非常轻巧地求出了点,C,到,AB,的距离,.,【解法对比】本题的“常规解法”既证明相似三角形，又两次用到勾,128,【,技巧点拨,】,面积法是一种重要的处理几何问题方法，用不同形式表示同一个图形的面积，把已知量与未知量有机结合起来，轻松求出未知量，解题思路清晰，起到了事半功倍的效果,.,【技巧点拨】面积法是一种重要的处理几何问题方法，用不同形式表,129,课后作业,见“本章热点专练”,课后作业 见“本章热点专练”,130,
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