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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,反比例函数的图象与性质,本课内容,本节内容,1.2,我们已经学习了用,“,描点法,”,画一次函数的图象，,并且知道一次函数的图象是一条直线，那么怎样画反比例函数,（,k,为常数，,k,0,）,的图象呢,？,它的图象的形状是怎样的呢,？,探究,如何,画反比例函数,的图象,？,列表,：由于自变量,x,的取值范围是所有非零实数,，,因此，,让,x,取一些负数值和一些正数值，并,且计算出相,应的函数值，列成下表：,x,-,6,-,5,-,4,-,3,-,2,-,1.5,-,1,1,1.5,2,3,4,5,6,-,1,-,1.2,-,1.5,-,2,-,3,-,4,-,6,6,4,3,2,1.5,1.2,1,描点：,在平面直角坐标系内，以,x,取的值为横坐标，,相应的函数值,y,为纵坐标，描出相应的点,.,如下图所示,.,观察左图，,y,轴右边的,各点，当横坐标,x,逐渐增大,时，纵坐标,y,如何变化,？,y,轴左边的各点是否也,有相同的规律,？,当,x,0,时，函数值,y,随自变量,x,的增大而减小；,当,x,0,时，也有这一规律,.,我们可以证明：对于反比例函数 ，,连线,：根据以上分析，我们可以把,y,轴右边各点和左边,各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来,.,从 看出，,x,取任意非零实数，都有,y,0,，因此这两支曲线与,x,轴都不相交,.,由于,x,不能取,0,，,因此这两支曲线与,y,轴也都不相交,.,这样就画出了 的图象，如下图所示,.,做一做,在下图所示的直角坐标系内，画出反比例函数 的图象,.,（,2,）,在每一象限内，函数值,y,随自变量,x,的变化如,何变化,？,（,1,）,每个函数的图象分别位于哪些象限,？,观察画出的 ，的图象，思考下列问题,：,议一议,议一议,议一议,可以发现这两个函数的图象均由两支曲线组成，且分别位于第一、三象限,.,对于,y,轴右边的点，当自变量,x,逐渐增大时，函数值,y,反而减小；,对于,y,轴左边的点也有这一性质,.,一般地，当,k,0,时，反比例函数 的图象,由分别在第一,、,三象限内的两支曲线组成,，,它们,与,x,轴,、,y,轴都不相交,，,在每个象限内,，,函数值,y,随,自变量,x,的增大而减小,.,结论,1.,画出下列反比例函数的图象：,练习,解,探究,的图象与,的图象有什么关系,？,如何画反比例函数,的图象,？,当,x,=3,时，的函数值为,-,2,，而 的,函数值为,2,在平面直角坐标系内，点,A,（,3,，,-,2,）,与,B,（,3,，,2,）,关于,x,轴对称，如下图所示,:,类似地，当,x,取任一非零实数,a,时，的函数值,为 ，而 的函数值为 ，从而都有点,P,(,a,，,),与点,Q,(,a,，,),关于,x,轴对称，因此 的图象与 的图象关于,x,轴对称,.,于是只要把 的图象沿着,x,轴翻折并将图象,“,复制,”,出来，就得到 的图象，如下图中的红色曲线所示,从图中看出,：,的图象由分别在第二、四,象限的两支曲线组成，它们与,x,轴、,y,轴都不相交，,在每个象限内，函数值,y,随自变量,x,的增大而增大,.,类似地，当,k,0,时，反比例函数 的图象与,的图象关于,x,轴对称,从而当,k,0,时，反比例函数 的图象,由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与,x,轴、,y,轴都不相交，在每个象限内，函数值,y,随自变量,x,的增大而增大,.,由于我们已经知道了当,k,0,时反比例函数 的图象的性质，因此今后画反比例函数,（,k,0,）,的图象时，只要,“,列表、描点、连线,”,三个步骤就可以了,.,举,例,例,1,画反比例函数 的图象,.,列表,：,让,x,取一些非零实数，并计算出相应的函数值,y,，,列成下表,.,x,-,6,-,5,-,4,-,3,-,2,-,1,1,2,3,4,5,6,1,2,4,6,-,6,-,4,-,2,-,1,描点,：,在平面直角坐标系内，以,x,取的值为横坐标，,相应的函数值,y,为纵坐标，描出相应的点,.,连线,：,把,y,轴左边各点和右边各点分别用一条,光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数,的图象，如下图所示,.,结论,综上所述，我们,得到,：,反比例函数,（,k,为常数，,k,0,）,的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为,双曲线,.,练习,画出下列反比例函数的图象：,(,1,),(,2,),(,1,),解,(,2,),动脑筋,（,1,）求,k,的值，并写出该函数的表达式；,（,2,）判断点,A,（,-,2,，,-,4,）,，,B,（,3,，,5,）,是否在这个函数,的图象上；,（,3,）这个函数的图象位于哪些象限,？,在每个象限内，,函数值,y,随自变量,x,的增大如何变化,？,已知反比例函数 的图象经过点,P,（,2,，,4,）,.,（,1,）求,k,的值，并写出该函数的表达式；,解,因为反比例函数 的图象经过点,P,（,2,，,4,）,，,即点,P,的坐标满足这一函数表达式，,因而 ，,解得,k,=8.,因此，这个反比例函数的表达式为,.,（,2,）判断点,A,（,-,2,，,-,4,）,，,B,（,3,，,5,）,是否在这个函数,的图象上；,解,把点,A,，,B,的坐标分别代入 ，可知点,A,的坐,标满足函数表达式，点,B,的坐标不满足函数表达,式，所以点,A,在这个函数的图象上，点,B,不在这,个函数的图象上,.,解,因为,k,0,，所以这个反比例函数的图象位于第 一、,三象限，在每个象限内，函数值,y,随自变量,x,的增大,而减小,.,（,3,）这个函数的图象位于哪些象限,？,在每个象限内，,函数值,y,随自变量,x,的增大如何变化,？,例,2,下图是反比例函数 的图象,.,根据图象，回答下列问题：,（,1,）,k,的取值范围是,k,0,还是,k,0,？,说明理由；,（,2,）如果点,A,（,-,3,，,）,，,B,（,-,2,，,）,是该函数图象,上的两点，试比较 ，的大小,.,（,1,）,k,的取值范围是,k,0,还是,k,0,？,说明理由；,解,由图可知，反比例函数 的图象的两支曲,线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，,函数值,y,随自变量,x,的增大而减小，因此，,k,0,.,解,因为点,A,(,-,3,，,）,，,B,（,-,2,，,）,是该图象上的两点，,且,-,3,0,，,-,2,0,，所以点,A,，,B,都位于第三象限,.,又因为,-,3,-,2,，由反比例函数图象的性质可知：,.,（,2,）如果点,A,（,-,3,，,）,，,B,（,-,2,，,）,是该函数图象,上的两点，试比较 ，的大小,.,例,3,已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点,P,（,-,3,，,4,）,.,试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象,.,举,例,由于这两个函数的图象交于点,P,（,-,3,，,4,）,，则点,P,（,-,3,，,4,）,是这两个函数图象上的点，即点,P,的坐标,分别满足这两个表达式,.,因此,解得 ，,，其中 ，为常数，且均不为零,.,设正比例函数、反比例函数的表达式分别为 ，,解,因此，这两个函数表达式分别为 和 ，,它们的图象如图所示,.,P,1.,已知反比例函数 的图象经过点,M,（,-,2,，,2,）,.,（,1,）求这个函数的表达式；,（,2,）判断点,A,（,-,4,，,1,）,，,B,（,1,，,4,）,是否在这个函数,的图象上；,练习,（,3,）这个函数的图象位于哪些象限,？,函数值,y,随自,变量,x,的增大如何变化,？,（,1,）求这个函数的表达式；,因为反比例函数 的图象经过点,，,即点,M,的坐标满足这一函数表达式，,因而 ，,解得,k,=,-,4.,因此，这个反比例函数的表达式为,.,M,（,-,2,，,2,）,解,（,2,）判断点,A,（,-,4,，,1,）,，,B,（,1,，,4,）,是否在这个函,数的图象上；,把点,A,，,B,的坐标分别代入 ，可知点,A,的,坐标满足函数表达式，点,B,的坐标不满足函数表,达式，所以点,A,在这个函数的图象上，点,B,不在,这个函数的图象上,.,解,解,因为,k,0,，所以这个反比例函数的图象位于第,二、四象限，在每个象限内，函数值,y,随自变量,x,的增大而增大,.,（,3,）这个函数的图象位于哪些象限,？,函数值,y,随自,变量,x,的增大如何变化,？,由题意,已知在反比例函数 的图象的每一支曲线上，函数值,y,随自变量,x,的增大而增大，求,m,的取值范围,.,如果点,M,（,-,2,，,）,，,N,（,-,4,，,）,是该图象上的两点，试比较函数值 ，的大小,.,2.,解,由题意可知反比例函数 的图象位于,第二、四象限，,所以,m,+30.,所以,m,-,3.,又,的图象的每一支曲线上，函数值,y,随自变量,x,的增大而增大，,的自变量,M,（,-,2,，,y,1,）,和,N,（,-,4,，,y,2,）,所以,y,2,0,时，,y,随,x,的增大而增大,D.,当,x,0,时，,y,随,x,的增大而增大，故选,C,.,C,中考 试题,例,2,二、四,反比例函数 的图象在第,象限,.,解析,反比例函数 中,k,=,-,1,，,图象在第二、四象限,.,结 束,
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