第5章重心和形心09831

,*,24,工程力学电子教案,重心和形心,第五章 重心和形心,5-1,重心和形心的坐标公式,5-2,确定重心和形心位置的具体方法,地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力）,P,i,，其作用点的坐标,x,i,、y,i,、z,i,与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，而此力系的,合力,称为物体的,重,力,z,x,y,P,P,i,C,i,C,C,1,P,1,x,1,y,1,x,C,y,C,x,i,y,i,z,1,z,C,z,i,o,平行力系合力的特点：如果有合力，则合力作用线上将有一确定的点,C,当原力系各力的大小和作用点保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则合力也绕,C,点转过同一角度。,C,点称为平行力系的中心。对重力来说，则为,重心,。,z,x,y,P,P,i,C,i,C,C,1,P,1,x,1,y,1,x,C,y,C,x,i,y,i,z,1,z,C,z,i,o,重心的位置对于物体的相对位置是确定的,与物体在空间的位置无关。,z,x,y,P,P,i,C,i,C,C,1,P,1,x,1,y,1,x,C,y,C,x,i,y,i,z,1,z,C,z,i,o,重心位置的确定在实际中有许多的应用。例如，电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心的位置。,5-1,重心和形心的坐标公式,1.,重心坐标的一般公式,z,x,y,P,P,i,C,i,C,C,1,P,1,x,1,y,1,x,C,y,C,x,i,y,i,z,1,z,C,z,i,o,右图认为是一个空间力系，则,P=,P,i,合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理,即,于是有,z,x,y,P,P,i,C,i,C,C,1,P,1,x,1,y,1,x,C,y,C,x,i,y,i,z,1,z,C,z,i,o,同理有,为确定,z,C,，将,各力,绕,y,轴转90,，得,2.,均质物体的重心坐标公式,即物体容重,g,系常量，则,于是有,z,x,y,P,P,i,C,i,C,C,1,P,1,x,1,y,1,x,C,y,C,x,i,y,i,z,1,z,C,z,i,o,上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。,z,x,y,P,P,i,C,i,C,C,1,P,1,x,1,y,1,x,C,y,C,x,i,y,i,z,1,z,C,z,i,o,3.,均质等厚薄板的重心和平面图形的形心,对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为,xy,平面，则其重心的一个坐标,z,C,等于零。设板厚为,d,，则,有,V,=,A,d,， ,V,i,= ,A,i,d,则,上式也即为求平面图形形心的公式。,5-2,确定重心和形心位置的具体方法,(1),积分法；,(2),组合法；,(3),悬挂法；,(4),称重法。,具体方法：,1.,积分法,对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体，则有,z,x,y,P,P,i,C,i,C,C,1,P,1,x,1,y,1,x,C,y,C,x,i,y,i,z,1,z,C,z,i,o,若为平面图形，则,求图示半圆形的形心位置。,C,2,R,O,例题 5-1,解：建立如图所示坐标系，则,x,C,= 0,现求,y,C,。,则,例题 5-1,b,(,y,),y,d,y,C,2,R,O,x,y,代入公式有,例题 5-1,b,(,y,),y,d,y,C,2,R,O,x,y,2.,组合法,当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。,下面通过例子来说明。,角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。,y,150,20,x,20,200,O,(,a),y,150,20,x,20,200,O,1,2,(,b),例题 5-,2,解：取,O,xy,坐标系如图(,b),所示，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为,：,A,1,=（200-20）20=3600,mm,2,x,1,=,10,mm,y,1,=,110,mm,A,2,= 15020=3000,mm,2,150,20,x,20,200,O,y,1,2,(,b),x,2,=,75 mm,y,2,=,10,mm,例题 5-,2,由组合法，得到,x,C,=,A,1,+ A,2,A,1,x,1,+ A,2,x,2,= 39.5,mm,C,(,x,C,y,C,),150,20,x,20,200,O,y,1,2,(,b),y,C,=,A,1,+ A,2,A,1,y,1,+ A,2,y,2,=,64.5 mm,另一种解法：,负面积法,150,20,x,20,200,O,y,1,将截面看成是从200,mm,150mm,的矩形中挖去图中的小矩形（虚线部分）而得到，从而,A,1,=,200150= 30000,mm,2,例题 5-,2,x,1,= 75 mm,y,1,= 100 mm,A,2,= -180130 = -23400 mm,2,故,x,C,=,3000075 - 2340085,30000 - 23400,=,39.5,mm,y,C,=,30000100 - 23400110,30000 - 23400,=,64.5,mm,两种方法的结果相同。,x,2,= 85 mm,y,2,= 110 mm,150,20,x,20,200,O,y,1,例题 5-,2,3.,悬挂法,以薄板为例，只要将薄板任意两点,A,和,B,依次悬挂，画出通过,A,和,B,两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心,C,的位置，如图。想一想，为什么？,A,A,B,C,4.,称重法,对较笨重的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方法。,图示机床重 2500,N，,现拟用,“称重法,”,确定其重心坐标。为此，在,B,处放一垫子，在,A,处放一秤。当机床水平放置时，,A,处秤上读数为1750,N，,当,=20,时秤上的读数为1500,N。试算出机床重心的坐标。,思考题5-1,y,x,2.4,m,C,B,A,边长为,a,的均质等厚正方形板,ABCD,，被截去等腰三角形,AEB,。试求点,E,的极限位置,y,max,以保证剩余部分,AEBCD,的重心仍在该部分范围内。,A,B,D,C,E,y,max,a,a,x,y,例题 5-,3,y,C,=,A,1,+ A,2,A,1,y,1,+ A,2,y,2,解：分两部分考虑,x,C,=,2,a,极限位置,y,C,=,y,max,：,：,即,例题 5-,3,A,B,D,C,E,y,max,a,a,x,y,解方程得,展开得,例题 5-,3,A,B,D,C,E,y,max,a,a,x,y,第五章结束,