数学分析-第1章实数集与函数1-2数集-确界原课件

返回,后页,前页,2,数集 确界原理,一、有界集,二、确界,三、确界的存在性定理,四、非正常确界,确界原理本质上体现了实数的完备,性，是本章学习的重点与难点.,返回,记号与术语,一、有界集,定义1,二、确界,定义,2,若数集,S,有上界,则必有无穷多个上界,而其,中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为,上确界.同样,若,S,有下界,则最大的下界称为下,确界.,点击上图动画演示,注2,注1,条件(i)说明,是,的一个上界,条件,(ii),说明,比 小的数都不是,的上界,从而,是最小的上,界,即上确界是最小的上界.,定义3,注2,注1,由定义,下确界是最大的下界.,以下确界原理也可作公理,不予证明.,虽然我们定义了上确界,但并没有证明上确界的,存在性,这是由于上界集是无限集,而无限数集,不一定有最小值,例如(0,)无最小值.,三、确界存在性定理,证法一,设,S,是有上界的非空集合.为叙述方便起,见,不妨设,S,含有非负数.,定理1.1,(确界原理),1,.,S,是有上界的集合,从而,S,+,也是有上界的集合,是正规小数表示.,事实上,例3,证明：,数集,A,有上确界，数集,B,有下确界，,由定义,上确界 sup,A,是最小的上界,因此,任意,证,由假设,B,中任一数,y,都是,A,的上界,A,中的任,一数,x,都是,B,的下界.因此由确界原理,A,有上确,界,B,有下确界.,证,必有,于是,使,从而,且,因此,其中,必有,于是,则存在,使,因此,这就证明了,四、非正常确界,2.推广的确界原理:非空数集必有上、下确界.,例,2,设数集,求证:,2.,1.数集,S,有上界，则,S,的所有上界组成的集合是否,复习思考题,3.在上确界的定义中，,能否改为,或改为,