变换群与几何学课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,、射影仿射变换与仿射变换,定义,.,在射影仿射平面上,保持无穷远直线不变的射影变换称为,射影仿射变换,.,定理,.,射影变换,成为射影仿射变换,a,31,=,a,32,=0.,即射影仿射变换形如,变换群与几何学,射影仿射变换,作用于射影仿射平面,.,将,(3),式化为非齐次,(,前二式两边分别除以第三式,),得,即为,仿射变换,仿射变换,作用于仿射平面,.,变换群与几何学,3,、射影相似变换与相似变换,定义,.,在射影仿射平面上,称无穷远点,I,(1,i,0),J,(1,i,0),为,圆点,.,定理,.,射影仿射变换,(3),成为射影相似变换,在,(3),中有,a,22,=,a,11,且,a,21,=,a,12,；或者,a,22,=,a,11,且,a,21,=,a,12,.,射影相似变换的变换式为,定义,.,在射影仿射平面上,保持圆点不变的射影仿射变换称为,射影相似变换,.,变换群与几何学,或者,注,上面两式中的有穷远部分,(,非齐次形式,),即为,相似变换,.,定义,.,在射影仿射平面上,称无穷远直线上以两点,I,(1,i,0),J,(1,i,0),为不变元素的椭圆型对合为射影仿射平面上的,绝对对合,.,称经过,I,J,两点之一的虚直线为,迷向直线,.,推论,.,射影相似变换保持平面上的绝对对合不变,.,注,射影相似变换保持直线的垂直性不变,从而保持两,(,通常,),直线的夹角不变,保持任意两线段的比值不变,.,注,射影仿射平面上以任一通常点为束心的线束中有一个,绝对对合,以两条迷向直线为不变直线,其任一对对应直线相互垂直,.,变换群与几何学,4,、射影正交变换与正交变换,定义,.,在射影相似变换中,若,A,33,/,a,33,=,1,则称之为,射影正交变换,其有穷远部分,(,非齐次形式,),即为,正交变换,.,变换群与几何学,在射影相似变换中，如果只考虑有穷部分，则将前面两式两端分别除以第三式得,或者,二、群与变换群,定义,(,代数运算,),设,A,B,C,为集合,为,A,B,到,C,的一个对应,.,则称,为,A,B,到,C,的一个,代数运算,.,特别地,若,B,=,C,=,A,则称,为集合,A,上的一个代数运算,.,定义了代数运算的集合称为,代数系统,代数学就是研究代数系统的科学,.,变换群与几何学,比如,实数集,R,上的加,(,减,),法、乘法都是,R,上的代数运算,.,比如,对于数域,F,上的向量空间,V,数乘向量是,F,V,到,V,的一个代数运算,.,比如,矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算,.,比如,sin,x,不是,R,上的一个代数运算,而,sin,x,cos,y,是,R,上的一个代数运算,.,定义,.,(,群,),设,G,为非空集合,.,在,G,上定义一个代数运算,称为乘法,.,如果满足下述,4,条公理,则称,G,对于这个乘法构成一个,群,记作,G,.,(1),封闭性,.,a,b,G,有,ab,G,.,(2),乘法满足结合律,.,即,a,b,c,G,有,a,(,bc,)=(,ab,),c,.,(3),存在单位元,.,即,e,G,使得,a,G,有,be,=,ea,=,a,.,(4),存在逆元,.,即,a,G,a,1,G,满足,aa,1,=,a,1,a,=,e,.,变换群与几何学,定义,.,(,子群,),设,G,为群,H,为,G,的一个非空子集,若,H,对于,G,上的乘法也构成群,则称,H,为,G,的一个,子群,.,定理,.,群,G,的一个非空子集,H,为,G,的子群,H,满足下述条件,.,(1),a,b,H,有,ab,H,.,(2),若,a,H,则必有,a,1,H,.,定义,.,(,群的同构,),两个群,G,G,之间的一个能够保持乘法运算的双射称为,G,与,G,之间的一个,同构,.,如果群,G,与,G,之间存在一个同构映射,则称,G,同构,于,G,记作,G,G.,定理,.,非空集合,S,上,全体,一一变换的集合对于变换的乘法构成群,.,称为集合,S,上的,全变换群,.,定理,.,非空集合,S,上,部分,一一变换的集合,G,对于变换的乘法构成群,(,全变换群的子群,),(1),若,g,1,g,2,G,则,g,1,g,2,G,.,(2),若,g,G,则,g,1,G,.,定义,.,集合,S,上全变换群的任一子群称为,S,上的一个,变换群,.,变换群与几何学,三、平面上的几个变换群,P,=,平面上全体射影变换,PA,=,平面上全体射影仿射变换,PO,=,平面上全体射影正交变换,A,=,平面上全体仿射变换,O,=,平面上全体正交变换,射影平面,仿射平面,射影变换群,P,射影仿射变换群,PA,射影正交变换群,PO,仿射变换群,A,正交变换群,O,上述,7,个变换群之间显然有下列关系：,在射影平面,PR,2,上,在仿射平面,A,2,l,上,PS,=,平面上全体射影相似变换,射影相似变换群,PS,S,=,平面上全体相似变换,相似变换群,S,变换群与几何学,四、,Klein,变换群观点,定义,.,设,S,为一个非空集合,G,为,S,上的一个变换群,.,称,S,为,空间,S,的元素称为,点,S,的子集称为,图形,G,称为空间,S,的,主变换群,.,研究空间,S,中图形所决定的在,G,的每一个元素的作用下保持不变的性质,(,不变性,),和数量,(,不变量,),的科学称为一门,几何学,(,S,G,),.,S,的子集,(,图形,),在,G,下被分成若干等价类,属于同一等价类的图形具有相同的,G,性质,(,G,给,S,赋予空间结构,),注,显然,在,S,上给定不同的变换群,G,则得到不同的几何学,.,几何学,(,S,G,),变换群与几何学,设,为,S,的子集,H,为,G,的子群,且对任意的,g,H,都有,g,(,)=,又,H,为,上的一个变换群,且,H,H,.,则称,(,H,),为,(,S,G,),的一个以,(,S,H,),为,伴随绝对子几何学,的,相对子几何学,并称,B,=,S,为的,绝对形,.,定义,.,如果,(,S,G,),为一个几何学,H,为,G,的子群,.,则称几何学,(,S,H,),为几何学,(,S,G,),的一个,绝对子几何学,简称,子几何学,.,H,G,S,几何学,(,S,G,),子几何学,(,S,H,),H,G,几何学,(,S,G,),子几何学,(,S,H,),H,S,相对子几何学,(,H,),例如,:,变换群与几何学,射影几何,射影仿射几何,射影相似几何,仿射几何,相似几何,绝对子几何关系,相对子几何关系,伴随关系,绝对形：,l,=PR,2,PA,2,.,射影欧氏几何,欧氏几何,变换群系列,射影平面,PR,2,仿射平面,PA,2,变换群与几何学,五、几种几何学的比较,1,、射影几何学,空间,射影平面,PR,2,主变换群,射影变换群,P,研究内容,图形在射影变换下的不变性质和数量,同素性、关联性,交比,其余所有射影不变性,在射影平面上做演绎推理、对偶变换,基本射影不变性,变换群与几何学,2,、仿射几何学,空间,射影仿射平面,PR,2,主变换群,射影仿射变换群,PA,研究内容,图形在射影仿射变换下的不变性质和数量,注,通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学,.,射影仿射几何学,空间,仿射平面,A,2,主变换群,仿射变换群,A,研究内容,图形在仿射变换下的不变性质和数量,仿射几何学,不可用对偶原则,不可用对偶原则,变换群与几何学,注,简单比是最基本的仿射不变量,.,定理,.,简单比是仿射不变量,.,仿射不变性,平行性,简单比,平行线段的比,两三角形面积之比,线段的中点,三角形的重心,梯形,平行四边形,定理,.,仿射变换保持平行性不变,.,注,平行性是最基本的仿射不变性,.,仿射几何,首先包括射影几何的所有研究内容,.,变换群与几何学,3,、相似几何学,空间,射影仿射平面,PR,2,主变换群,射影相似变换群,PS,研究内容,图形在射影相似变换下的不变性质和数量,注,通常也直接将相似几何学作为射影仿射几何学的子几何学,.,射影相似几何学,空间,仿射平面,A,2,主变换群,相似变换群,S,研究内容,图形在相似变换下的不变性质和数量,相似几何学,不可用对偶原则,不可用对偶原则,变换群与几何学,注,初等几何的研究内容基本属于相似几何,.,定理,相似变换保持平面上任意两线段的比值、两直线的夹角不变,.,4,、欧氏几何学,欧氏几何,首先包括相似几何的所有研究内容,.,定理,正交变换保持平面上两点间的距离不变,.,注,距离是最基本的正交不变性,.,由此,一切刚体性质都是欧氏几何的研究对象,.,相似几何,首先包括仿射几何的所有研究内容,.,变换群与几何学,结论,：,在同一个几何学系列中,(,即,在前述几何学系列的同一个横行上,),子几何学的研究内容比原几何学丰富,.,但是原几何学的内容比子几何学更具纲领性,.,变换群与几何学,