圆锥曲线中的最值问题（教育精品）

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,圆锥曲线中的最值问题,圆锥曲线中的最值问题,（,1,）,设,P,（,x,y),则,y,2,=x.(x,0),O,y,x,P,（,x,y,),A(3,0),二次函数配方法,1,课后思考：若,A(a,0),呢,?,方法二：过作同心圆,当圆,与抛物线相切时,到点的,距离最小,设为,r,数形结合,判别式法,变,式 若,P,为抛物线,y,2,=x,上,一动点，,Q,为圆（,x-3),2,+y,2,=1,上一动点，则,|PQ|,的最小值为,_,点评：,1,）求曲线上一点到已知点的距离的最大,（小）值，可过已知点作同心圆，当圆与,曲线恰好相切时，则此公共点到已知点的,距离最大（小）。,2,）,求曲线上一动点到一已知圆上一动点的距离的最大（小）值问题，常转化为求曲线上的动点到圆心的距离的最大（小）值问题。,O,y,x,A,B,P,圆锥曲线中的最值问题,知,识,迁,移,变,题,例,2,：已知抛物线,y2=4x,，以抛物线上两点,A(4,4),、,B(1,-2),的连线为底边的,ABP,，其顶点,P,在抛物线的弧,AB,上运动，求：,ABP,的最大面积及此时点,P,的坐标。,动点在弧,AB,上运动，可以设出点,P,的坐标，只要求出点,P,到线段,AB,所在直线,AB,的最大距离即为点,P,到线段,AB,的最大距离，也就求出了,ABP,的最大面积。,要使,ABP,的面积最大，只要点,P,到直线,AB,的距离,d,最大。,解：由已知：,|AB|=,2,x-y-4=0,直线,AB,：,*解题过程如下：,*分析：,d=,由已知,：,2,y,4,d,max,=,此时，,y=1,x=,d,=,点的坐标为,(,，,1),S,max,=,设,P(x,y,).y,2,=4x,我们可以连接,AB,，,作平行,AB,的直线,L,与抛物线相切，求出直线,L,的方程，即可求出直线,L,与,AB,间的距离，从而求出,ABP,面积的最大值和点,P,的坐标。,分析：,y,2,-2y+2m=0,设直线,L,与抛物线,y,2,=4x,相切，,直线,AB,：,2x-y-4=0,直线,L,的方程为：,2x-y+m=0,（*）,=4-8m=0,m=,此时，,y=1,x=,直线,L,的方程为：,2x-y+=0,两直线间的距离,d=,另解：,把（*）代入抛物线的方程得,其他过程同上。,圆锥曲线中的最值问题,m,n,3,b,不等式法,还有其他的解法吗,?,法二：设,|P,F,1,|,=m,|P,F,2,|,=n,则,cos,=,即,即,当且仅当,m=n,时等号成立,基本不等式,点评：,“不等式法”利用有关条件列出所求变量的不等关系式求解,例,4,.,设,M,是椭圆,上的动点，,F,是右焦点,.,定点,A(1,1),求：,MA+MF,的最值,MA+2MF,的最小值,分析：如图所示：,x,y,M,O,F,A,F,M,1,M,2,M,3,M,A,1.,由第一定义：,MF+MF=2a=4 MF=4-MF,即求,:4+(MA-MF),最值,d,即求：,MA+d,的最小值,2.,由第二定义：,解：,1.,设左焦点,F,由第一定义得：,MA+MF=MA+2a-MF=4+(MA-MF,),连结,AF,延长交椭圆于,M,1,，反向延长线交椭圆于,M,2,则：,M,1,M,2,分别是,MA-MF,取得最大和最小的点,因为（,MA-MF,）,max,=AF=,（,MA-MF,）,min,=-,所以（,MA+MF,）,max,（,MA+MF,）,min,4-,因为椭圆的右准线,L:x,=4,设,M,在,L,上的射影为,M,由第二定义知：,过,A,作,AA,于,L,，交椭圆于,M,3,，则：,M,3,使,MA+MM,达到最小的点,所以（,MA+2MF,）,min,=4-1=3,几何法,点评：,几何法适应于当条件和结论具有明显的几何特征及意义时，可考虑采用数形结合法，从几何特征下手来处理，利用圆锥曲线的性质如第一，二定义转化，和平面几何知识解决,思考,求圆锥曲线最值问题的主要方法有哪些？,1,、函数法,(,建立目标函数,),2,、判别式法（转化为一元二次方程）,4,、几何法（借助图形的几何性质）,3,、不等式法,(,布列所求变量的不等式,),小结,掌握求圆锥曲线中的有关最值的基本方法：,2.,解析几何是研究“形”的科学，在求圆锥曲线的最值问题时,要善于结合图形，通过数形结合将抽象的问题、繁杂的问题,化归为动态的形的问题，从而使问题顺利解决,.,3.,涉及焦点、准线、离心率的问题要灵活地利用圆锥曲线的定义或焦半径去解决,.,圆锥曲线中的最值问题,（,1,）函数法,（,建立目标函数，利用配方法,及函数的单调性等性质,),注意变量的取值范围,!,（,2,）判别式法,（,3,）不等式法,（,4,）几何法,练习：,1,.,抛物,线,y,2,=2x,上的一点到直线,x-y+3=0,的最短距离是,(),2,已知圆,C:,（,x-a),2,+(y-b),2,=8(ab0),过原点，则圆心,C,到直线 的距离最小为（）,3,已知点,A(3,2),F(2,0),在双曲线 上一点,P,的坐标为,(),使,PA+PF,的值最小,4,椭圆上一点,p,到两焦点的距离之和为,m,当,m,取得最大时，,p,点的坐标为（）,5,已知双曲线 的左焦点是,F,1,F,2,点,P,在双曲线右支上，且,PF,1,=PF,2,，,则离心率,e,min,=(),