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,第二章,2.4,指数与指数函数,知识梳理,核心考点,学科素养,2,.,4,指数与指数函数,-,2,-,知识梳理,双基自测,2,3,1,1,.,根式,(1),根式的,概念,(2),根式的性质,-,3,-,知识梳理,双基自测,2,3,1,2,.,实数指数幂,(1),分数指数幂的,表示,且,n,1),.,0,的正分数指数幂是,0,的负分数指数幂无意义,.,0,-,4,-,知识梳理,双基自测,2,3,1,(2),有理数指数幂的运算性质,a,r,a,s,=,(,a,0,r,s,Q,),.,(,a,r,),s,=,(,a,0,r,s,Q,),.,(,ab,),r,=,(,a,0,b,0,r,Q,),.,(3),无理数指数幂,一般地,无理数指数幂,a,(,a,0,是无理数,),是一个,的实数,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂,.,a,r+s,a,rs,a,r,b,r,确定,-,5,-,知识梳理,双基自测,2,3,1,上方,(0,1,),-,6,-,知识梳理,双基自测,2,3,1,R,(0,+,),单调,递减,单调,递增,y=,1,y,1,0,y,1,0,y,1,2,-,7,-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1,.,下列结论正确的打,“,”,错误的打,“”,.,(,4),函数,y=,32,x,与,y=,2,x+,1,都不是指数函数,.,(,),(5),若,a,m,a,n,则,mn.,(,),答案,答案,关闭,(1),(2),(3),(4),(5),-,8,-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2,.,函数,y=,2,|x|,的值域为,(,),A.0,+,)B.1,+,)C.(1,+,)D.(0,1,答案,解析,解析,关闭,|x|,0,2,|x|,1,+,),故选,B,.,答案,解析,关闭,B,-,9,-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3,.,下列函数中,满足,“,f,(,x+y,),=f,(,x,),f,(,y,)”,的单调递增函数是,(,),A.,f,(,x,),=x,3,B.,f,(,x,),=,3,x,答案,解析,解析,关闭,结合选项和函数满足,“,f,(,x+y,),=f,(,x,),f,(,y,)”,可以推出该函数为指数函数,.,又函数为单调递增函数,所以底数大于,1,从而确定函数为,f,(,x,),=,3,x,.,答案,解析,关闭,B,-,10,-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4,.,在同一平面直角坐标系中,函数,y=,2,x,与,的,图象之间的关系是,(,),A.,关于,y,轴对称,B.,关于,x,轴对称,C.,关于原点对称,D.,关于直线,y=x,对称,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,11,-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5,.,若函数,y=,(,a,2,-,1),x,在,(,-,+,),上为减函数,则实数,a,的取值范围是,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,12,-,考点,1,考点,2,考点,3,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,13,-,考点,1,考点,2,考点,3,解题心得,指数幂运算的一般原则,:,(1),有括号的先算括号里的,.,(2),先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,.,(3),底数是负数,先确定符号,;,底数是小数,先化成分数,;,底数是带分数的,先化成假分数,.,(4),若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答,.,(5),运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂,.,-,14,-,考点,1,考点,2,考点,3,-,15,-,考点,1,考点,2,考点,3,例,2,(1),函数,f,(,x,),=a,x-b,的图象如图所示,其中,a,b,为常数,则下列结论正确的是,(,),A.,a,1,b,1,b,0,C.0,a,0,D.0,a,1,b,0,(2),若曲线,|y|=,2,x,+,1,与直线,y=b,没有公共点,则,b,的取值范围是,.,思考,画指数函数的图象及应用指数函数的图象解决问题应注意什么,?,答案,答案,关闭,(1)D,(2),-,1,1,-,16,-,考点,1,考点,2,考点,3,解析,:,(1),由,f,(,x,),=a,x-b,的图象可以看出,函数,f,(,x,),=a,x-b,在定义域上单调递减,所以,0,a,1,.,函数,f,(,x,),=a,x-b,的图象是在,f,(,x,),=a,x,的图象的基础上向左平移得到的,所以,b,0,且,a,1),的图象,应抓住三个,关键,2,.,与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,.,3,.,一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解,.,-,18,-,考点,1,考点,2,考点,3,对点训练,2,(1),若函数,y=,2,-x+,1,+m,的图象不经过第一象限,则,m,的取值范围是,.,(2),若函数,f,(,x,),=a,x,-,1(,a,0,且,a,1),的定义域和值域都是,0,2,则实数,a=,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,19,-,考点,1,考点,2,考点,3,考向一,比较指数式的大小,A.,y,3,y,1,y,2,B.,y,2,y,1,y,3,C.,y,1,y,2,y,3,D.,y,1,y,3,y,2,思考,如何进行指数式的大小比较,?,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,20,-,考点,1,考点,2,考点,3,考向二,解简单的指数方程或指数不等式,A,.(,-,-,3)B.(1,+,),C.(,-,3,1)D.(,-,-,3),(1,+,),思考,如何解简单的指数方程或指数不等式,?,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,21,-,考点,1,考点,2,考点,3,考向三,指数型函数与函数性质的综合,(,1),判断,f,(,x,),的奇偶性,;,(2),讨论,f,(,x,),的单调性,;,(3),当,x,-,1,1,时,f,(,x,),b,恒成立,求,b,的取值范围,.,思考,如何求解指数型函数与函数性质的综合问题,?,-,22,-,考点,1,考点,2,考点,3,解,(1),函数定义域为,R,关于原点对称,.,(,2),当,a,1,时,a,2,-,1,0,y=a,x,在,R,上为增函数,y=a,-x,在,R,上为减函数,从而,y=a,x,-a,-x,在,R,上为增函数,故,f,(,x,),在,R,上为增函数,.,当,0,a,1,时,a,2,-,1,0,且,a,1,时,f,(,x,),在,R,上单调递增,.,(3),由,(2),知,f,(,x,),在,R,上为增函数,所以,f,(,x,),在区间,-,1,1,上为增函数,.,故,要使,f,(,x,),b,在,-,1,1,上恒成立,则只需,b,-,1,故,b,的取值范围是,(,-,-,1,.,-,23,-,考点,1,考点,2,考点,3,解题心得,1,.,比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小,;,当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小,;,当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较,.,2,.,解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数,a,的取值范围,并在必要时进行分类讨论,.,3,.,求解指数型函数与函数性质的综合问题,要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调区间、最值等问题时,都要借助相关性质的知识分析判断,.,-,24,-,考点,1,考点,2,考点,3,对点训练,3,(1),已知,则,a,b,c,的大小关系是,(,),A.,cab,B.,abc,C.,bac,D.,cb,3,成立的,x,的取值范围为,(,),A.(,-,-,1)B.(,-,1,0),C.(0,1)D.(1,+,),答案,答案,关闭,(1)D,(2)C,-,25,-,考点,1,考点,2,考点,3,-,26,-,-,27,-,典例,2,方程,4,x,-,2,x+,1,-,3,=,0,的解是,.,答案,x=,log,2,3,解析,原方程可化为,(2,x,),2,-,22,x,-,3,=,0,.,令,2,x,=t,则,t,0,即原方程为,t,2,-,2,t-,3,=,0,解得,t=,3,或,t=-,1(,舍去,),.,由,2,x,=,3,解得,x=,log,2,3,.,-,28,-,反思提升,1,.,与指数函数有关的复合函数的单调性,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成,;,而与其有关的最值问题,往往转化为二次函数的最值问题,.,2,.,换元法是高中数学解题的基本方法,对于同时含有,a,x,与,a,2,x,(,a,0,且,a,1),的函数、方程、不等式等问题,通常应用换元法以达到化繁为简的目的,.,换元时,应注意确定新元的范围,以达到等价转化的目的,避免失误,.,
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