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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 数系的扩充与复数的引入,3.1.1,数系的扩充和复数的概念,问题提出,1.,数的概念产生和发展的历史进程：,正分数,正无理数,零和负数,N,Q,R,R,数系每次扩充的基本原则：,第一，增加新元素；,第二，原有的运算性质仍然成立；,第三，新数系能解决旧数系中的矛盾,.,2.,若 ，则,对此你有什么困惑？,问题提出,3.,唯物辨证法认为，,事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力,.,由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系,.,问题提出,数系的扩充,和复数的概念,1,、由 得 ，,这与 矛盾的原因是什么？,方程,x,2,x,1,0,无实根,2,、方程,x,2,x,1,0,无实根的根本原因是什么？,1,不能开平方,问题探究,3,、我们设想引入一个新数，用字母,i,表示，使这个数是,1,的平方根，即,i,2,1,，那么方程,x,2,x,1,0,的根是什么？,问题提出,4,、若,x,4,1,，利用,i,2,1,则,x,等于什么？,1,，,1,，,i,，,i.,问题提出,5,、满足,i,2,1,的新数,i,显然不是实数，称为,虚数单位,，根据数系的扩充原则，应规定虚数单位,i,和实数之间的运算满足哪些运算律？,乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律,.,问题探究,6,、设,a,R,，下列运算正确吗？,问题探究,1,、虚数单位,i,与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？,a,b,i,（,a,，,b,R,）,2,、把形如,a,b,i,（,a,，,b,R,）的数叫做,复数,，全体复数所成的集合叫做,复数集,，记作,C,，那么复数集如何用描述法表示？,C,a,b,i|,a,，,b,R,问题探究,3,、复数通常用字母,z,表示，即,z,a,b,i,（,a,，,b,R,），这一表示形式叫做复数的,代数形式,，其中,a,与,b,分别叫做复数,z,的,实部,与,虚部,，那么复数,z,3i,的实部和虚部分别是什么？,实部为,虚部为,3.,问题探究,4,、两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：,a,b,i,c,d,i,（,a,，,b,，,c,，,d,R,）的充要条件是,a,c,且,b,d,，,那么,a,b,i,0,的充要条件是什么？,a,b,0,问题探究,5,、对于复数,z,a,b,i,（,a,，,b,R,）当,b,0,时，,z,为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？,当,b,0,时,z,为实数,.,实数集,R,是复数集,C,的真子集,.,问题探究,6,、对于复数,z,a,b,i,（,a,，,b,R,）当,b,0,时，,z,叫做,虚数,，当,a,0,且,b,0,时，,z,叫做,纯虚数,，那么虚数集与纯虚数集之间如何？,纯虚数集是虚数集的真子集,.,问题探究,思考,7,：,复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？,复数,实数,虚数,纯虚数,思考,8,：,两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？,虚数不能比较大小,.,问题探究,7,、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？,复数,实数,虚数,纯虚数,问题探究,例,1,实数,m,取什么值时，复数,z,m,1,(,m,1)i,分别是实数，虚数和纯虚数？,当,m,1,时，,z,是实数；,当,m,1,时，,z,是虚数；,当,m,1,时，,z,是纯虚数,.,典例讲评,例,2,设复数,z,1,(x,y),(x,3)i,，,z,2,(3x,2y),yi,，若,z,1,z,2,，求实数,x,，,y,的值,.,x,9,，,y,6.,典例讲评,1.,将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，形成一个独立的数学分支,.,课堂小结,2.,虚数单位,i,的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成,a,b,i,（,a,，,b,R,）,的形式,.,课堂小结,3.,复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如,x,2,0,；若,x,y,0,，则,x,y,等，今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题,.,课堂小结,P,104,练习：,1,，,2,，,3.,P,106,习题,3.1A,组：,1,，,2.,布置作业,3.1,数系的扩充和复数的概念,3.1.2,复数的几何意义,1.,虚数单位,i,的基本特征是什么？,（,1,）,i,2,1,；,（,2,）,i,可以与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立,.,复习巩固,2.,复数的一般形式是什么？复数相等的充要条件是什么？,a,b,i,（,a,，,b,R,）；,实部和虚部分别相等,.,复习巩固,3.,实数、虚数、纯虚数的含义分别如何？,设,z,a,b,i,（,a,，,b,R,）,.,当,b,0,时,z,为实数；,当,b,0,时，,z,为虚数；,当,a,0,且,b,0,时，,z,为纯虚数,.,复习巩固,4.,复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如何？,复数,实数,虚数,纯虚数,复习巩固,5.,实数与数轴上的点一一对应，从而实数可以用数轴上的点来表示，这是实数的几何意义，根据类比推理，复数也应有它的几何意义,.,因此，探究复数的几何意义就成为一个新的学习内容,.,提出问题,复数的几何意义,1,、在什么条件下，复数,z,惟一确定？,给出复数,z,的实部和虚部,2,、设复数,z,a,b,i,（,a,，,b,R,），以,z,的实部和虚部组成一个有序实数对（,a,，,b,），那么复数,z,与有序实数对（,a,，,b,）之间是一个怎样的对应关系？,一一对应,问题探究,3,、有序实数对（,a,，,b,）,的几何意义是什么？复数,z,a,b,i,（,a,，,b,R,）可以用什么几何量来表示？,复数,z,a,b,i,（,a,，,b,R,）可以用直角坐标系中的点,Z,（,a,，,b,）来表示,.,x,y,O,a,b,Z,：,a,b,i,问题探究,用直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做,复平面,，,x,轴叫做,实轴,，,y,轴叫做,虚轴,.,形成结论,一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？,x,y,O,a,b,Z,：,a,b,i,实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，各象限内的点表示虚部不为零的虚数,.,形成结论,1,、用有向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？,有向线段的始点和终点,.,2,、用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段？,以原点为始点，向量的坐标对应的点为终点画有向线段,.,x,y,O,(,a,，,b,),问题探究,3,、在复平面内，复数,z,a,b,i,（,a,，,b,R,）用向量如何表示？,x,y,O,a,b,Z,：,a,b,i,以原点,O,为始点，点,Z,（,a,，,b,）为终点的向量,.,问题探究,4,、复数,z,a,b,i,（,a,，,b,R,）可以用向量 表示，向量 的模叫做复数,z,的,模,，记作,|z|,或,|,a,b,i|,，那么,|,a,b,i|,的计算公式是什么？,x,y,O,a,b,Z,：,a,b,i,问题探究,5,、设向量,a,，,b,分别表示复数,z,1,，,z,2,，若,a,b,，则复数,z,1,与,z,2,的关系如何？,规定：相等的向量表示同一个复数,.,6,、若,|z|,1,，,|z|,1,，则复数,z,对应复平面内的点的轨迹分别是什么？,单位圆，单位圆内部,.,问题探究,例,1,已知复数,对应的点在直线,x,2y,1,0,上，求实数,m,的值,.,典例讲评,例,2,若复平面内一个正方形的三个顶点对应的复数分别为,z,1,1,2i,，,z,2,2,i,，,z,3,1,2i,，求这个正方形第四个顶点对应的复数,.,x,y,O,Z,1,Z,2,Z,3,Z,4,z,4,2,i,典例讲评,例,3,设复数 ，,若,|z|5,，求,x,的取值范围,.,典例讲评,1.,复数集,C,和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即,复数,z,a,b,i,复平面内的点,Z,（,a,，,b,）,一一对应,2.,复数集,C,与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即,复数,z,a,b,i,复平面内的向量,一一对应,课堂小结,3.,复数,z,a,b,i,与复平面内的点,Z,（,a,，,b,）,和向量 是一个三角对应关系，即,复数,z,a,b,i,点,Z(,a,，,b,),向量,课堂小结,P,105,练习：,1.,P,106,习题,3.1A,组：,4,，,5,，,6.,布置作业,
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