第5讲等腰三角形

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二部分空间与图形,课时,19,等腰三角形与等边三角形,第四章图形的认识（一）,广东中考总复习 数学,1,下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）,A,B,C,D,2,下列式子中是最简二次根式的是（）,A,B,C,D,3,函数,y=,中自变量,x,的取值范围是,4,一个多边形的每一个外角都等于,30,，则该多边形的内角和等于,5,分解因式：,x,2,+2xy+y,2,4=,6,如图，在半径为,，圆心角等于,45,的扇形,AOB,内部作一个正方形,CDEF,，使点,C,在,OA,上，点,D,、,E,在,OB,上，点,F,在弧,AB,上，则阴影部分的面积为,（结果保留,）,知识要点梳理,1.,等腰三角形,:,（,1,）定义：,_,的三角形叫做等腰三角形,.,（,2,）性质,:,性质定理：等腰三角形的,_,（简称：,_,）,.,推论：等腰三角形顶角的,_,、底边上的,_,及底边上的,_,互相重合（简称：,_,）,.,两边相等,两个底角相等,等边对等角,平分线,中线,高线,三线合一,（,3,）其他性质,:,等腰直角三角形的两个底角,_.,等腰三角形的底角只能为,_,，不能为,_,（或,_,），但顶角可为,_,（或,_,）,.,等腰三角形的三边关系：设腰长为,a,，底边长为,b,，则,_.,等腰三角形的三角关系：设顶角为,A,，底角为,B,，,C,，,则,A,=_,，,B,=,C,=_.,相等且等于,45,锐角,钝角,直角,钝角,直角,180,-2,B,（,4,）判定,:,定义法：,_,的三角形是等腰三角形,.,判定定理：,_,的三角形是等腰三角形（简称：,_,）,.,2.,等边三角形,:,（,1,）定义：,_,的三角形叫做等边三角形,.,（,2,）性质,:,性质定理：等边三角形的,_,，并且每个角都等于,_.,有两条边相等,有两个角相等,等角对等边,三边相等,三个内角都相等,60,等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的,_,，它的每一个内角的,_,都与其对边的,_,和,_,重合,.,（,3,）判定,:,定义法：,_,的三角形是等边三角形,.,判定定理,1,：,_,的三角形是等边三角形,.,判定定理,2,：有一个角等于,_,的,_,三角形是等边三角形,.,所有性质,角平分线,中线,高线,三条边都相等,三个角都相等,60,等腰,重要方法与思路,中考考题精练,1.,（,2016,滨州）如图,2-4-19-1,，,ABC,中，,D,为,AB,上一点，,E,为,BC,上一点，且,AC,=,CD,=,BD,=,BE,，,A,=50,，则,CDE,的度数为（）,A.50,B.51,C.51.5,D.52.5,考点,1,等腰三角形的性质和判定,D,新课标,第,20,讲,考点随堂练,新课标,第,20,讲,考点随堂练,新课标,第,20,讲,考点随堂练,新课标,第,20,讲,考点随堂练,2.,（,2016,泰安）如图,2-4-19-2,，在,PAB,中，,PA,=,PB,，,M,，,N,，,K,分别是,PA,，,PB,，,AB,上的点，且,AM,=,BK,，,BN,=,AK,，若,MKN,=44,，则,P,的度数为（）,A.44,B.66,C.88,D.92,3.,（,2015,南宁）如图,2-4-19-3,，在,ABC,中，,AB,=,AD,=,DC,，,B,=,70,，则,C,的度数为（）,A.35,B.40,C.45,D.50,D,A,4.,（,2015,北京）如图,2-4-19-4,，在,ABC,中，,AB,=,AC,，,AD,是,BC,边上的中线，,BE,AC,于点,E,.,求证：,CBE,=,BAD,.,证明：,AB,=,AC,，,AD,是,BC,边上的中线，,AD,BC,CAD,=,BAD,.,又,BE,AC,CBE,+,C,=,CAD,+,C,=90,.,CBE,=,BAD,.,解题指导：,本考点的题型不固定，难度中等,.,解此类题的关键在于掌握等腰三角形的性质与判定定理（注意：相关要点请查看,“,知识要点梳理,”,部分，并认真掌握）,.,考点,2,等边三角形的性质和判定,1.,（,2016,内江）已知等边三角形的边长为,3,，点,P,为等边三角形内任意一点，则点,P,到三边的距离之和为（）,B,2.,（,2015,泉州）如图,2-4-19-5,，在等边,三角形,ABC,中，,AD,BC,于点,D,，则,BAD,=_.,30,3.,（,2014,温州）如图,2-4-19-6,，在等边三角形,ABC,中，点,D,，,E,分别在边,BC,，,AC,上，且,DE,AB,，过点,E,作,EF,DE,，交,BC,的延长线于点,F,.,（,1,）求,F,的度数；,（,2,）若,CD,=2,，求,DF,的长,.,解：（,1,）,ABC,是等边三角形，,B,=60,.,DE,AB,，,EDC,=,B,=60,.,EF,DE,，,DEF,=90,.,F,=90,-,EDC,=30,.,（,2,）,ACB,=60,，,EDC,=60,，,EDC,是等边三角形,.,ED,=,DC,=2.,DEF,=90,，,F,=30,，,DF,=2,DE,=4.,解题指导：,本考点的题型不固定，难度中等,.,解此类题的关键在于掌握等边三角形的性质与判定定理（注意：相关要点请查看,“,知识要点梳理,”,部分，并认真掌握）,.,注意以下要点：,等腰三角形和等边三角形属于特殊的三角形，在广东中考中单独出题考查的情况虽然不多，但这两种图形常与其他几何图形如（特殊的）平行四边形、圆等结合考查，题目非常灵活，熟练掌握等腰三角形、等边三角形的有关定理并加以灵活运用对解题非常关键，备考时需多加留意,.,考点巩固训练,考点,1,等腰三角形的性质和判定,1.,已知等腰三角形的周长为,24,，腰长为,x,，则,x,的取值范围是（）,A.,x,12B.,x,6,C.6,x,12 D.0,x,12,C,2.,（,2016,安顺）已知实数,x,，,y,满足,，则以,x,，,y,的值为两边长的等腰三角形的周长是（）,A.20,或,16B.20,C.16D.,以上答案均不对,B,3.,如图,2-4-19-7,，在,ABC,中，,AB,=,AC,，点,D,，,E,，,F,分别在,AB,，,BC,，,AC,边上，且,BE,=,CF,，,BD,=,CE,.,（,1,）求证：,DEF,是等腰三角形；,（,2,）当,A,=40,时，求,DEF,的度数,.,（,1,）证明：,AB,=,AC,，,ABC,=,ACB,.,在,DBE,和,ECF,中,DBE,ECF,.,DE,=,EF,.,DEF,是等腰三角形,.,（,2,）解：,DBE,ECF,，,BDE,=,CEF,DEB,=,EFC,.,A,+,B,+,C,=180,，,B,=,（,180,-40,）,=70,.,BDE,+,DEB,=110,.,FEC,+,DEB,=110,.,DEF,=180,-110,=70,.,4.,如图,2-4-19-8,，,ACB,和,DCE,均为等腰三角形，点,A,，,D,，,E,在同一直线上，连接,BE,，,CAB,=,CBA,=,CDE,=,CED,=50,.,（,1,）求证：,AD,=,BE,；,（,2,）求,AEB,的度数,.,（,1,）证明：,CAB,=,CBA,=,CDE,=,CED,=50,，,ACB,=,DCE,=180,-2,50,=80,.,ACB,=,ACD,+,DCB,，,DCE,=,DCB,+,BCE,，,ACD,=,BCE,.,ACB,和,DCE,均为等腰三角形，,AC,=,BC,，,DC,=,EC,.,在,ACD,和,BCE,中，,ACD,BCE,（,SAS,）,.,AD,=,BE,.,（,2,）解：,ACD,BCE,，,ADC,=,BEC.,点,A,，,D,，,E,在同一直线上，且,CDE,=50,，,ADC,=180,-,CDE,=130,.,BEC,=130,。,BEC,=,CED,+,AEB,且,CED,=50,，,AEB,=,BEC,-,CED,=130,-50,=80,.,考点,2,等边三角形的性质和判定,5.,下列三角形：有两个角等于,60,；有一个角等于,60,的等腰三角形；三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形,.,其中是等边三角形的有（）,A.B.,C.D.,D,6.,如图,2-4-19-9,，,ABC,中，,AB,=,AC,，,DEF,是,ABC,的内接正三角形，则下列关系式成立的是（）,A.21=2+3,B.22=1+3,C.23=1+2,D.1+2+3=90,A,7.,如图,2-4-19-10,，,E,是,AOB,的平分线上一点，,EC,OB,，,ED,OA,，,C,，,D,是垂足，连接,CD,交,OE,于点,F,.,若,AOB,=60,（,1,）求证：,OCD,是等边三角形；,（,2,）若,EF,=5,，求线段,OE,的长,.,解：（,1,）点,E,是,AOB,的平分线上一点，,EC,OA,，,ED,OB,，,DE,=,CE,.,在,Rt,ODE,与,Rt,OCE,中，,Rt,ODE,Rt,OCE,（,HL,）,.,OD,=,OC,.,AOB,=60,，,OCD,是等边三角形,.,（,2,）,OCD,是等边三角形，,OF,是,COD,的平分线，,OE,DC,.,AOB,=60,，,AOE,=,BOE,=30,.,ODF,=60,，,ED,OA,，,EDF,=30,.,DE,=2,EF,=10,，,OE,=2,DE,=20.,8.,已知：如图,2-4-19-11,，,ABC,，,CDE,都是等边三角形，,AD,，,BE,相交于点,O,，点,M,，,N,分别是线段,AD,，,BE,的中点,.,（,1,）求证：,AD,=,BE,；,（,2,）求,DOE,的度数；,（,3,）求证：,MNC,是等边三角形,.,解：（,1,）,ABC,，,CDE,都是等边三角形，,AC,=,BC,，,CD,=,CE,，,ACB,=,DCE,=60,.,ACB,+,BCD,=,DCE,+,BCD,.,ACD,=,BCE,.,在,ACD,和,BCE,中，,ACDBCE,（,SAS,）,.AD=BE.,（,2,）解：,ACD,BCE,，,ADC,=,BEC,.,DCE,是等边三角形，,CED,=,CDE,=60,.,ADE,+,BED,=,ADC,+,CDE,+,BED,=,ADC,+60,+,BED,=,CED,+60,=60,+60,=120,.,DOE,=180,-,（,ADE,+,BED,）,=60,.,（,3,）证明：,ACD,BCE,，,CAD,=,CBE,，,AD,=,BE,，,AC,=,BC,.,又点,M,，,N,分别是线段,AD,，,BE,的中点，,在,ACM,和,BCN,中，,AC,=,BC,ACM,BCN,.,CM,=,CN,，,ACM,=,BCN,.,又,ACB,=60,，,ACM,+,MCB,=60,.,BCN,+,MCB,=60,.,MCN,=60,.,MNC,是等边三角形,.,