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,机械工程制图,四、换面法的四个基本问题,2-6,换面法,一、问题的提出,二、新投影面的选择原则,三、点的投影变换规律,一、问题的提出,P58,如何求一般位置直线的实长？,如何求一般位置平面的真实大小？,换 面 法：,物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使,物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置,，然后将物体向新投影面进行投射。,解决方法：更换投影面。,V,H,A,B,a,b,a,b,二、新投影面的选择原则,1.,新投影面必须对空间物体处于,最有利的解,题位置，,一次只能更换一个投影面,。,平行于空间物体,垂直于空间物体,2.,新投影面必须,垂直于,不变,投影面，以构成,一个相互垂直的两投影面的新体系。,V,1,a,1,b,1,不变投影面,新投影面,旧,投影面,旧轴X,新轴,X,1,V,H,A,a,a,a,x,X,更换一次投影面,旧投影体系,X,V,H,新投影体系,V,1,H,X,1,A,点的两个投影：,a,，,a,A,点的两个投影：,a,，,a,1,新投影体系的建立,三、点的投影变换规律,X,1,V,1,a,1,a,x1,V,1,H,X,1,a,1,V,H,X,a,a,a,x,a,x1,.,点的一次变换展开动画,a,1,X1,V,1,a,1,X,1,H,V,1,V,1,a,1,a,x1,V,H,X,V,1,H,X,1,a,a,a,1,V,H,A,a,a,x,X,X,1,V,1,a,1,a,x1,新旧投影之间的关系,aa,1,X,1,a,1,a,x1,=a,a,x,点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。,a,x,a,一般规律：,点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。,.,新投影面,旧,投影面,不变投影面,旧轴,新轴,X,1,不变投影,旧,投影,新,投影,H,1,X,1,更换,H,面,：即,点在,V,/,H1,体系中的投影,X,1,H,1,V,a,1,a,1,X,V,H,a,a,a,x,更换,H,面,求新投影的作图方法,V,H,X,V,1,H,X,1,由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于旧投影到旧轴的距离。,a,a,X,1,H,1,V,a,1,a,x,a,x1,a,x1,更换,V,面,a,1,作图规律：,.,.,更换两次投影面,先把,V,面换成平面,V,1,，,V,1,H,，,得到中间新投影体系,:,V,1,H,X,1,再把,H,面换成平面,H,2,，,H,2,V,1,，,得到新投影体系,:,X,2,V,1,H,2,新投影体系的建立,按次序更换,A,a,V,H,a,a,x,X,X,1,V,1,a,1,a,x1,H,2,X,2,a,x2,a,2,注意：第二次换面时：旧轴为,X,1,；,新轴为,X2,；,旧投影为,a;,不变投影为,a,1,;,新投影为,a,2,。,与原,X,轴及,V,投影,已无关了，,在量取新投影到新轴的距离时应注意。,a,x2,a,a,X,V,H,求新投影的作图方法,a,2,X,1,H,V,1,X,2,V,1,H,2,作图规律,a,2,a,1,X,2,轴,a,2,a,x2,=aa,x1,a,1,a,x,a,x1,.,.,变换路径：,V,1,H,V,1,H,2,V,H,V,H,A,B,a,b,a,b,四、换面法的四个基本问题,1.,把一般位置直线变换成投影面平行线,用,V1,面代替,V,面，在,V1/H,投影体系中，,AB/V1,。,X,1,H,V,1,V1,a,1,b,1,空间分析,：,换,H,面行吗？,不行！,作图：,例：求直线,AB,的实长及与,H,面的夹角,。,a,b,a,b,X,V,H,新投影轴的位置？,a,1,b,1,与,ab,平行。,.,为什么？,a,1,b,1,V,H,a,a,X,B,b,b,A,2.,把一般位置直线变换成投影面垂直线,空间分析：,a,b,a,b,X,V,H,X,1,H,1,V,1,V,1,H,2,X,2,作图：,X,1,V,1,a,1,b,1,X,2,H,2,二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线,。,X,2,轴的位置？,a,2,b,2,a,x2,a,2,b,2,.,与,a,1,b,1,垂直,一次换面把直线变成投影面平行线；,一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？,a,b,c,a,b,c,d,V,H,A,B,C,D,X,d,3.,把一般位置平面变换成投影面垂直面,如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。,V,1,X,1,c,1,b,1,a,1,d,1,空间分析：,在平面内,取一条投影面平行线,，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。,作图方法：,两平面垂直需满足什么条件？,能否只进行一次变换？,思考：,若变换,H,面，需在面内取什么位置直线？,正平线！,a,b,c,a,c,b,X,V,H,例：把,三角形,ABC,变,换,成投影面垂直面。,H,V,1,X,1,作 图 过 程：,在平面内取一条水平,线,AD,。,d,d,将,AD,变换成新投影,面的垂直线。,d,1,a,1,d,1,c,1,反映平面对哪个投影面的夹角？,.,a,1,b,1,需经几次变换？,一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；,二次换面，再变换成新投影面的平行面。,X,2,V,1,H,2,4.,把一般位置平面变换成投影面平行面,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,AB,是水平线,空间分析：,a,2,c,2,b,2,c,1,X,2,轴,的位置？,平面的实形,.,X,1,H,V,1,.,与其平行,b,1,距离,d,d,1,X,1,H,V,1,X,2,V,1,H,2,c,2,d,例1：求点,C,到直线,AB,的距离，并求垂足,D,。,c,c,b,a,a,b,X,V,H,五、换面法的应用,如下图：当直线,AB,垂直于投影面时，,CD,平行于投影面，其投影反映实长。,A,H,2,B,D,C,c,abd,作图,:,求,C,点到直线,AB,的距离，就是求垂线,CD,的实长。,空间及投影分析：,c,1,a,1,a,2,b,2,d,2,过,c,1,作线平行于,x,2,轴,。,.,.,.,如何确定,d,1,点的位置？,b,a,a,b,c,d,c,例,2,：已知两交叉直线,AB,和,CD,的公垂线的长度为,MN,，,且,AB,为水平线，求,CD,及,MN,的投影。,M,N,m,d,a,1,b,1,m,1,n,1,c,1,d,1,n,空间及投影分析：,V,H,X,H,V,1,X,1,圆半径,=MN,n,m,当直线,AB,垂直于投影面时，,MN,平行于投影面，这时它的投影,m,1,n,1,=MN,且,m,1,n,1,c,1,d,1,。,V,1,A,C,D,N,M,c,1,d,1,a,1,m,1,b,1,n,1,B,作图：,请注意各点的投影如何返回？,求,m,点是难点。,.,.,空间及投影分析,：,AB,与,CD,都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（,60,），因此需将,AB,与,C,点所确定的平面变换成投影面平行面。,例,3:,过,C,点作直线,CD,与,AB,相交成,60,角。,d,X,1,H,V,1,X,1,V,1,H,2,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,c,2,c,1,a,1,b,1,a,2,d,2,d,b,2,几个解？,两个解！,已知点,C,是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线,AB,上，求等边三角形的投影。,思考：,如何解？,解法相同！,60,D,点的投影如何返回？,.,.,H,2,V,1,X,2,H,V,1,X,1,c,d,b,a,d,a,c,b,d,1,c,1,a,1,d,2,b,1,c,2,a,2,b,2,V,H,X,例,4,：求平面,ABC,和,ABD,的两面角。,空间及投影分析,：,由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。,在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。,.,.,一、换面法就是,改变投影面的位置,，使它与所给物,体或其几何元素处于,解题所需的特殊位置,。,二、换面法的关键是要注意,新投影面的选择条件,，,即必须使,新投影面与不变投影面保持垂直关系,，,同时,又有利于解题需要，,这样才能使正投影规,律继续有效。,三、,点的变换规律是换面法的作图基础，,“四个基本,问题”,是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。,小 结,重点掌握：,换面法的四个基本问题：,2.,把一般位置直线变成投影面垂直线,1.,把一般位置直线变成投影面平行线,3.,把一般位置平面变成投影面垂直面,4.,把一般位置平面变成投影面平行面,变换一次投影面,变换一次投影面。条件：,需先在平面内作一条投影面的平行线,变换两次投影面,变换两次投影面,四、解题时一般要注意下面几个问题：,分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中,物体与原投影面的相对位置,，并把这些条件,抽象成几何元素（点、线、面等）。,根据要求得到的结果，确定出有关几何元,素,对新投影面应处于什么样的特殊位置,（垂,直或平行），据此选择正确的解题思路与方,法。,在具体作图过程中，要注意新投影与原投影,在变换前后的关系，既要在新投影体系中正,确无误地求得结果，又能将结果,返回到原投,影体系中去。,1、P19：2-65、66；,2、P20:2-67、68、69；,3、P18:2-57。,1,、复习教科书：,P61,63,；,2,、,参考资料,请参看解题指导,:,4.1,4.10,；,作 业：,参考：,END,a,a,b,b,两点之间距离,a,a,b,b,c,c,三角形实形,a,a,b,b,c,c,d,d,直线与平面的交点,a,b,c,d,a,b,c,d,两平面夹角,返回,
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