数学建模系列-常用模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模常用模型,1,模型,：层次分析法,2,问题1 选择旅游地,现有三个旅游胜地可供选择，分别为苏杭、黄山、桂林，下面将作出旅游地的选择。,3,面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后,作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法,解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了,一种能有效处理这类问题的实用方法。,层次分析法,（Analytic Hierarchy Process,AHP)这是,一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。,过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两,种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者,以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近,年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析,的数学工具之一。,4,层次分析法（AHP）具体步骤：,明确问题,递阶层次结构的建立,建立两两比较的判断矩阵,层次单排序,层次综合排序,5,层次分析法的基本步骤,1 建立层次结构模型,一般分为三层，最上面为目标层，最下,面为方案层，中间是准则层或指标层。,若上层的每个因素都支配着下一层的所有因,素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结,构，否则称为不完全层次结构。,6,选择,旅游地,景色,费用,居住,饮食,旅途,苏杭、,黄山、桂林,建立选择旅游地层次结构,准则层A,方案层B,目标层Z,7,分别分别表示景色、费用、,居住、饮食、旅途。,分别表示苏杭、黄山、桂林。,8,设某层有个因素，,2 构造成对比较矩阵,要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定,在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上,层某一目标的影响程度排序）,用 表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则,则称为成对比较矩阵。,上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取19尺度。,9,10,旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：,1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分别表示,景色、费用、,居住、饮食、,旅途。,11,由上表，可得成对比较矩阵,旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。,问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上,层某因素的影响程度的排序结果呢？,12,3 层次单排序及一致性检验,层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。,用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。,例如 一块石头重量记为1，打碎分成 各小块，各块的重量,分别记为：,则可得成对比较矩阵,由右面矩阵可以看出，,13,即，,但在例,2,的成对比较矩阵中，,在正互反矩阵 中，若 则称 为一致阵。,一致阵的性质：,4.的任一列(行)都是对应于特征根 的特征向量。,14,若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最,大特征根 的归一化特征向量,定理：阶互反阵 的最大特征根 ，,当且仅当 时，为一致阵。,表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。,若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大,特征根对应的归一化特征向量作为权向量 ，则,这样确定权向量的方法称为特征根法.,15,由于 连续的依赖于 ，则 比 大的越多，的不一致,性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上,层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，,引起的判断误差越大。因而可以用 数值的大小来衡量,的不一致程度。,定义,一致性指标,其中 为 的对角线元素之和，也为 的特征根之和。,16,则可得一致性指标,定义,随机一致性指标,随机构造500个成对比较矩阵,随机一致性指标 RI 的数值：,17,一致性检验,：利用一致性指标和一致性比率0.1,及随机一致性指标的数值表，对 进行检验的过程。,一般，当一致性比率,的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量,作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对,加以调整。,时，认为,18,4 层次总排序及其一致性检验,确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，,称为,层次总排序,从最高层到最低层逐层进行。设：,对总目标Z的排序为,的层次单排序为,19,即 层第 个因素对,总目标的权值为：,层的层次总排序为：,A,B,20,层次总排序的一致性检验,设 层 对上层(层)中因素,的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为 ，,则层次总排序的一致性比率为：,当 时，认为层次总排序通过一致性检验。,到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。,21,1.建立层次结构模型,该结构图包括目标层，准则层，方案层。,层次分析法的,基本步骤,归纳如下,3.计算单排序权向量并做一致性检验,2.构造成对比较矩阵,从第二层开始用成对比较矩阵和19尺度。,对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。,22,计算最下层对最上层总排序的权向量。,4.计算总排序权向量并做一致性检验,进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。,利用总排序一致性比率,23,三 层次分析法建模举例,旅游问题,(1),建模,分别分别表示景色、费用、,居住、饮食、旅途。,分别表示苏杭、黄山、桂林。,24,（2）构造成对比较矩阵,25,(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验,成对比较矩阵 的最大特征值,表明 通过了一致性验证。,故,则,该特征值对应的归一化特征向量,26,对成对比较矩阵 可以,求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：,计算 可知 通过一致性检验。,27,对总目标的权值为：,（4）计算层次总排序权值和一致性检验,又,决策层对总目标的权向量为：,同理得，对总目标的权值分别为：,故，层次总排序通过一致性检验。,28,可作为最后的决策依据。,故最后的决策应为去,桂林,。,又 分别表示苏杭、黄山、桂林，,即各方案的权重排序为,29,模型,：线性规划,30,丁的蛙泳成绩退步到,115”2,；戊的自由泳成绩进步到,57”5,组成接力队的方案是否应该调整,？,如何选拔队员组成4,100米混合泳接力队?,问题二 混合泳接力队的选拔,甲,乙,丙,丁,戊,蝶泳,106”8,57”2,118”,110”,107”4,仰泳,115”6,106”,107”8,114”2,111”,蛙泳,127”,106”4,124”6,109”6,123”8,自由泳,58”6,53”,59”4,57”2,102”4,5名候选人的,百米成绩,穷举法,：,组成接力队的方案共有,5!=120,种,。,31,目标函数,若选择队员,i,参加泳姿,j,的比赛，记,x,ij,=1,否则记,x,ij,=0,0-1,规划模型,c,ij,(秒),队员,i,第,j,种泳姿的百米成绩,约束条件,每人最多入选泳姿之一,c,ij,i,=1,i,=2,i,=3,i,=4,i,=5,j,=1,66.8,57.2,78,70,67.4,j,=2,75.6,66,67.8,74.2,71,j,=3,87,66.4,84.6,69.6,83.8,j,=4,58.6,53,59.4,57.2,62.4,每种泳姿有且只有1人,32,模型求解,最优解：,x,14,=,x,21,=,x,32,=,x,43,=1,其它变量为,0;,成绩为,253.2,(秒),=413”2,MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14,+,+67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54,SUBJECT TO,x11+x12+x13+x14=1,x41+x42+x43+x44=1,x11+x21+x31+x41+x51=1,x14+x24+x34+x44+x54=1,END,INT 20,输入,LINDO,求解,甲,乙,丙,丁,戊,蝶泳,106”8,57”2,118”,110”,107”4,仰泳,115”6,106”,107”8,114”2,111”,蛙泳,127”,106”4,124”6,109”6,123”8,自由泳,58”6,53”,59”4,57”2,102”4,甲,自由泳、乙,蝶泳、丙,仰泳、丁,蛙泳.,33,丁蛙泳,c,43,=,69.6,75.2,，戊自由泳,c,54,=,62.4,57.5,方案是否调整？,乙,蝶泳、丙,仰泳、丁,蛙泳、戊,自由泳,最优解：,x,21,=,x,32,=,x,43,=,x,51,=1,成绩为,417”7,c,43,c,54,的新数据重新输入模型，用,LINDO,求解,指派(,Assignment,)问题,：,每项任务有且只有一人承担，每人只能承担一项,，效益不同，怎样分派使总效益最大.,讨论,甲,自由泳、乙,蝶泳、丙,仰泳、丁,蛙泳.,原方案,34,模型,：微分方程模型,（一）Malthus模型,（三）传染病模型（房室模型）,（二）Logistic模型,35,模型1 马尔萨斯（Malthus）模型,马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率,r,基本上是一常数，（,r,=,b,-,d,b,为出生率，,d,为死亡率），即：,或,（,1,）,（,2,）,（1）,的解为：,其中,N,0,=,N,(,t,0,)为初始时刻,t,0,时的种群数。,马尔萨斯模型的一个显著特点,：,种群数量翻一番所需的时间是固定的,。,令种群数量翻一番所需的时间为,T,，则有：,故,36,模型检验,比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6（即3.0610,9,），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。,模型预测,假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达210,14,个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达3610,15,个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。故,马尔萨斯模型是不完善的。,几何级数的增长,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口,净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,37,模型2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关，即：,r,=,r,(,N,),从而有：,（,3,）,r,(,N,)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。,为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。,r,(,N,)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）,对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令,r,(,N,)=,r,-,aN,此时得到微分方程：,或,（,4,）,（4）,可改写成：,（,5,）,(5)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为,K,（近似地将,K,看成常数），,N,表示当前的种群数量，,K,-,N,恰为环境还能供养的种群数量，（5）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（5）也被称为统计筹算