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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 函数的单调性，极值和最值,一、函数的单调性,二、函数的极值,三、函数的最大值和最小值,如果函数,f,(,x,)在某区间上单调增加，则它的图形是随,x,的增大而上升的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非负，即 .,如果函数,f,(,x,)在某区间上单调减少，则它的图形是随,x,的增大而下降的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非正，即 .,一、,函数的单调性,定理,设函数,f,(,x,)在,a,b,上连续，在(,a,b,)内可导.则有,(1)如果在(,a,b,)内 ，那么，函数,f,(,x,)在,a,b,上单调增加.,(2)如果在(,a,b,)内 ，那么，函数,f,(,x,)在,a,b,上单调减少.,例1,解,在(2,1)内所给的函数严格单调减少.,由此可知，在 及 内，所给函数严格单调增加，,例2,解,例3,解,为了研究函数的单调性，我们只关心在上述四个子区间内的符号，,这三个点,x,=1，0，1将,y,的定义域分为 四个子区间.,表中第一栏由小至大标出函数的定义域被三个特殊点划分的四个区间.,第二栏标出在各子区间内的符号.第三栏为函数的增减性.如本例可列表：,x,0,1,0,+,不存在,0,+,y,可知所给函数严格单调增加区间为 .,严格单调减少区间为 .,如果,F,(,x,)满足下面的条件：,F,(,x,)=,f,(,x,),g,(,x,),往往可以利用单调性证明不等式.其基本方法是：,例4,解,在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件下的最大、最小、最远、最近、最好、最优等问题，这类问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题，这里统称为最值问题.本节将介绍函数的极值问题与最值问题.,二、,函数的极值,定义,设函数,f,(,x,)在,x,0,的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于,x,0,的,x,都有,(1)成立，则称 为,f,(,x,)的,极大值,，称 为,f,(,x,)的,极大值点,；,(2)成立，则称 为,f,(,x,)的,极小值,，称 为,f,(,x,)的,极小值点,.,极大值、极小值统称为,极值,.极大值点、极小值点统称为,极值点,.,定理(极值的必要条件),设函数,f,(,x,)在点,x,0,处可导，且,x,0,为,f,(,x,)的极值点，则,注意,：可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意，函数的驻点并不一定是函数的极值点.,例如 为其驻点，但是,x,=0不是 的极值点.,还要指出，有些函数的不可导的点也可能是其极值点.,由上述可知，欲求函数的极值点，先要求出其驻点和导数不存在的点，然后再用下面的充分条件判别:,定理(判定极值的第一充分条件),设函数,y=f,(,x,)在点,x,0,连续，且在,x,0,的某邻域内可导(点,x,0,可除外).如果在该邻域内,如果,f,(,x,)在,x,0,的两侧保持相同符号，则,x,0,不是,f,(,x,)的极值点.,因此可知,x,0,为,f,(,x,)的极大值点.,对于情形(2)也可以进行类似分析.,分析,对于情形(1)，由函数单调性的判别定理可知，,当 时，,f,(,x,)单调增加；,当 时，,f,(,x,)单调减少，,(3)判定每个驻点和导数不存在的点 两侧(在,x,i,较小的邻域内)的符号，依定理判定,x,i,是否为,f,(,x,)的极值点.,由定理判定函数极值一般步骤为：,令 ，得函数的两个驻点：,x,1,=1，,x,2,=2.,内存在，函数的两个驻点,x,1,=1，,x,2,=2把 分成 三个子区间.,例1,所给函数的定义域为 .,解,x,1,(1,2),2,+,0,0,+,y,极大值,极小值,10,可知,x,=0为,y,的极小值点，极小值为0.,例2,所给的函数定义域为 .,解,非极值,极小,0,y,+,0,+,0,1,(0,1),0,x,例3,所给的函数定义域为 .,解,x,1,(1,0),0,(0,1),1,0,+,不存在,0,+,y,极小值,极大值,极小值,定理4(判定极值的第二充分条件),设函数,f,(,x,)在点,x,0,处具有二阶导数，且 则,当二阶导数易求，且驻点,x,0处的二阶导数 时，利用判定极值的第二充分条件判定驻点 是否为极值点比较方便.,例4,所给的函数定义域为 .,解,上述求函数极值与极值点的方法可总结为:,欲求连续函数,f,(,x,)的极值点，需,(1)求出,f,(,x,)的定义域.,(4)如果函数在驻点处的函数的二阶导数易求，可以利用判定极值第二充分条件判定其是否为极值点.,(2)求出 .在,f,(,x,)的定义域内求出,f,(,x,)的全部驻点及导数不存在的点.,(3)判定在上述点两侧 的符号，利用判定极值第一充分条件判定其是否为极值点.,由闭区间上连续函数的最大值最小值定理可知，如果,f,(,x,)在,a,b,上连续，则,f,(,x,)在,a,b,上必定能取得最大值与最小值.如何求出连续函数在闭区间上的最大值、最小值是本段的基本问题.,三、,函数的,最大值和最小值,求,a,b,上连续函数的最大值、最小值的步骤：,(1)求出,f,(,x,)的所有位于(,a,b,)内的驻点,(2)求出,f,(,x,)在(,a,b,)内导数不存在的点,(3)比较导数为零的点和导数不存在的点的,y,值及,f,(,a,)和,f,(,b,).其中最大的值即为最大值，最小的值即为最小值，相应的点为最大值点和最小值点.,由上述分析可以看出，最大值与最小值是函数,f,(,x,)在区间,a,b,上的整体性质，而极大值与极小值是函数,f,(,x,)在某点邻域内的局部性质.,例5,由于所给函数为1,2上的连续函数.,解,可知,f,(,x,)在0,3上的最大值点为,x,=2，最大值为,f,(2)=1.,例6,所给函数为0,3上的连续函数.,解,最小 值 点为,x,=0，最小值为,由隐函数求导法则可以得出过,M,点的切线斜率,例7,任取 上的点,M,(,x,y,)，且,x,0，,y,0.,解,因而过,M,(,x,y,)的切线方程为,可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为,但是,S,最小当且仅当其分母 最大.,令,X,=0，得切线在,y,轴上的截距 .,令,Y,=0，得切线在,x,轴上的截距 .,而且所求的驻点唯一，因此点 为所求最小值点，最小面积为,ab,.,由问题实际意义知，所围三角形面积存在最小值，,如果目标函数可导，其驻点唯一，且实际意义表明函数的最大(小)值存在(且不在定义区间的端点上达到)，那么所求驻点就是函数的最大(小)值点.,有必要指出，对于在实际的问题中求其最大(小)值，首先应该建立目标函数.,然后求出目标函数在定义区间内的驻点.,如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小值，只需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求最小值.,例8,欲围一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.问场地的长、宽为多少米时，才能使所用材料费最少？,设所围矩形场地正面长为,x,m，另一边长为,y,m，则矩形场地面积为,xy,=150，.,解,设四面围墙的高相同，都为,h,，则四面围墙所使用材料的费用,f,(,x,)为,由于驻点唯一，由实际意义可知，问题的最小值存在，因此当正面长为10米，侧面长为15米时，所用材料费最少.,
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